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Aire d"une fractale

Harold Erbin

29 mai 2009

Résumé

L"objectif de ce document est de déterminer l"aire d"une fractale formée à partir de la répétition d"un triangle équilatéral.

Table des matières

1 Aire du triangle initial

2

2 Formule de récurrence

2

3 Définition de l"aire

3

4 Calcul de la série

4

5 Conclusion

4 1

1 Aire du triangle initial

Soit un triangle équilatéralABCde côtéa2Ret notonsAl"aire de ce triangle.

On a alors

A=k!AB^!ACk2

12 k!ABk k!ACk sin(!AB;!AC) 12 a2sin3 p3 4 a2 cark!ABk=k!ACk=a. Ainsi, l"aire1est doncA=p3 4 a2(1)

2 Formule de récurrence

NotonsAl"aire de la fractale etSnl"aire de la figure aprèsnreproduction du motif.

Ainsi, d"après (

1 ), nous avons immédiatement S 0=p3 4 a2 Calculons maintenant l"aire après une première reproduction du motif. Il appa- rait clairement qu"il faut rajouter l"aire des trois "nouveaux" triangles, de côté a=3, à l"aire du précédent, ce qui donne S

1=S0+3p3

4 a3 2 De même, l"aire après une deuxième reproduction (douze triangles, de côtéa=9, supplémentaires) sera S

2=S1+12p3

4 a3 2 2

L"on remarque que

S

1=S0+3p3

4 40a3
1 2 S

2=S1+3p3

4 41a3
2

21. Il était aussi possible de calculer l"aire avecA= (ah)=2, oùh=asin(=3)est la

hauteur du triangle. 2 et l"on pourrait continuer ainsi. Il parait donc naturel d"utiliser une récurrence pour déterminer lanè aire, puis- qu"à chaque reproduction, il y a34n"nouveaux" triangles dont la valeur du côté est celle du précédent divisée par 3. L"on posera donc8 :S 0=p3 4 a2 S n=Sn+1+3p3 4 4n1a3 n 2(2) L"on remarque queS0ne peut se mettre sous la même forme que l"expression générale. Pour cette raison il est nécessaire de distinguer le distinguer du cas général.

3 Définition de l"aire

Finalement, pour déterminer l"aire de la fractale, il faut additionner les aires de tous les triangles, lorsquentend vers l"infini. C"est à direA=S0+3p3 4 a21X n=14 n13 2n(3)

On notera

S=1X n=14 n13 2n(4) et ne nous attacherons plus qu"à l"étude de ce terme :S0étant une constante, il s"agit d"un nombre forcément fini qu"il suffira d"ajouter à l"autre terme une fois qu"il aura été déterminé, et de même, le terme constant devant la somme n"indique rien sur le comportement de l"aire quandntend vers l"infini. L"on reconnait donc une série de terme général u n=4n13 2n(5) Chercher à calculer l"aireAn"a de sens que si elle est finie, c"est à dire que le termeSne tend pas vers l"infini quandntend vers l"infini, ce que nous allons vérifier.

Formons le rapport de d"Alembert

u n+1u n=4n3

2(n+1)4n13

2n =4 9 <1ce qui implique laconvergencede la série. 3

4 Calcul de la série

L"idée est de manipuler la série pour faire apparaitre une série géométrique

2, à

savoir S=1X n=14 n13 2n 14 1 X n=1 49
n =14

114=91

14 95
1 14 45
=15 d"où

3S=15(6)

5 Conclusion

Nous pouvons remplacerSpar sa valeur (6) dans (3), et nous obtenons donc la valeur de l"aire A=p3 4 a2+3p3 4 a215 =p3 4 a2 1 +35 d"où, finalement

4A=2p3

5 a2=85 S0(7) en utilisant la définition deS0(1). Remarque : on a la valeur approchéeA 0:693a2.2. Rappel : 1X n=1aq n=a11q1

3. Un calcul effectué par

W olfram

confirme cette v aleur.

4. Il est aussi possible de comparer, par exemple, l"aire obtenue avec celle du cercle cir-

conscrit (Ac==3a21:04a2) puisque, graphiquement, l"on remarque que la fractale est toujours contenue dans ce cercle. On a bienA