MULTIPLES DIVISEURS
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
Remédiation – Ecriture algébrique dun nombre
d'un multiple de 2 2n de deux nombres pairs consécutifs. 2n et 2n + 2 de deux nombres impairs consécutifs. 2n + 1 et 2n + 3 de deux multiples de 3
Calcul Numérique - 2nde A) Les nombres entiers
1) VRAI : 36 est un multiple de 12 car 36 = k × 12 avec k = 3 Démontrons que la somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3.
DIVISIBILITÉ
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme de deux multiples d'un entier a est un multiple de a.
I. Multiples et diviseurs (rappels)
Exemple 2: Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. Vidéo https://youtu.be/7nU2M-zhAjk.
Seconde - Nombres entiers. Multiples diviseurs. Nombres premiers
La somme de deux multiples d'un nombre donné a est aussi un multiple de ce nombre a. III) Nombres pairs et impairs. 1) Définitions. • Un nombre pair est un
Arithmétique - PGCD
a) Que peut on dire de deux multiples consécutifs de 3 ? b) Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est un multiple de 3. c) Démontrer que la somme
Comment-savoir-si-un-nombre-est-divisible-par-2-3-4-5-9-ou-10_.pdf
780 est divisible par 10. 8 564 ne l'est pas. Un nombre entier est divisible par 3 : ? Quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3 et uniquement
Diviseurs et multiples.
Démontrez que la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7. Exercice 9. Application. Démontrez que le produit d'un entier naturel divisible par 3 et
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux. Si n est multiple de 3 n et 5n3 sont multiples de 3 de même que 5n3 +n.
2.ch13_arithmétique
I. Multiples et diviseurs (rappels)
Définition : a et b sont deux nombres entiers relatifsOn dit que : - b est un diviseur de a ou que
- a est un multiple de b ou que - a est divisible par bLorsqu'il le reste de la division euclidienne de a par b est nul c'est-à-dire que a = b x q avec q
nombre entier.Exemple 1: 60 = 5 x 12 donc :
5 est un diviseur de 60; de même 12 est un diviseur de 60.
60 est un multiple de 12 et de 5
60 est divisible par 12 et par 5
Donner la liste des diviseurs positifs de 60: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.Remarques:
- Un nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs: 1 et lui-même. (
46 se divise par 1 et par 46 ; 53 se divise par 1 et par 53.)
Propriété : On considère 3 entiers relatifs a, n et m. Si les entiers ݊ et ݉ sont des multiples
de a alors la somme (݊݉) ; la différence (݊െ݉) et le produit ݊ൈ݉sont aussi des
multiples de aDémonstration pour la somme :
comme ݊ est un multiple de ܽ, il existe un entier relatif k tel que : ݊ൌ݇ൈܽ
comme ݉ est un multiple de ܽ, il existe un entier relatif l tel que : ݉ൌ݈ൈܽ ݈݇ est la somme de deux entiers relatifs donc cest un entier relatif. est un multiple de a.Vidéo https://youtu.be/4an6JTwrJV4 (avec ܽ
Exemple 2: Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.Vidéo https://youtu.be/7nU2M-zhAjk
:n, n +1 et n + 2, oҒ n est un entier quelconque. Leur somme est S = n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1).Soit k k = n + 1.
Donc S = 3k, avec k entier. On en déduit que S est un multiple 3.II. Nombres premiers
Définition: Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs positifs (1 et lui même) est un nombre premier.Exemples 3 :
46 n'est pas un nombre premier car il admet d'autres diviseurs que 1 et 46 (par ex 2 )
53 est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 53, il en possède 2 exactement.
Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 20: 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 Est-ce que 21 est un nombre premier? Pourquoi? Non, 21 est divisible par1 ; 21 ; 3 et 7Remarques :
1 n'est pas un nombre premier car il admet un unique diviseur1
0 n'est pas un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs : tous les nombres
entiers, sauf 0.Critères de divisibilité (rappels)
Propriétés 2 : Un nombre est divisible par :2 s'il est pair (se termine par 0; 2; 4; 6 ou 8).
3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
4 si le nombre composé de ses 2 derniers chiffres est divisible par 4
5 s'il se termine par 0 ou 5.
9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
10 s'il se termine par 0.
Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers.Exemples 4:
- 20 = 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en produits de facteurs premiers. En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier. - 231 = 3 x 7 x 11 - 225 = 3 x 3 x 5 x 5 Méthode : Décomposer un nombre en produits de facteurs premiersVidéo https://youtu.be/RBE2wPIKagI
Exemple 5 : Décomposer 300 en produits de facteurs premiers. Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : On commence par tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est " oui » car 300 se termine par un chiffre pair.Et on a : 300 : 2 = 150
On recommence, en testant si 150 est divisible par 2.La réponse est " oui » et 150 : 2 = 75
On recommence, en testant si 75 est divisible par 2.La réponse est " non » !
On teste alors le nombre premier suivant dans la liste.Est-ce que 75 est divisible par 3.
La réponse est " oui » car 7+5=12 est divisible par 3.Et on a : 75 : 3 = 25
On recommence, en testant si 25 est divisible par 3.La réponse est " non » !
On teste alors le nombre premier suivant dans la liste.Est-ce que 25 est divisible par 5 ?
La réponse est " oui » et on a 25 : 5 = 5. 5 On recommence, en testant si 5 est divisible par 5.La réponse est " oui » et on a 5 : 5 = 1.
1 ! 300150
75
25
5 1 2 2 3 5 5 La décomposition en facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite.
Définition :
dénominateur sont premiers entre eux.Méthode : Rendre une fraction irréductible
Vidéo https://youtu.be/qZaTliAWkA0
Pour rendre une fraction irréductible, il faut décomposer son numérateur et sonDénominateur en produits de facteurs premiers.
ଽ La calculatrice permet de vérifier le résultatIII. Nombres pairs, impairs
Définition : - Un nombre pair est un multiple de 2. - Un nombre impairExemple 7 :
34, 68, 9756786 et 0 sont des nombres pairs ; 567, 871 et 1 sont des nombres impairs.
Propriétés : - ʹ݇ǡ avec ݇ entier. - ʹ݇ͳ, avec ݇ entier.Démonstration :
on considère un entier relatif n.On effectue la division euclidienne de n par 2 : on obtient : ݊ൌʹൈ݇ݎܽݒ݁ܿ
ݎ étant entier, on a ݎൌͲouݎൌͳ- si ݊ est pair : par définition, 2 divise ݊donc ݎൌͲ donc ݊ൌʹൈ݇
- si ݊ est impair : par définition, 2 ne divise pas ݊donc ݎ്Ͳ݀݊ܿ Propriétés : - La somme de deux nombres pairs est un nombre pair. - La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. La somme dun nombre pair et dun nombre impair est un nombre impair. Démonstration pour la somme de deux entiers pairs : Daprès la propriété du I. la somme de deux multiples de 2 est un multiple de 2 Démonstration pour la somme de deux entiers impairs :Soient ݊݁ݐ deux entiers impairs
on peut alors déterminer deux entiers relatifs k et l tels que : ݊ൌʹൈ݇ͳ et ݉ൌʹൈ݈ͳ alors : La somme ݊݉ est divisible par 2 donc est bien paire.Propriété : - Le carrғ pair est pair.
- Le carrғ Démonstration avec un nombre impair : Vidéo https://youtu.be/eKo1MpX9ktw Soit n ݊ൌʹ݇ͳ, avec k entier. avecܮ L est entier car somme de deux entiers, donc ݊; ݊;ൌʹܮ݊; est impair.
Propriété : La réciproque est vraie
- Si le carré dun nombre n² est pair alors n est pair - Si le carré dun nombre n² est impair alors n est impairquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] la somme de deux nombres décimaux est 24
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