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Donc les lignes de niveaux de f sont des paraboles. Conclusion : Réponse c. Correction de l'exercice 5. — Sf ?? e. En effet le maximum de f est atteint en

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where ? = b2 ? 4ac (= a2(x1 ? x2)2) is the discriminant of the original equation. More precisely ax2 + bx + c = a(x ? x1)(x ? x2). If all coefficients a

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activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions ! Calculer en quel point la fonction f (x) = ax2 + bx + c admet un extremum local.

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une parabole on peut envisager une relation de type Y : aX2 + bX + c. On dit que l'on cherche à ajuster une courbe au nuage de points.

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216 243.02 Parabole Exercice 663 Examen novembre 2001 ... À quelle condition sur ab

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4 Algorithmes numériques pour les problèmes d'optimisation. 12. 1 Calcul différentiel. Exercice 1. 1. Montrer que la fonction f : R2 ? R2 définie par.

´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE

IUT "A" Paul Sabatier, Toulouse 3.

DUT G´enie Civil

Module de Math´ematiques.

MATH

´EMATIQUES

´El´ements de calculs pour l"´etude

des fonctions de plusieurs variables et des ´equations diff´erentielles.

G. Ch`eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/Enseignements.html 2

R`egle du jeu

Ceci est un support de cours pour le module Mat2 de l"IUT G´enie Civil de Toulouse. Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d"´equations diff´erentielles. Certains passages de ce cours comportent des trous, ils sont l`a volontairement. C"est `a vous de les compl´eter durant l"heure de cours hebdomadaire. La partie

du cours trait´ee en amphith´eˆatre sera compl´et´ee et disponible r´eguli`erement sur

internet `a l"adresse :http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/. Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre. Je serai reconnaissant `a toute personne me signalant une ou deserreurs se trouvant dans ce document.

A pr´esent, au travail et bon courage `a tous!

i iiR`egle du jeu

Table des mati`eres

R`egle du jeui

I Fonctions de plusieurs variables1

1 Fonctions de plusieurs variables5

1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables. . . . . . 6

1.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de deux variables8

1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 D´eriv´ees partielles, Diff´erentielles27

2.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Utilisation des diff´erentielles, diff´erentielle d"une fonction compos´ee. 32

2.5 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Approximation affine, Calcul d"incertitude45

3.1 Approximation d"une fonction `a une seule variable. . . . . . . . . . . 45

3.2 Approximation d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . 47

3.3 Calcul d"erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Le cas des fonctions d"une seule variable. . . . . . . . . . . . 48

3.3.2 Le cas des fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 50

3.4 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Extrema d"une fonction de deux variables63

4.1 Rappel dans le cas d"une seule variable. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Extr´emum local d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . 66

4.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

iii ivTABLE DES MATI`ERES

II´Equations diff´erentielles83

1´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 185

1.1 Pr´esentation g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.1.1´Equations diff´erentielles et int´egration. . . . . . . . . . . . . 86

1.1.2 Solutions d"une ´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . 86

1.1.3 Interpr´etation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.2 M´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 189

1.2.1´Equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.2.3 Solution g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.2.4 Astuces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 2 `a coefficients constants107

2.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.2 R´esolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2.1 R´esolution de l"´equation homog`ene associ´ee. . . . . . . . . . 108

2.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

III Annexes123

A D´eriv´ees et primitives usuelles125

B Annales corrig´ees127

C Trouver l"erreur177

D Alphabet grec181

Premi`ere partie

Fonctions de plusieurs variables

1 Jusqu"`a pr´esent vous avez surtout rencontr´e des fonctionsd"une variable. Cepen- dant les ph´enom`enes naturels ne d´ependent pas en g´en´erald"une seule variable. Par exemple : la vitesse moyennevd´epend de la distance parcouruedet du tempstmis pour effectuer ce parcours, on av=d/t. Un autre exemple est donn´e par le calcul de l"aire d"un rectangle :A=L×l. L"aire est une fonction de la longueurLet de la largeurl. Dans cette partie, nous allons ´etudier les fonctions de plusieurs variables. Nous aurons une attention toute particuli`ere pour les fonctionsde deux variables car dans ce cas nous pourrons encore faire des dessins. Ensuite nousverrons que nous

pouvons aussi faire des calculs de d´eriv´ees. Cela sera utilis´e pour effectuer des calculs

d"incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d"une fonction de plusieurs variables. 3 4

Chapitre 1Fonctions de plusieurs variables

Nous allons dans ce chapitre d´efinir les fonctions de plusieurs variables. Nous nous int´eresserons plus particuli`erement aux fonctions de deux variables et aux diversesquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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