Nombre pair - Nombre impair
Etudier la parité d'un nombre ( entier ) c'est déterminer si cet entier est pair ou impair. Page 2. Somme de deux nombres : Exemples : Somme de
1. Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs
2 ' 2 ' 2 ' '. n p n p. n p. + = +. = + . La somme est paire. • Si n est pair et p impair. On a : 2 ' n.
1. Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs
2 ' 2 ' 2 ' '. n p n p. n p. + = +. = + . La somme est paire. • Si n est pair et p impair. On a : 2 ' n.
Exercices corrigés
4. L'utilisateur donne un entier positif n et le programme affiche PAIRs'il est divisible par. 2 et IMPAIR sinon. 5. L
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que la somme de cinq carrés parfaits d'entiers consécutifs n'est jamais un et z sont impairs le troisième étant pair puis que z est impair.
Arithmétique dans Z
Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers Montrer de même que tout nombre pair vérifie x2 = 0 (mod 8) ou x2 = 4 (mod 8).
Feuille 5 : Arithmétique
Exercice 12 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair donner.
Corrigé Série dexercices n°4 : Les fonctions et procédures
Ecrire une fonction ou procédure qui calcule le PGCD de deux entiers Ecrire ('Nombre de valeurs paires = ' cop
Fondamentaux pour les Mathématiques et lInformatique
2 nov. 2011 (a) La somme (la différence) de deux entiers pairs est paire. (b) La somme (la différence) d'un entier pair et un entier impair est impaire.
Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles
3) x ? R et x2 est un entier pair. 2. Propositions avec des quantificateurs. Pour désigner une proposition qui contient une variable x on adopte souvent.
PanaMaths Août 2012
1. Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs.
2. Soit n un entier relatif.
Montrer que l'on a :
2 pair pairnn.3. Soit n et p deux entiers relatifs tels que :
223 5 152np
Montrer que n et p sont de même parité.
Analyse
Les deux premières questions sont classiques et doivent être connues (i.e. ne pas poser dedifficultés particulières). La troisième question exploite les résultats des deux premières.
Résolution
Question 1.
Soit n et p deux entiers relatifs.
Que ce soit pour la somme ou le produit, nous discutons selon les parités des entiers n et p.Parité de la somme.
Si n et p sont pairs
On a : 2'nn et 2'pp. Alors 2'2' 2 ' 'np n p np .La somme est paire.
Si n est pair et p impair
On a :
2'nn et 2 ' 1pp. Alors 2'2'1 2 ' ' 1np n p np .
La somme est impaire.
Si n est impair et p pair
On a :
2'1nn et 2 'pp. Alors 2'12' 2 ' ' 1np n p np .
La somme est impaire.
Si n est impair et
p impair On a : 2'1nn et 2'1pp. Alors 2'12'1 2 ' '1np n p np .La somme est paire.
PanaMaths Août 2012
On peut, en définitive, énoncer la règle classique suivante :La somme de deux entiers relatifs est :
Paire si, et seulement si, les deux entiers sont de même parité. Impaire si, et seulement si, les deux entiers ne sont pas de même parité.Parité du produit.
En procédant comme ci-dessus, il vient :
Si n et p sont pairs
On a :
2'nn et 2 'pp. Alors 2'2' 2 2' 'np n p np .
Le produit est pair.
Si n est pair et p impair
On a :
2'nn et 2'1pp. Alors 2'2'1 2 '2'1np n p n p .
Le produit est pair.
Si n est impair et p pair
On a :
2'1nn et 2 'pp. Alors 2'1 2' 2 '2'1np n p p n .
Le produit est pair.
Si n est impair et p impair
On a :
2'1nn et 2 ' 1pp. Alors
2'1 2'1 22' ' ' ' 1np n p npn p .
Le produit est impair.
Remarque : on aurait également pu noter dès le début que tout produit d'un entier par un entier pair est pair. On peut, en définitive, énoncer la règle classique suivante :La produit de deux entiers relatifs est :
Pair si, et seulement si, l'un au moins des deux entiers est pair. Impair si, et seulement si, les deux entiers sont impairs.Question 2.
Soit n un entier relatif.
D'après la question précédente, on a :
2 n impair n impair. Puisqu'un entier est pair ou impair, on en déduit immédiatement : 2 n pair n pair.Pour tout entier relatif n, on a :
2 n pair n pair.PanaMaths Août 2012
Question 3.
Supposons que l'entier n soit pair.
Alors, d'après la question précédente, il en va de même pour son carré. D'après la question 1, on en déduit alors que le produit 23n est pair.
Toujours d'après la question 1, il en va de même pour la différence 2152 3n.
Donc le produit
25p est pair.
Mais d'après la question 1, le produit de 5 et
2 p est pair si, et seulement si, 2 p est pair.La question 2 nous permet alors de conclure que
p est pair.On a ainsi montré : n pair p pair.
Mais comme le coefficient de "
2 p » dans l'équation est impair comme celui de " 2 n », on montre de façon similaire que l'on a : p pair n pair.En définitive, on a l'équivalence : n pair
p pair. Ainsi, les deux entiers n et p sont de même parité.Si deux entiers n et p vérifient l'équation
223 5 152np alors ils sont de même parité.
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