[PDF] Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna – 28 novembre 2017

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S? Nouvelle-Calédonie& Wallis etFutuna - 28 novembre 2017

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.

PartieA : Enutilisant le bus

On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre

son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoireTBqui suit la loi

uniforme sur[12 ; 15].

1.On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alors pour

αetβtels quea?α?β?b, on aP(α?T?β)=β-α b-a. CommeTBsuit une loi uniforme sur[12 ; 15],P(12?TB?14)=14-12

15-12=23.

2.La durée moyenne du trajet est donnée par l"espérance mathématique de la variable aléatoire.

On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alors

E(T)=a+b

2; donc la durée moyenne du trajet estE(TB)=12+152=13,5 minutes.

PartieB : Enutilisant son vélo

On suppose à présent que Sofia choisit d"utiliser son vélo.

La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée parla variable aléatoireTVqui suit la loi

normale d"espéranceμ=14 et d"écart-typeσ=1,5.

1.Si une variable aléatoireTsuit une loi normale de paramètresμetσ, alorsP(T<μ)=0,5.

CommeTVsuit la loi normale de paramètresμ=14 etσ=1,5, alorsP(TV<14)=0,5.

2.La probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma est

P(12?TV?13)≈0,409 (trouvé à la calculatrice).

PartieC : En jouantaux dés

Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dééquilibré à 6 faces.

Si elle obtient 1 ou 2, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note :

—Bl"évènement "Sofia prend le bus»;

—Vl"évènement "Sofia prend son vélo»; —Cl"évènement "Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre aucinéma».

1.Sofia prend le bus quand elle obtient 1 ou 2 en lançant le dé, donc avec une probabilité de1

3. On résume les données dans un arbre pondéré : B 1/3C 2/3 C1/3 V 2/3C 0,409

C0,591

D"après la formule des probabilités totales :P(C)=P(B∩C)+P(V∩C)≈1

3×23+23×0,409≈0,49.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Sachant que Sofia a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendreau cinéma, la probabilité, arrondie

à 10

-2, qu"elle ait emprunté le bus estPC(B)=P(B∩C)

P(C)≈2

9

0,49≈0,45.

Exercice 25 points

Commun à tous lescandidats

On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=?ln(x)?2 x. On noteCla courbe représentative defdans un repère orthonormé.

1.On cherche la limite de la fonctionfen 0 :

lim x→0 x>0ln(x)=-∞ =?limx→0 x>0? ln(x)?2=+∞ lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0? ln(x)?2x=+∞et donc limx→0 x>0f(x)=+∞ On en déduit que la droite d"équationx=0 est asymptote verticale à la courbeC.

2. a.On sait que pour touta>0, ln??

a?=12ln(a).

On en déduit que, pourx>0,?ln??

x??2=?12ln(x)? 2 =14?ln(x)?2.

On a donc pour toutxde]0 ;+∞[:

4?ln??

x??x? 2 =4?ln?? b.En utilisant cette écriture def(x), on cherche la limite def(x) en+∞: lim x→+∞? x=+∞

On poseX=?

x lim

X→+∞ln(X)

X=0???????

=?limx→+∞ln?? x??x=0 donc limx→+∞f(x)=0.

On en déduit que l"axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonc-

tionfau voisinage de+∞.

3.On admet quefest dérivable sur]0 ;+∞[et on notef?sa fonction dérivée.

a.Pour toutxde]0 ;+∞[,f?(x)=21 xln(x)×x-?ln(x)?2×1 x2=ln(x)?2-ln(x)?x2. b.On étudie le signe def?(x) au moyen d"un tableau. ln(x)>0??x>1 et 2-ln(x)>0??2>ln(x)??e2>x??x2-ln(x)++++++0--- x20+++++++++ f?(x)=ln(x)(2-ln(x))x2---0+++0--- c.f(1)=?ln(1)?21=0 etf?e2?=?ln?e2??2e2=4e2≈0,54<1 On obtient alors le tableau de variations ci-dessous, que l"on complète : x0 1 e2+∞ +∞4e2<1 f(x) 00 1α Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna228 novembre2017

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.D"après le tableau de variations précédent, on peut dire quel"équationf(x)=1 admet une solu-

tion unique sur]0 ;+∞[et que cette solutionαappartient à l"intervalle]0 ; 1[.?f(0,4)≈2,1>1

f(0,5)≈0,96<1=?α?]0,4 ; 0,5[?f(0,49)≈1,04>1 f(0,50)≈0,96<1=?α?]0,49 ; 0,50[

Exercice 33 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soit la fonctionfdéfinie sur l"ensemble des nombres réels parf(x)=2ex-e2x etCsa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour toutxappartenant à[0 ; ln(2)],f(x) est positif.

PropositionA :

L"aire du domaine délimité par les droites d"équationsx=0 etx=ln(2), l"axe des abscisses et la courbe

Cest égale à 1 unité d"aire.

Commelafonctionfestpositivesur[0; ln(2)],l"airedudomaineestégaleàA=? ln(2) 0 f(x)dx. La fonctionfa pour primitive la fonctionFdéfinie surRparF(x)=2ex-e2x 2.

DoncA=F(ln(2))-F(0)=?

2×2-4

2? 2-12? =12.

PropositionA fausse

PartieB

Soitnun entier strictement positif.

Soit la fonctionfndéfinie sur l"ensemble des nombres réels parfn(x)=2nex-e2xetCnsa représen-

tation graphique dans un repère orthonormé. On admet quefnest dérivable et queCnadmet une tangente horizontale en un unique pointSn.

PropositionB :

Pour tout entier strictement positifn, l"ordonnée du pointSnestn2. C nadmet une tangente horizontale au pointSnd"abscisseαoùfn(α)=0. f Donc le pointSna pour abscisse ln(n); son ordonnée est f(ln(n))=2neln(n)-e2ln(n)=2n2-n2=n2.

PropositionB vraie

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats

On considère la suite des nombres complexes

(zn)définie pour tout entier naturelnparzn=1+i (1-i)n.

1.Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.

a. zn+4 zn=1+i (1-i)n+4 1+i (1-i)n= 1+i (1-i)n+4×(1-i)n1+i=1(1-i)4 (1-i)4=?(1-i)2?2=?1-2i+i2?2=(-2i)2=4i2=-4. Donczn+4 zn=-14?R. b. zn+4 zn=-14??zn+4=-14znqui entraîne-----→OAn+4=-14---→OAnet on en déduit que les vecteurs

-----→OAn+4et---→OAnsont colinéaires, ce qui signifie que les points O,AnetAn+4sont alignés.

Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna328 novembre2017

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On sait que pour deux nombres complexesz1etz2non nuls, arg?z1z2?

=arg(z1)-arg(z2)[2π]. arg(1+i)=π

4[2π]et arg(1-i)=-π4[2π]donc arg(1-i)n=-nπ4[2π]

On a alors : arg

?1+i (1-i)n? =arg(1+i)-arg((1-i)n)[2π]=?π4? -nπ4? [2π]=(n+1)π4[2π] Le nombreznest réel si et seulement si son argument est égal àkπaveck?Z: (n+1)π

4=kπ??n+1=4k??n=4k-1 aveck?Z.

Le nombreznest réel si et seulement sin=4k-1 aveck?Z.

Exercice 55 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Soit (un)la suite définie paru0=3,u1=6 et, pour tout entier natureln:un+2=5

4un+1-14un.

PartieA :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite(un)à l"aide d"un tableur.

On a reproduit ci-dessous une partie d"une feuille de calcul, où figurent les valeurs deu0et deu1.

1.La formule àsaisir dans la cellule B4, puis àrecopier vers lebas, permettant d"obtenir des valeurs

de la suite (un)dans la colonne B est= 5*B3/4 - B2/4

2.On complète le tableau donné dans le texte avec des valeurs approchées à 10-3près deun:

AB 1nun 203
316

426,75

536,938

646,984

756,996

3.On peut conjecturer que la suite(un)converge vers le nombre 7.

PartieB : Étude de la suite

On considère les suites

(vn)et(wn)définies pour toutnpar :vn=un+1-1

4unetwn=un-7.

1. a.vn+1=un+2-1

b.La suite (vn) est constante, donc pour toutn,vn=v0=u1-1quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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