[PDF] A quoi servent les suites numériques ?

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FICHE METHODE SUITES NUMERIQUES a) Illustrations :

? Ce mois ci ( dans 0 mois ) Ce mois ci ( dans 0 mois ) Ce mois ci ( dans 0 mois ) Ce mois ci ( dans 0 mois ) il a 150 euros sur son compte et il en ajoute 20 par mois !

On note U

n la valeur de son compte dans n mois et à chaque valeur de n ³ 0 on associe la valeur du compte.

0 ® U

0 = 150 = 150 + 0 ´20 = 150

1 ® U

1 = 150 + 20 = 150 + 1 ´20 = 170

2 ® U

2 = 150 + 20 + 20 = 150 + 2 ´20 = 190

3 ® U

3 = 150 + 20 + 20 + 20 = 150 + 3´20 = 210

n ® U n = 150 + 20 + 20 + ... + 20 = 150 + 20n. ( n termes tous égaux à 20)

On note (U

n ) la suite numérique correspondant à l"évolution de son compte. ? Le 1Le 1Le 1Le 1

erererer mois ( mois 1) mois ( mois 1) mois ( mois 1) mois ( mois 1) il a 150 euros sur son compte et il en retire 20 par mois !

On note U

n la valeur de son compte le nième mois et à chaque valeur de n ³ 1 on associe la valeur du compte.

1 ® U1 = 150 = 150 - 0 ´20 = 150

2 ® U

2 = 150 + (- 20) = 150 - 1 ´20 = 130

3 ® U

3 = 150 + (- 20) + (- 20) = 150 - 2 ´20 = 110

4 ® U

4 = 150 + (- 20) + (- 20) + (- 20) = 150 - 3 ´20 = 90

n ®U n = 150 + (- 20) + ... + (- 20) = 150 - ( n-1)´20 = 150 -20(n -1) . ( n-1 termes tous égaux à - 20)

On note (U

n ) la suite numérique correspondant à l"évolution de son compte. ?Il y a 150 demandes de dossier de B.T.S cette année ( 1( 1( 1( 1

èreèreèreère année ) année ) année ) année ) et le nombre augmente de 20% par an !

On note U

n le nombre de demandes la nième année et à chaque valeur de n ³ 1 on associe le nombre de demandes.

1 ® U

1 = 150 ´ ( 1 + 20

100 ) 0 = 150 ´1,2 0 = 150

2 ® U

2 = 150 ´ ( 1 + 20

100 ) = 150 ´1,2 1 = 180

3 ® U

3 = 150 ´(1 + 20

100 ) ´(1 + 20

100 ) = 150 ´1,2 2 = 216

4 ® U

4 = 150 ´(1 + 20

100 ) ´(1 + 20

100 ) ´(1 + 20

100 ) = 150 ´1,23 = 259,2

n ® U n = 150 ´(1 + 20

100 ) ´(1 + 20

100 ) ´...´(1 + 20

100 ) = 150 ´1,2 n-1.

( n-1 facteurs tous égaux à (1+ 20 100

On note (U

n ) la suite numérique correspondant à l"évolution du nombre de dossiers de B.T.S.

A quoi servent les suites numériques ?

?Il y a 150 places en B.T.S cette année ( dans 0 années ) ( dans 0 années ) ( dans 0 années ) ( dans 0 années ) et le nombre diminue de 20% par an !

On note U

n le nombre de places dans n années et à chaque valeur de n ³ 0 on associe le nombre de places.

0 ® U0 = 150 = 150 ´ 0,8 0 = 150

1 ® U

1 = 150 ´ ( 1 - 20

100 ) = 150 ´0,8 1 = 120

2 ® U

2 = 150 ´(1 - 20

100 ) ´(1 - 20

100 ) = 150 ´0,8 2 = 96

3 ® U

3 = 150 ´(1 - 20

100 ) ´(1 - 20

100 ) ´(1 - 20

100 ) = 150 ´0,83 = 76,8

n ® U n = 150 ´(1 - 20

100 ) ´(1 - 20

100 ) ´...´(1 - 20

100 ) = 150 ´0,8 n.

( n facteurs tous égaux à (1- 20 100

On note (U

n ) la suite numérique correspondant à l"évolution du nombre de places en B.T.S. b) Remarques :

Il existe une infinité de phénomènes de la vie de tous les jours qui peuvent êtres " décrits »

grâce aux suites numériques. On distingue essentiellement deux catégories de suites numériques. Les suites arithmétiques qui sont en rapport avec des phénomènes qui varient de manière

régulière en ajoutant toujours un même nombre " r » où r est un nombre positif ou négatif .

( ? et ? )

Les suites géométriques qui sont en rapport avec des phénomènes qui varient de manière

régulière en multipliant toujours par un même nombre " q » où q est un nombre positif plus

petit que 1 ou plus grand que 1. ( ? et ? )

Il faut être capable, si une situation s"y prête, de reconnaître de quel type est la suite associée à la

situation et de faire les calculs de base pour répondre à certaines questions. Pour y arriver il faut apprendre et comprendre certains résultats du cours qui suit. Définition1 : ( définition générale d"une suite ) Une suite u est une fonction dont l"ensemble de départ est IN et l"ensemble d"arrivée est IR. Elle associe à chaque nombre entier naturel un nombre réel et un seul.

On note : ??? u : IN ® IR

n ½¾¾® un ( la suite u de IN dans IR qui à n associe un ) Ou plus simplement (un) ( " u indice n, entre parenthèses »)

Remarques : 1) L"ensemble de départ peut aussi être IN* = IN - {0} ( les naturels sauf 0 )

2) On dit que u

n est le terme de rang n

Utilisation :

Pour la fonction f(x) = x

x+1 , un = f(n) = n n+1 ; u0 = 0

0+1 = 0 ; u1 = 1

1 +1 = 1

2

Remarque ( Numérotation des termes )

Si on note U1 le 1er terme

Alors on note U

2 le 2ème terme

U

3 le 3ème

U n le nième terme Si on note U

0 le 1er terme

Alors on note U

1 le 2ème terme

U

3 le 3ème

U n-1 le n ème terme

Un le (n + 1)ème terme

II) Définitions et Propriétés

A) SUITES ARITHMETIQUES.

Illustration :

? -7 ; - 4 ; -1 ; 2 ; 5 ; 8 ; ... est une suite arithmétique de raison 3 et de 1er terme -7 car on passe d"un terme au suivant en ajoutant 3. ? 12,4 ; 14,1 ; 15,8 ; 17,5 ; ... est une suite arithmétique de raison 1,7 et de 1er terme 12,4 car on passe d"un terme au suivant en ajoutant 1,7.

Définition 2 :

( suite ARITHMETIQUE ) Une suite numérique U est une suite arithmétique si et seulement si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :

1) On passe d"un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé

raison de la suite. C"est à dire Un+1 = Un + r pour toute valeur de n Î IN. ( cette égalité est appelée formule de récurrence )

2) La différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et égale à un nombre r

c"est à dire Un+1 - Un = r = constante pour toute valeur de n Î IN. ( on dit que la variation absolue entre 2 termes consécutifs est constante ) Exemple : Soit Un = 2n + 8 pour tout n Î IN.

Alors U

n+1 - Un = 2(n +1) + 8 - ( 2n +8) = 2n +2 + 8 - 2n - 8 = 2 = constante.

Donc (U

n ) est arithmétique de raison r = 2. ■ Propriété 1 : ( Expression de Un en fonction de n )

1) Si la suite notée (Un ) est arithmétique de 1er terme noté U0 et de raison notée r

Alors on a : Un = U0 + n r = 1er terme + r ´´´´ écart entre 0 et n Un est le (n + 1) ème terme où le terme après n variations

2) Si la suite notée (Un ) est arithmétique de 1er terme noté U1 et de raison notée r

Alors on a : Un = U1 + (n -1)r = 1er terme + r ´´´´ écart entre 1 et n Un est le nième terme où le terme après (n - 1) variations

Preuve :

1) U

1 = U0 + r

U

2 = U0 + r + r = U0 + 2r

U

3 = U0 + r + r + r = U0 + 3r

U n = U0 + r + r + ... + r = U0 + nr. ( on ajoute à U0 , n termes tous égaux à r )

2) U2 = U1 + r

U

3 = U1 + r + r = U0 + 2r

U

4 = U1 + r + r + r = U0 + 3r

U

n = U1 + r + r + ... + r = U0 + nr. ( on ajoute à U0 , ( n - 1) termes tous égaux à r )

Applications :

? Soit une suite arithmétique de 1 er terme 10 et de raison 1,5 a) Le n ième terme en fonction de n est Un = 10 + 1,5(n -1). b) Le terme obtenu après n variations est U n+1 = 10 + 1,5n. ? Ce mois ci ( le 1er mois ), il a 20 000 euros et en retire 15 par mois. a) Le n ième mois , il a Un = 20000 -15(n -1). b) Dans n mois, il aura : U n+1 = 20000 - 15n. ■ Propriété 2 : ( Somme des termes d"une suite arithmétique )

1) Si la suite notée (Un ) est arithmétique de 1er terme noté U0 et de raison notée r

Alors on a : U0 + U1 + ...+ Un = (n +1) ´´´´ U0 +Un 2

2) Si la suite notée (Un ) est arithmétique de 1er terme noté U1 et de raison notée r

Alors on a : U1 + ...+ Un = n ´´´´ U1 +Un 2 Dans tous les cas on a : Somme des 1er termes = 1 er terme + dernier terme

2 ´´´´ nb termes

Preuve : ( admis )

Application :

(Un ) est arithmétique de raison r = 10 et de 1er terme U0 = 5

1) On a alors U0 + U1 + ... + U100 = (100 +1) ´ U0 +U100

2 U

0 + U1 + ...+ U100 = (100 +1) ´ 5 + ( 5 + 5´100)

2 = 25755.

2) et U

1 + ... + U100 = 100 ´ U1 +U100

2 . U

1 + ...+ U100 = 100 ´ 5 + ( 5 + 5´99)

2 = 25250.

■ Propriété 3 : ( Graphique d"une suite arithmétique )

1) Si la suite notée (Un ) est arithmétique de 1er terme noté U0 et de raison notée r

Alors les points de coordonnées ( n ; Un ) sont alignées sur la droite d"équation y = rx + U0quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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