TD électronique MP-PC-PSI-PT PDF afin de vous permettre de

Objectifs pédagogiques : Séance de remédiation sur la résolution d'équations – niveau. 2nde. Voie : générale et technologique.

SYSTEMES DEQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SYSTEMES D'EQUATIONS. I. Méthodes de résolution. Exercices conseillés.

Utiliser linverse dune matrice pour résoudre un système d

En déduire l'expression de kL en fonction de L. Solution: Le système d'équations précédent s'écrit sous forme matricielle : AX = B avec : A =.

Première S - Equations cartésiennes dune droite

Réponse : Les points A et B appartiennent à la droite d donc le vecteur est un vecteur directeur de cette droite. (10 – 5 ; 23 – 13) soit (5 ; 10) en

fondmath1.pdf

pas résoudre certaines équations comme x +5 = 3. Il fallut alors introduire un ensemble agrandi du précédent que l'on appellera entiers relatifs (par

TD électronique MP-PC-PSI-PT

afin de vous permettre de vous aiguiller dans la résolution d'un exercice et Pour obtenir l'équation différentielle liant la tension d'entrée e.

Programme denseignement optionnel de mathématiques

notamment de calcul (mental ou réfléchi numérique ou littéral). Elle est menée conjointement avec la résolution de problèmes motivants et substantiels

Série statistique à deux variables A

Déter- miner une équation de la droite sous la forme. (on prendra pour m et p des valeurs arrondies à 2 décimales). Âge. 36. 42. 48. 54. 60. 66. Tension. 12.

Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale

- Résolution par la méthode d'Euler de y' = ƒ de y' = ay + b. • Calcul intégral. La définition de l'intégrale s'appuie sur la notion intuitive d'aire

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- 1 -

TRAVAUX DIRIGES

D'ELECTRONIQUE

MP/MP*

PC/PC*

PSI/PSI*

PT/PT*

Ce TD comporte deux séries d"exercices :

1) Des exercices d"applications directes du cours

2) Des exercices d"entrainement à l"écrit des concours (issus des annales X-ENS, Mines-

Ponts, Centrale-Supélec et CCP)

Dans la première série vous trouverez, pour chacune des parties " composition en fréquence

d"un signal périodique », " filtres linéaires », " oscillateurs quasi-sinusoïdaux » et

" amplificateur opérationnel en régime saturé » donnant :

Conseils

Méthodes Erreurs à éviter

A Indications

afin de vous permettre de vous aiguiller dans la résolution d"un exercice et d"acquérir les bons

réflexes pour aborder une situation nouvelle.

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- 2 -

Sommaire

1ère série :

Remarques générales pour la composition en fréquence d"un signal périodique ......... page 3

Exercice 1 : Signal obtenu avec un multiplieur ................................................. page 5

Exercice 2 : Décomposition d"un signal carré ................................................... page 6

Remarques générales pour les filtres linéaires ................................................... page 7

Exercice 3 : Utilisation d"un multiplieur pour la mesure de déphasage .................... page 10

Exercice 4 : Filtre de Rauch ......................................................................page 12

Remarques générales pour les oscillateurs quasi-sinusoïdaux ............................... page 15

Exercice 5 : Oscillateur à résistance négative ................................................. page 16

Exercice 6 : Oscillateur à pont de Wien ........................................................ page 18

Remarques générales pour l"amplificateur opérationnel en régime saturé ................... page 20

Exercice 7 : Allumage automatique des réverbères .......................................... page 21

Exercice 8 : Réalisation d"un GBF sommaire ................................................ page 23

2ème série :

Exercice 9 : Décomposition d"un signal modulé en amplitude ............................. page 26

Exercice 10 : Signal généré par un intégrateur ................................................ page 27

Exercice 11 : Signal redressé par diode ........................................................ page 29

Exercice 12 : Analyse des composantes fréquentielles d"un signal sonore ................ page 31

Exercice 13 : Démodulation d"un signal modulé en amplitude ............................. page 33

Exercice 14 : Montage intégrateur à amplificateur opérationnel ............................ page 35

Exercice 15 : Principe d"une montre à quartz ................................................. page 37

Exercice 16 : Détection de véhicule ............................................................ page 39

Exercice 17 : Sonde thermique ................................................................. page 43

Exercice 18 : Interrupteur commandé pour éolienne ........................................ page 45

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- 3 -

1ère série : exercices d'applications directes du cours

◊◊◊◊ Remarques générales pour la composition en fréquence d"un signal

périodique

Conseils :

· Regarder si le signal à étudier est composé de termes sunusoïdaux ou s"il est

périodique non sinusoïdal (de type créneau, triangle, ...). · Dans tout le TD on garde les même notations, à savoir : pour une décomposition de la forme [ ]0

1( ) cos( ) sin( )n n

ns t a a n t b n tw w = + +∑ les coefficients se calculent à l"aide des intégrales suivantes : 0 01( ) T a s t dtT=∫ 0

2( )cos( )

T n a s t n t dtTw=∫ 0

2( )sin( )

T n b s t n t dtTw=∫ On écrira aussi la décomposition sous la forme : 0

1( ) cos( )n n

ns t c c n tw j = + +∑, ou bien 0

1( ) sin( )n n

ns t c c n tw j Méthodes : · Pour déterminer le spectre d"un signal possédant un nombre fini de termes : Lorsque le signal que l"on veut analyser est composé d"une multiplication de termes

sinusoïdaux, on linéarise en utilisant la trigonométrie, on obtient l"expression du

signal comme somme de termes sinusoïdaux, c"est-à-dire la décomposition de

Fourier du signal.

Il faut connaître les formules de trigonométrie qui permettent de linéariser. · Pour déterminer le spectre d"un signal possédant un nombre infini de termes : Lorsque le signal que l"on veut analyser est périodique et n"est pas composé de termes sinusoïdaux, on applique le théorème de Fourier et on calcule les coefficients

à l"aide du calcul intégral.

Erreur à éviter : · Si la décomposition contient des termes en cosinus et sinus relatifs à une même fréquence il ne faut pas ajouter les deux composantes dans le spectre mais écrire un seul terme : cos sin cos( )A a B a C aj+ = + avec 2 2C A B= + et arctanB

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- 4 -

· Un déphasage ne modifie pas le spectre.

A Indications :

· Les formules trigonométriques permettant de transformer un produit en somme sont les suivantes : ( )1sin cos sin( ) sin( )2a b a b a b= + + - ( )1cos cos cos( ) cos( )2a b a b a b= - + + ( )1sin sin cos( ) cos( )2a b a b a b= - - + · La décomposition de Fourier d"un signal sinusoïdal ( ) sins t a tw= est lui-même. · Si un terme de la décomposition possède un coefficient négatif, son amplitude dans le spectre est l"opposé de ce coefficient.

· Parité du signal :

si ( )s t est paire, alors 0nb= pour tout n; si ( )s t est impaire, alors 0na= pour tout n. · Dans le calcul des coefficients de Fourier na pas oublier les relations suivantes pour simplifier l"écriture :

2Tw p=

cos(2 ) 1np= cos( ) ( 1)nnp= - sin(2 ) sin( ) 0n np p= =

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- 5 - ◊◊◊◊ Exercice 1 : Signal obtenu avec un multiplieur Dans le montage ci-dessous, on dispose d"un multiplieur analogique, qui transforme les

signaux d"entrée 1( )v t et 2( )v t en un signal de sortie ( )s t tel que 1 2( ) ( ) ( )s t k v t v t= × × où k est

une constante. On choisit 1 1( ) cos( )v t V tw= et 2 2( ) sin( )v t V tw j= + Déterminer le graphe du spectre de Fourier du signal de sortie ( )s t du multiplieur.

Solution

Le signal de sortie

( )s t du multiplieur s"écrit 1 2( ) cos( )sin( )s t kVV t tw w j= +, ou encore

1 21( ) (sin(2 ) sin( ))2s t kVV tw j j= + +.

On en déduit que le signal

( )s t est composé de deux signaux : une composante continue d"amplitude

1 21sin2kVVj et une harmonique de rang 2 : 1 21sin(2 )2kVV tw j+ , de pulsation

2w et d"amplitude 1 21

2kVV (pas de terme fondamental).

Les coefficients

ncs"écrivent : 0 1 21sin2c kVVj= et 2 1 21

2c kVV=.

On remarque que

0 2c c< car sin 1j<.

Le spectre de Fourier du signal

( )s t est le suivant :

1( )v t

2( )v t( )s t

amplitude pulsation 2w"R0

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- 6 - ◊◊◊◊ Exercice 2 : Décomposition d"un signal carré Le montage suivant, appelé multivibrateur astable, fonctionne avec un amplificateur

opérationnel idéal en régime saturé (de tension de saturation satV), génère en sortie un signal

rectangulaire d"amplitude satV et de période 1 Déterminer le graphe du spectre de Fourier du signal sv pour 15 VsatV= (on calculera l"amplitude des quatre premiers termes).

Solution

Le signal

sv est impair, alors 0na= pour tout n, la valeur moyenne 0a est nulle aussi.

Calculons les coefficients

nb : /2

0 0 /22 2sin( ) sin( ) ( )sin( )

T T T n s sat sat T soit

2cos( /2) 1 cos( ) cos( /2)sat

nVn T n T n TbT n nw w w Or

2Tw p=, donc cos( ) 1n Tw= et cos( /2) cos( ) ( 1)nn T nw p= = - , on obtient alors

2(1 ( 1) )nsat

nVb np= - - . Si n est pair 0nb= , et si n est impair 4sat nVbnp=.

On peut écrire

41( ) sin((2 1) )2 1

sat s pVv t p tpwp

Les coefficients

nc s"écrivent : 2(1 ( 1) )nsat nVc np= - -. Avec

15 VsatV=, on obtient : 119,1Vc= , 36,4 Vc= , 53,8 Vc= , 72,7 Vc=.

Le spectre de Fourier du signal rectangulaire est le suivant : sv R C 1R 2R sv 0 t satV T 2 T nc

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- 7 - ◊◊◊◊ Remarques générales pour les filtres linéaires

Conseils :

· La fonction de transfert d"un filtre

( )Hw peut s"obtenir avec tous les " grands

théorèmes » : loi des mailles, loi des noeuds, loi de Pouillet, théorème de Thévenin,

théorème de Norton, théorème de superposition, loi des noeuds en terme de potentiel : tout est bon ! · Dans la pratique on utilisera le plus souvent le diviseur de tension ou le théorème de Millman. · On utilisera systématiquement la notation complexe qui permet d"éliminer la variable temporelle, l"aspect mathématique se réduit au calcul du module et de l"argument d"un nombre complexe, puis à une étude éventuelle d"une fonction de w. · Ecrire la fonction de transfert en fonction d"une variable adimensionnée 0 xw w= (pulsation réduite) où

0w est une grandeur caractéristique du système homogène à

l"inverse d"un temps, par exemple : 1 RC, R

L ou 1

LC. · Notations : la fonction de transfert se met sous la forme jH Gej= où G H= est le gain du filtre et argHj= est la phase. Méthodes : · Pour déterminer rapidement la nature du filtre :

On regarde la valeur de la tension de sortie

( )sv t en considérant les deux arguments suivants : - un condensateur se comporte : en basse fréquence comme un interrupteur ouvert, en haute fréquence comme un fil ; - une bobine se comporte : en basse fréquence comme un fil, en haute fréquence comme un interrupteur ouvert.

Puis on compare les valeurs de

sv à basse et haute fréquence et on donne la nature du filtre : passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande. · Pour déterminer le diagramme de Bode pour le gain : On chercher à tracer les asymptotes en basse et haute fréquence de la courbe (log )dBG x où 20logdBG H=. Pour (log )dBG x on cherche les limites sans négliger tous les termes, de manière à obtenir une relation de la forme (log ) log dBG x a x b= + (c"est-à-dire une équation de droite !).

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- 8 - · Pour déterminer le diagramme de Bode pour la phase : On chercher à tracer les asymptotes en basse et haute fréquence de la courbe (log )xj. Pour (log )xj les valeur limites ne dépendent pas de logx et valent le plus souvent :

0, p±, ou 2

p±.

j est le plus souvent exprimé à partir de la fonction arctan, pour connaître le

domaine de variation de j il est nécessaire de connaître le signe de cosj et de sinj. · Pour déterminer la bande passante d"un filtre :

On cherche la ou les fréquences de coupure

cw qui vérifient max( )2 cGGw=.

Ou bien on cherche les

cw telles que max( ) 3dB c dBG Gw= -. · Pour reconnaître le caractère dérivateur ou intégrateur d"un filtre : On regarde dans une bande de fréquence (BF ou HF) si la fonction de transfert est proportionnelle à jw : comportement dérivateur ou à 1 jw : comportement intégrateur. Dans les deux cas on observe une pente de

20 /décadedB± dans le

diagramme de Bode. · Pour obtenir l"équation différentielle liant la tension d"entrée ev à la tension de sortie sv à partir de la fonction de transfert :

La fonction de transfert s"écrit

s evP jHv Q j w w= = où P et Q sont deux polynômes.

L"équation différentielle s"obtient avec

()()s eQ j v P j vw w= en utilisant dvj vdtw®et 2 2

2( )d vj vdtw®.

· Pour obtenir l"effet d"un filtre sur un signal périodique :quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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MP/MP*

PC/PC*

PSI/PSI*

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Ce TD comporte deux séries d"exercices :

1) Des exercices d"applications directes du cours

2) Des exercices d"entrainement à l"écrit des concours (issus des annales X-ENS, Mines-

Ponts, Centrale-Supélec et CCP)

Conseils

A Indications

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Sommaire

1ère série :

2ème série :

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1ère série : exercices d'applications directes du cours

Conseils :

1( ) cos( ) sin( )n n

2( )cos( )

2( )sin( )

1( ) cos( )n n

1( ) sin( )n n

Fourier du signal.

à l"aide du calcul intégral.

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· Un déphasage ne modifie pas le spectre.

A Indications :

· Parité du signal :

2Tw p=

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Solution

Le signal de sortie

1 21( ) (sin(2 ) sin( ))2s t kVV tw j j= + +.

On en déduit que le signal

1 21sin2kVVj et une harmonique de rang 2 : 1 21sin(2 )2kVV tw j+ , de pulsation

2w et d"amplitude 1 21

2kVV (pas de terme fondamental).

Les coefficients

2c kVV=.

On remarque que

0 2c c< car sin 1j<.

Le spectre de Fourier du signal

1( )v t

2( )v t( )s t

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Solution

Le signal

Calculons les coefficients

0 0 /22 2sin( ) sin( ) ( )sin( )

2cos( /2) 1 cos( ) cos( /2)sat

2Tw p=, donc cos( ) 1n Tw= et cos( /2) cos( ) ( 1)nn T nw p= = - , on obtient alors

2(1 ( 1) )nsat

On peut écrire

41( ) sin((2 1) )2 1

Les coefficients

15 VsatV=, on obtient : 119,1Vc= , 36,4 Vc= , 53,8 Vc= , 72,7 Vc=.

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Conseils :

· La fonction de transfert d"un filtre

0w est une grandeur caractéristique du système homogène à

L ou 1

On regarde la valeur de la tension de sortie

Puis on compare les valeurs de

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0, p±, ou 2

On cherche la ou les fréquences de coupure

Ou bien on cherche les

20 /décadedB± dans le

La fonction de transfert s"écrit

L"équation différentielle s"obtient avec

2( )d vj vdtw®.