[PDF] Remédiation – Ecriture algébrique dun nombre

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Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 3 - Ecriture algébrique d'un nombre Remédiation - Ecriture algébrique d'un nombre Recherche de l'écriture algébrique de certains nombres a) Si cela est possible, complète les cases du tableau ci-dessous par des nombres naturels (entiers positifs). n 0 1 2 3 4 5 10 n + 1 1 2 3 4 5 6 11

2n - 2 0 2 4 6 8 18 2n - 1 1 3 5 7 9 19

2n 0 2 4 6 8 10 20 2n + 1 1 3 5 7 9 11 21

2n + 2 2 4 6 8 10 12 22

2n + 3 3 5 7 9 11 13 23 2n + 4 4 6 8 10 12 14 24

3n - 3 0 3 6 9 12 27 3n 0 3 6 9 12 15 30

3n + 1 1 4 7 10 13 16 31

3n + 3 3 6 9 12 15 18 33

b) Parmi les expressions algébriques de la première colonne du tableau ci-dessus, quelles sont celles qui représentent un nombre pair : 2n - 2 (si n > 0), 2n, 2n + 2, 2n + 4 un nombre impair : 2n - 1 (si n > 0), 2n + 1, 2n + 3 un multiple de 3 : 3n - 3 (si n > 0), 3n, 3n + 3 c) En utilisant le tableau ci-dessus, trouve l'expression algébrique la plus simple ... d'un nombre pair 2n d'un nombre impair 2n + 1 d'un multiple de 3 3n d'un multiple de 2 2n de deux nombres pairs consécutifs 2n et 2n + 2 de deux nombres impairs consécutifs 2n + 1 et 2n + 3 de deux multiples de 3 consécutifs 3n et 3n + 3

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Van In © - Le nouvel Actimath 2 2 Ch. 3 - Ecriture algébrique d'un nombre

Résolution d'un petit problème

Principales expressions algébriques à connaître un nombre pair : 2n un nombre impair : 2n + 1 deux nombres consécutifs : n et n + 1 deux nombres pairs consécutifs : 2n et 2n + 2 deux nombres impairs consécutifs : 2n + 1 et 2n + 3 deux multiples de 3 consécutifs : 3n et 3n + 3 trois nombres consécutifs : n , n + 1 et n + 2 ou n - 1 , n et n + 1 Enoncé 1 : La somme de deux nombres pairs consécutifs vaut 70. Quels sont ces nombres ? Les écritures algébriques des nombres que je cherche sont : 2n et 2n + 2 La somme de ces deux nombres s'écrit 2n + (2n + 2) ; elle vaut 70. Le problème se traduit par l'égalité : 2n + 2n + 2 = 70 Cette égalité est une équation dont la solution est 4n + 2 = 70

4n = 68

n = 17

Les nombres que je cherche sont 34 et 36

Vérification : 34 + 36 = 70

Enoncé 2 : La somme de trois nombres consécutifs vaut 84. Quels sont ces nombres ? Les écritures algébriques des nombres que je cherche sont : n , n + 1 et n + 2 La somme de ces trois nombres s'écrit n + (n + 1) + (n +2) ; elle vaut 84. Le problème se traduit par l'égalité : n + n + 1 + n + 2 = 84 Cette égalité est une équation dont la solution est 3n + 3 = 84

3n = 81

n = 27

Les nombres que je cherche sont 27, 28 et 29

Vérification : 27 + 28 + 29 = 84

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Van In © - Le nouvel Actimath 2 3 Ch. 3 - Ecriture algébrique d'un nombre

Justification

Pour prouver qu'une phrase est fausse, trouver un contre-exemple suffit (a), mais ce n'est pas la seule possibilité (b). Remarque importante : dans tous les exercices, n représente un nombre naturel.

Enoncé 1 : 6n est-il un multiple de 12 ?

(a) Non, car si n = 3, alors 6n = 18 et 18 n'est pas un multiple de 12. (b) Non, car 6n = 12 . 0,5n et 0,5n n'est pas forcément un nombre entier.

Enoncé 2 : 2n + 3 est-il un nombre pair ?

(a) Non, car si n = 10, alors 2n + 3 = 2. 10 + 3 = 23 et 23 n'est pas pair. (b) Non, car 2n + 3 = 2 . (n + 1,5) et n + 1,5 n'est pas un nombre entier. Pour prouver qu'une phrase est vraie un exemple ne suffit pas, il faut la démontrer par un raisonnement.

Enoncé 1 : 6n est-il un multiple de 3 ?

Oui, car 6n = 3 . 2n et 2n est un nombre entier.

Enoncé 2 : 9n + 27 est-il un multiple de 9?

Oui, car 9n + 27 = 9 . (n + 3) et n + 3 est un nombre entier.

Exercices

1) Vrai ou faux ? Justifie.

12n est un multiple de 6.

Vrai, car 12n = 6 . 2n et 2n est un nombre entier.

10n + 4 est un multiple de 2.

Vrai, car 10n + 4 = 2 . (5n + 2) et 5n + 2 est un nombre entier.

16n + 6 est un multiple de 4.

Faux, car 16n + 6 = 4 . (4n + 1,5) et 4n + 1,5 n'est pas un nombre entier. Faux, car si n = 2, alors 16n + 6 = 16.2 + 6 = 32 + 6 = 38 et 38 n'est pas un multiple de 4.

3n + 1 est un multiple de 3.

Faux, car 3n + 1 = 3 . (n +

1

3) et n +1

3 n'est pas un nombre entier.

Faux car si n = 2, alors 3n + 1 = 3 . 2 + 1 = 6 + 1 = 7 et 7 n'est pas un multiple de 3.

3n + 6 est un multiple de 3.

Vrai, car 3n + 6 = 3 . (n + 2) et n+2 est un nombre entier.

18n est un multiple de 9.

Vrai, car 18n = 9 . 2n et 2n est un nombre entier.

15n + 5 est un multiple de 5.

Vrai, car 15n + 5 = 5 . (3n + 1) et 3n+1 est un nombre entier.

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Van In © - Le nouvel Actimath 2 4 Ch. 3 - Ecriture algébrique d'un nombre

2) Vrai ou faux ? Justifie.

Tout multiple de 8 est un multiple de 4.

Vrai, car 8n = 4 . 2n et 2n est un nombre entier.

Tout multiple de 6 est un multiple de 12

Faux, car 18 est un multiple de 6 mais n'est pas un multiple de 12.

Tout multiple de 15 est un multiple de 10

Faux, car 45 est un multiple de 15 mais n'est pas un multiple de 10.

Tout multiple de 9 est un multiple de 6

Faux, car 27 est un multiple de 9 mais n'est pas un multiple de 6.

3) Enoncé 1 : La somme de quatre nombres consécutifs est toujours un nombre pair.

Illustre cet énoncé par des exemples numériques en sachant que le premier nombre est 13 13 + 14 + 15 + 16 = 58

10 10 + 11 + 12 + 13 = 46

Pour démontrer cet énoncé, il faut utiliser l'écriture algébrique de 4 nombres consécutifs en notant, par exemple, le premier par la lettre n. Les quatre nombres sont : n , n + 1 , n + 2 , n + 3 La somme des quatre nombres s'écrit n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) L'expression réduite de cette somme est 4n + 6 L'expression trouvée représente-t-elle un nombre pair ? Justifie.

Oui, car 4n + 6 = 2

. (2n + 3) et 2n+3 est un nombre entier.

Enoncé 2

: La somme de trois nombres pairs consécutifs est un multiple de 6.

Exemples numériques : 2 + 4 + 6 = 12

14 + 16 + 18 = 48

Les 3 nombres sont : 2n, 2n + 2, 2n + 4

La somme des trois nombres s'écrit : 2n + (2n + 2) + (2n + 4)

L'expression réduite est : 6n + 6

6n + 6 = 6 . (n + 1)

L'expression trouvée est bien un multiple de 6 car n+1 est un nombre entier. Le nouvel Actimath 2 - Chapitre 3 - Activité 3 p. 60

Le nouvel Actimath 2- Chapitre 3 - Exercices complémentaires- Série A : 7 à 12 p. 77 - Série B : 8 à 13 p. 79

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