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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S? Nouvelle-Calédonie& Wallis etFutuna - 28 novembre 2017

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.

PartieA : Enutilisant le bus

On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre

son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoireTBqui suit la loi

uniforme sur[12 ; 15].

1.On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alors pour

αetβtels quea?α?β?b, on aP(α?T?β)=β-α b-a. CommeTBsuit une loi uniforme sur[12 ; 15],P(12?TB?14)=14-12

15-12=23.

2.La durée moyenne du trajet est donnée par l"espérance mathématique de la variable aléatoire.

On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alors

E(T)=a+b

2; donc la durée moyenne du trajet estE(TB)=12+152=13,5 minutes.

PartieB : Enutilisant son vélo

On suppose à présent que Sofia choisit d"utiliser son vélo.

La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée parla variable aléatoireTVqui suit la loi

normale d"espéranceμ=14 et d"écart-typeσ=1,5.

1.Si une variable aléatoireTsuit une loi normale de paramètresμetσ, alorsP(T<μ)=0,5.

CommeTVsuit la loi normale de paramètresμ=14 etσ=1,5, alorsP(TV<14)=0,5.

2.La probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma est

P(12?TV?13)≈0,409 (trouvé à la calculatrice).

PartieC : En jouantaux dés

Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dééquilibré à 6 faces.

Si elle obtient 1 ou 2, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note :

Bl"évènement "Sofia prend le bus»;

Vl"évènement "Sofia prend son vélo»; Cl"évènement "Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre aucinéma».

1.Sofia prend le bus quand elle obtient 1 ou 2 en lançant le dé, donc avec une probabilité de1

3. On résume les données dans un arbre pondéré : B 1/3C 2/3 C1/3 V 2/3C 0,409

C0,591

D"après la formule des probabilités totales :P(C)=P(B∩C)+P(V∩C)≈1

3×23+23×0,409≈0,49.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Sachant que Sofia a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendreau cinéma, la probabilité, arrondie

à 10

-2, qu"elle ait emprunté le bus estPC(B)=P(B∩C)

P(C)≈2

0,49≈0,45.

Exercice 25 points

Commun à tous lescandidats

On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=?ln(x)?2 x. On noteCla courbe représentative defdans un repère orthonormé.

1.On cherche la limite de la fonctionfen 0 :

lim x→0 x>0ln(x)=-∞ =?limx→0 x>0? ln(x)?2=+∞ lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0? ln(x)?2x=+∞et donc limx→0 x>0f(x)=+∞ On en déduit que la droite d"équationx=0 est asymptote verticale à la courbeC.

2. a.On sait que pour touta>0, ln??

a?=12ln(a).

On en déduit que, pourx>0,?ln??

x??2=?12ln(x)? 2 =14?ln(x)?2.

On a donc pour toutxde]0 ;+∞[:

4?ln??

x??x? 2 =4?ln?? b.En utilisant cette écriture def(x), on cherche la limite def(x) en+∞: lim x→+∞? x=+∞

On poseX=?

x lim

X→+∞ln(X)

X=0???????

=?limx→+∞ln?? x??x=0 donc limx→+∞f(x)=0.

On en déduit que l"axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonc-

tionfau voisinage de+∞.

3.On admet quefest dérivable sur]0 ;+∞[et on notef?sa fonction dérivée.

a.Pour toutxde]0 ;+∞[,f?(x)=21 xln(x)×x-?ln(x)?2×1 x2=ln(x)?2-ln(x)?x2. b.On étudie le signe def?(x) au moyen d"un tableau. ln(x)>0??x>1 et 2-ln(x)>0??2>ln(x)??e2>x??x2-ln(x)++++++0--- x20+++++++++ f?(x)=ln(x)(2-ln(x))x2---0+++0--- c.f(1)=?ln(1)?21=0 etf?e2?=?ln?e2??2e2=4e2≈0,54<1 On obtient alors le tableau de variations ci-dessous, que l"on complète : x0 1 e2+∞ +∞4e2<1 f(x) 00 1α Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna228 novembre2017

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.D"après le tableau de variations précédent, on peut dire quel"équationf(x)=1 admet une solu-

tion unique sur]0 ;+∞[et que cette solutionαappartient à l"intervalle]0 ; 1[.?f(0,4)≈2,1>1

f(0,5)≈0,96<1=?α?]0,4 ; 0,5[?f(0,49)≈1,04>1 f(0,50)≈0,96<1=?α?]0,49 ; 0,50[

Exercice 33 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soit la fonctionfdéfinie sur l"ensemble des nombres réels parf(x)=2ex-e2x etCsa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour toutxappartenant à[0 ; ln(2)],f(x) est positif.

PropositionA :

L"aire du domaine délimité par les droites d"équationsx=0 etx=ln(2), l"axe des abscisses et la courbe

Cest égale à 1 unité d"aire.

Commelafonctionfestpositivesur[0; ln(2)],l"airedudomaineestégaleàA=? ln(2) 0 f(x)dx. La fonctionfa pour primitive la fonctionFdéfinie surRparF(x)=2ex-e2x 2.

DoncA=F(ln(2))-F(0)=?

2×2-4

2? 2-12? =12.

PropositionA fausse

PartieB

Soitnun entier strictement positif.

Soit la fonctionfndéfinie sur l"ensemble des nombres réels parfn(x)=2nex-e2xetCnsa représen-

tation graphique dans un repère orthonormé. On admet quefnest dérivable et queCnadmet une tangente horizontale en un unique pointSn.

PropositionB :

Pour tout entier strictement positifn, l"ordonnée du pointSnestn2. C nadmet une tangente horizontale au pointSnd"abscisseαoùfn(α)=0. f Donc le pointSna pour abscisse ln(n); son ordonnée est f(ln(n))=2neln(n)-e2ln(n)=2n2-n2=n2.

PropositionB vraie

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats

On considère la suite des nombres complexes

(zn)définie pour tout entier naturelnparzn=1+i (1-i)n.

1.Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.

a. zn+4 zn=1+i (1-i)n+4 1+i (1-i)n= 1+i (1-i)n+4×(1-i)n1+i=1(1-i)4 (1-i)4=?(1-i)2?2=?1-2i+i2?2=(-2i)2=4i2=-4. Donczn+4 zn=-14?R. b. zn+4 zn=-14??zn+4=-14znqui entraîne-----→OAn+4=-14---→OAnet on en déduit que les vecteurs

-----→OAn+4et---→OAnsont colinéaires, ce qui signifie que les points O,AnetAn+4sont alignés.

Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna328 novembre2017

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On sait que pour deux nombres complexesz1etz2non nuls, arg?z1z2?

=arg(z1)-arg(z2)[2π]. arg(1+i)=π

4[2π]et arg(1-i)=-π4[2π]donc arg(1-i)n=-nπ4[2π]

On a alors : arg

?1+i (1-i)n? =arg(1+i)-arg((1-i)n)[2π]=?π4? -nπ4? [2π]=(n+1)π4[2π] Le nombreznest réel si et seulement si son argument est égal àkπaveck?Z: (n+1)π

4=kπ??n+1=4k??n=4k-1 aveck?Z.

Le nombreznest réel si et seulement sin=4k-1 aveck?Z.

Exercice 55 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Soit (un)la suite définie paru0=3,u1=6 et, pour tout entier natureln:un+2=5

4un+1-14un.

PartieA :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite(un)à l"aide d"un tableur.

On a reproduit ci-dessous une partie d"une feuille de calcul, où figurent les valeurs deu0et deu1.

1.La formule àsaisir dans la cellule B4, puis àrecopier vers lebas, permettant d"obtenir des valeurs

de la suite (un)dans la colonne B est= 5*B3/4 - B2/4

2.On complète le tableau donné dans le texte avec des valeurs approchées à 10-3près deun:

AB 1nun 203
316

426,75

536,938

646,984

756,996

3.On peut conjecturer que la suite(un)converge vers le nombre 7.

PartieB : Étude de la suite

On considère les suites

(vn)et(wn)définies pour toutnpar :vn=un+1-1

4unetwn=un-7.

1. a.vn+1=un+2-1

b.La suite (vn) est constante, donc pour toutn,vn=v0=u1-1

4u0=6-34=214.

Donc, pour toutn,un+1-1

4un=214doncun+1=14un+214.

2. a.Soit la propriétéun •Initialisationu0=3 etu1=6 doncu04un<14un+1<154=?14un+214<14un+1+214<154+214ce qui

équivaut àun+1 4. On en déduit queun+1•ConclusionOn a vérifié que la propriété était vraie pourn=0; on a démontré qu"elle était héréditaire
pourn?0. D"après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour toutn?0. Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna428 novembre2017
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier natureln,unLa suite (un) est croissante et majorée donc, d"après le théorème de la convergence mono-
tone, la suite (un) est convergente.
3. a.Pour toutn,wn=un-7 doncun=wn+7.
•wn+1=un+1-7=1
4un+214-7=14?wn+7?-74=14wn+74-74=14wn
•w0=u0-7=3-7=-4 Donc la suite (wn) est géométrique de premier termew0=-4 et de raisonq=1 4. b.On en déduit que, pour toutn,wn=w0×qn=-4×?1 4? n =-4×14×?14? n-1 =-?14? n-1
Orun=wn+7 donc, pour toutn,un=7-?1
4? n-1 c.-1<1
4<1 donc, d"après les propriétés des limites des suites géométriques, limn→+∞?
14? n-1 =0.
On en déduit que lim
n→+∞un=7.
Exercice 55 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité
Dansunterritoiredonné,ons"intéresse àl"évolution coupléededeuxespèces:lesbuses(lesprédateurs)
et les campagnols (les proies). Des scientifiques modélisent, pour tout entier natureln, cette évolution par : ?b
0=1000
c
0=1500
b n+1=0,3bn+0,5cn c n+l= -0,5bn+1,3cn oùbnreprésente approximativement le nombre de buses etcnle nombre approximatif de campagnols le 1 erjuin de l"année 2000+n(oùndésigne un entier naturel).
1.On noteAla matrice?0,3 0,5
-0,5 1,3? et, pour tout entier natureln,Unla matrice colonne?bn c n? a. ?bn+1=0,3bn+0,5cn c n+l= -0,5bn+1,3cndonc?b1=0,3b0+0,5c0=0,3×1000+0,5×1500=1050 c
1= -0,5b0+1,3c0= -0,5×1000+1,3×1500=1450

DoncU1=?10501450?
c
2= -0,5b1+1,3c1= -0,5×1050+1,3×1450=1360doncU2=?10401360?
b.On sait que?bn+1=0,3bn+0,5cn c n+l= -0,5bn+1,3cnce qui s"écrit sous forme matricielle : ?bn+1 c n+1? =?0,3 0,5 -0,5 1,3?
×?bn
c n? c"est-à-direUn+1=AUn.
2.On donne les matricesP=?1 01 1?
,T=?0,8 0,5
0 0,8?
etI=?1 00 1? On admet quePa pour inverse une matriceQde la forme?1 0 a1? oùaest un réel. a.On doit déterminer le réelapour quePQ=QP=I.
PQ=?1 01 1?

×?1 0
a1? =?1×1+0×a1×0+0×1
1×1+1×a1×0+1×1?
=?1 0 1+a1? Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna528 novembre2017
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PQ=I??1+a=0??a=-1; doncQ=?1 0
-1 1?
On vérifie :QP=?1 0
-1 1?
×?1 01 1?
=?1×1+0×1 1×0+0×1 -1×1+1×1-1×0+1×1? =?1 00 1?
Donc la matriceQ=?1 0
-1 1? est l"inverse de la matriceP=?1 01 1? b.On admet queA=PTQ.
Soit la propriétéAn=PTnQ.

•InitialisationOn a admis queA=PTQce qui s"écritA1=PT1Q; la propriété est donc vraie pourn=1.

•HéréditéOn suppose la propriété vraie au rangn?1n c"est-à-direAn=PTnQ; c"est l"hypothèse
de récurrence. A n+1=A×An=?PTQ??PTnQ?=P?T(QP)Tn?Q Les matricesPetQsont inverses l"une de l"autre doncQP=I.
TPQ=TI=TetT×Tn=Tn+1.
On peut donc écrireAn+1=PTn+1Qce qui démontre que la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion

On a vérifié la propriété pourn=1. On a démontré que la propriété était héréditaire pour
toutn?1. D"après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour toutn?1. On a donc démontré que, pour toutnnon nul,An=PTnQ. c.Soit la propriétéTn=?0,8n0,5n×0,8n-1 0 0,8 n? oùT=?0,8 0,5
0 0,8?
0 0,8 1? =?0,8 0,5
0 0,8?
=T Donc la propriété est vérifiée pourn=1.
•HéréditéOn suppose la propriété vraie pourn?1 c"est-à-direTn=?0,8n0,5n×0,8n-1
0 0,8 n? ; c"est l"hypothèse de récurrence. T n+1=Tn×T=?0,8n0,5n×0,8n-1 0 0,8 n?
×?0,8 0,5

0 0,8?
?0,8n×0,8+0,5n×0,8n-1×0 0,8n×0,5+0,5n×0,8n-1×0,8
0×0,8+0,8n×0 0×0,5+0,8n×0,8?
?0,8n+10,8n×0,5+0,5n×0,8n 0 0,8 n+1? =?0,8n+10,5(n+1)×0,8n 0 0,8 n+1?
Donc la propriété est vraie au rangn+1.

•ConclusionOn a vérifié que la propriété était vraie au rangn=1. On a démontré qu"elle était hérédi-
taire pour toutn?1. D"après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour toutn?1. On a donc démontré que, pour toutn?1,Tn=?0,8n0,5n×0,8n-1 0 0,8 n?
3.Lucie exécute l"algorithme ci-dessous et obtient en sortieN=40.
Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna628 novembre2017
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Initialisation :Nprend la valeur 0

Bprend la valeur 1000

Cprend la valeur 1500

Traitement : Tant queB>2 ouC>2

Nprend la valeurN+1

Rprend la valeurB

Bprend la valeur 0,3R+0,5C

Cprend la valeur-0,5R+1,3C

Fin Tant Que

Sortie : AfficherN
PourN=40 donc au bout de 40 ans, on a à la foisB?2 etC?2, donc le nombre de buses et de campagnols devient dangereusement réduit.
4.On admet que, pour tout entier naturelnnon nul, on aUn=((((1000×0,8n+625

2n×0,8n

1500×0,8n+625

2n×0,8n))))
etn?10×1,1n. a.D"après la matriceUn, on abn=1000×0,8n+625 pour toutn. ce sont des nombres positifs : 0?bnet 0?cn.
On sait quen?10×1,1n, donc 1000×0,8n+625
donc on peut dire quebn?1000×0,8n+3125×0,88n.
D"après les propriétés des limites des suites géométriques, comme-1<0,8<1, on sait que
limn→+∞?0,8?n=0, et comme-1<0,88<1, on sait que limn→+∞?0,88?n=0.
On en déduit que lim
On sait que 0?bn?1000×0,8n+3125×0,88n; d"après le théorème des gendarmes, on peut déduire que limn→+∞bn=0. Par un raisonnement similaire, on démontre que lim n→+∞cn=0. b.Desmesureseffectuées dansdesterritoirescomparablesmontrent quelapopulation decam- pagnols reste toujours supérieure à au moins 50 individus, ce qui veut dire quecn>50. Avec le modèle étudié, le nombre de campagnols tend vers 0 donc deviendra plus petit que
50 à partir d"un certain rang.

À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l"exercice ne paraît donc pas cohé-
rent. Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna728 novembre2017quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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[PDF] Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna – 28 novembre 2017

A. P. M. E. P.

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

PartieA : Enutilisant le bus

1.On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alors pour

15-12=23.

2.La durée moyenne du trajet est donnée par l"espérance mathématique de la variable aléatoire.

E(T)=a+b

2; donc la durée moyenne du trajet estE(TB)=12+152=13,5 minutes.

PartieB : Enutilisant son vélo

1.Si une variable aléatoireTsuit une loi normale de paramètresμetσ, alorsP(T<μ)=0,5.

2.La probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma est

PartieC : En jouantaux dés

Bl"évènement "Sofia prend le bus»;

1.Sofia prend le bus quand elle obtient 1 ou 2 en lançant le dé, donc avec une probabilité de1

C0,591

3×23+23×0,409≈0,49.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Sachant que Sofia a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendreau cinéma, la probabilité, arrondie

à 10

P(C)≈2

0,49≈0,45.

Exercice 25 points

Commun à tous lescandidats

1.On cherche la limite de la fonctionfen 0 :

2. a.On sait que pour touta>0, ln??

On en déduit que, pourx>0,?ln??

On a donc pour toutxde]0 ;+∞[:

4?ln??

On poseX=?

X→+∞ln(X)

X=0???????

3.On admet quefest dérivable sur]0 ;+∞[et on notef?sa fonction dérivée.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.D"après le tableau de variations précédent, on peut dire quel"équationf(x)=1 admet une solu-

Exercice 33 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

PropositionA :

Cest égale à 1 unité d"aire.

DoncA=F(ln(2))-F(0)=?

2×2-4

PropositionA fausse

PartieB

Soitnun entier strictement positif.

PropositionB :

PropositionB vraie

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats

On considère la suite des nombres complexes

1.Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On sait que pour deux nombres complexesz1etz2non nuls, arg?z1z2?

4[2π]et arg(1-i)=-π4[2π]donc arg(1-i)n=-nπ4[2π]

On a alors : arg

4=kπ??n+1=4k??n=4k-1 aveck?Z.

Exercice 55 points

4un+1-14un.

PartieA :

1.La formule àsaisir dans la cellule B4, puis àrecopier vers lebas, permettant d"obtenir des valeurs

2.On complète le tableau donné dans le texte avec des valeurs approchées à 10-3près deun:

426,75

536,938

646,984

756,996

3.On peut conjecturer que la suite(un)converge vers le nombre 7.

PartieB : Étude de la suite

On considère les suites

4unetwn=un-7.

1. a.vn+1=un+2-1

4u0=6-34=214.

Donc, pour toutn,un+1-1

4un=214doncun+1=14un+214.

2. a.Soit la propriétéun •Initialisationu0=3 etu1=6 doncu04un<14un+1<154=?14un+214<14un+1+214<154+214ce qui

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3. a.Pour toutn,wn=un-7 doncun=wn+7.

4un+214-7=14?wn+7?-74=14wn+74-74=14wn

Orun=wn+7 donc, pour toutn,un=7-?1

4<1 donc, d"après les propriétés des limites des suites géométriques, limn→+∞?

Bl"évènement "Sofia prend le bus»;