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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I Exemple d'introduction Un laboratoire pharmaceutique a
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Probabilités conditionnelles et indépendance – Fiche de cours 1 Probabilités – Variable aléatoire 1 1 Vocabulaire et propriétés des événements
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? Probabilité conditionnelle de A sachant B: (probabilité que A se réalise sachant que B se réalise) C'est une probabilité sur B
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n° 22 page 295 pour introduire et découvrir la suite du cours Page 2 2 II Partition et formule des probabilités totales Définition :
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Probabilités conditionnelles cours terminale S F Gaudon 24 octobre 2016 Table des matières 1 Notion de probabilité conditionnelle 2 2 Arbre pondérés
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La notion de probabilité conditionnelle permet de formuler rigoureusement une la définition mathématique des probabilités conditionnelles pour calculer
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Nous appelons probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre assuré jeune conducteur ait un sinistre responsable (S) au cours de l'année est de
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La notion de probabilité conditionnelle est la plus importante Au cours d'une fête foraine on veut étudier le résultat d'une loterie où il n'y a qu'un
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Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid Royaume du Maroc Alors on appelle Probabilité Conditionnelle de A sachant que B est réalisée
Chapitre 2 : Probabilités conditionnelles
La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu’il est guéri se note P G(A) et est égale à P G(A)= 383 674 ?057=57 La probabilité que le patient soit guéri sachant qu’il a pris le médicament B se note P B(G) et est égale à P B(G)= 291 345 ?084=84
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - maths et tiques
On appelle probabilité conditionnelle de ! sachant " la probabilité que l'événement # se réalise sachant que l'événement $ est réalisé On la note : !(#) Remarque : On rappelle que comme pour les probabilités simples on a : 0? !(#)?1 Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l’aide d’un tableau
Chapitre 2 : Probabilités conditionnelles - LeWebPédagogique
Application 1 : Calculer une probabilité conditionnelle Dans une population donnée 84 des personnes possèdent un téléphone portable et 75 des personnes possèdent un ordinateur De plus 60 des personnes de cette population déclarent posséder les deux On rencontre par hasard une personne de cette population
PROBABILITES CONDITIONNELLES ET THEOREME DE BAYES - Inserm
La probabilité conditionnelle est donc bien comprise entre 0 et 1 ; de plus elle satisfait à Pr{B1 ?B2 / A}=Pr{B1 / A}+Pr{B2 / A}?Pr{B1 ?B2 / A} La probabilité conditionnelle a donc bien les propriétés d’une probabilité On peut définir de façon symétrique Pr{A/ B} = Pr{A et B} Pr{B}
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De manière intuitive ce nombre correspond à la probabilité que l’évènement B se réalise sachant que l’évènement A s’est déjà réalisé Lorsque P(A) > 0etP(B) > 0 il est parfois utile d’observer que les égalités suivantes sont satisfaites : P(A?B)=P(A) ×P A(B)=P(B) ×P B(A)
Comment calculer la probabilité conditionnelle ?
I. Probabilité conditionnelle 1. Probabilité de B sachant A Définition Soit A et deux événements de ?, tels ?ue P ~A ? 0. On appelle probabilité de B sachant A, et on note P A (B), la probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé. On a : P A (B) =
Comment calculer les probabilités conditionnelles dans un tableau à double entrée ?
Les tableaux à double entrée permettent une présentation claire de certaines expériences aléatoires et facilitent le calcul des probabilités conditionnelles. Ainsi, il y a toujours 1 dans la case en bas à droite du tableau. mathrm {P (A cap B)} se lit à l'intersection de la ligne ext {A} et de la colonne ext {B}.
Comment calculer la probabilité de B ?
Soit A et deux événements de ?, tels ?ue P ~A ? 0. On appelle probabilité de B sachant A, et on note P A (B), la probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé. On a : P A (B) = Remarques Il s’agit d’une nouvelle p?oailité, dite p?oailité onditionnelle, définie su? l’unives ?.
Quelle est la probabilité d’un chemin ?
Un cheminest une suite de branches : il ?ep?ésente l’intesetion des événements ?enont?és su? e chemin. La probabilité du chemin sur lequel on rencontre les événements A et B est : P (A B). Un nœud est le point de dépat d’une ou plusieu?s ?anhes.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I. Exemple d'introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants : A : " Le patient a pris le médicament A. » G : " Le patient est guéri. » On a alors : La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à PA
455800
≈0,57=57% . La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à PG 674
800
≈0,84=84%
. La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A
383800
≈0,48=48%
. La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A
72800
=0,09=9%
. 2) On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note P
G A et est égale à P G A 383674
≈0,57=57% . La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note P B G et est égale à P B G 291
345
≈0,84=84%
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Définition : On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note :
P A (B)II. Arbre pondéré Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo 1) Règles de calcul Un sac contient 50 boules, dont : - 20 boules rouges, - 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". - Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. - Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit
R∩G
est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) :
P(R)= 20 502 5 =0,4
Règle 1 : À partir d'un même noeud, la somme des probabilités est égale à 1. À partir du noeud "On tire une boule", on a :
0,4+P(R)=1
DoncP(R)=1-0,4=0,6
. b) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : P R (G)= 15 20 =0,75. Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin. On considère le chemin menant à
R∩G
. On a :P(R∩G)=0,4×0,75=0,3
c) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire est : P R (G)= 9 30=0,3 . Et donc
P(R∩G)=0,6×0,3=0,18
d) L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux chemins menant àR∩G
etR∩G
. Donc. Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. 2) Utilisation d'un arbre pondéré Méthode : Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre Vidéo https://youtu.be/qTpTBoZA7zY Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - sachant qu'un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - sachant qu'un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On note les événements :
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4M : " Être porteur de la maladie » T : " Avoir un test positif ». 1) Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé. 2) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 3) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? D'après BAC S (et oui !), Antilles-Guyanne 2010 1) 2) La probabilité que le test soit positif est associée aux événements :
M∩T
etM∩T
PM∩T
=0,02 x 0,85 = 0,017 (règle 2)PM∩T
=0,98 x 0,05 = 0,049P(T)=P(M∩T)+P(M∩T)
(règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 3) Propriété :
P A (B)=P(A∩B)
P(A) T MPT∩M
PT0,02×0,85
0,066 ≈0,26. La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26%. Le test n'est pas fiable ! Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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