[PDF] Mise en page 1 On attribue traditionnellement à Théodore

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Trois spirales de triangles

Robert Ferréol

1. Une spirale logarithmique

1.1. La construction

La construction se fait de proche en

proche. On part d"un triangle OA 0 A 1 rectangle en A 0 . On appelle l"angle

Pour tout n0, en tournant toujours

dans le sens positif, on construit le triangle OA n A n 1 comme suit?: il est rectangle en A n , un c™tŽ de l"angle droit est , hypotŽnuse du triangle prŽcŽdent, et

1.2. Les calculs

Prenons des coordonnŽes polaires d"origine O, le demi-axe Oxportant A 0 et posons OA 0 a. L"angle polaire de A n est Žvidemment n n. Posons n OA n on a dans le triangle OA n A n 1 la relation OA n OA n 1 cos qui donne et, par une rŽcurrence immŽdiate, . Posons ; de n ak n et n non tire , avec .

Les points A

n

2. La spirale de ThŽodore

2.1. L"origine

les mathŽmatiques ˆ Platon, la construction d"une spirale de triangles permettant de visualiser la suite des racines carrŽes des entiers naturels. Cette attribution est probablement liŽe ˆ la phrase suivante que Platon (1) OA n n+1 n cos" 1 cos =k! n =a cos n !=cos"() !1/" n =ak n =a$ n

Pour chercher et approfondir

(*) Robert FerrŽol a rŽdigŽ pour Quadrature un texte qui associe harmonieusement

gŽomŽtrie, analyse et arithmŽtique. Il a eu la gentillesse de nous autoriser ˆ en prŽsenter dans

notre bulletin cette version Ç soft È. (**) robert.ferreol@gmail.com Ferreol.qxp_Mise en page 1 10/02/2016 08:39 Page63 Ç? ThŽodore nous enseignait quelque chose sur les racines des nombres, nous dŽmontrant que celles de trois et de cinq ne sont point commensurables en longueur avec celle de un, et il prenait ainsi de suite chaque racine, jusqu"ˆ celle de dix-sept, il s"y Žtait pris.

2.2. La construction

Le schŽma de construction est proche du

prŽcŽdent. On part d"un triangle rectangle 1 A 2 tel que OA 1 A 1 A 2

1 et donc

aussi OA 2 . Pour tout n1, en tournant toujours dans le sens positif, on construit le triangle OA n A n 1 comme suit?: il est rectangle en A n , un c™tŽ de l"angle droit est , hypotŽnuse du triangle prŽcŽdent, mais la condition imposŽe n"est plus la constance de l"angle , mais celle de A n A n 1 : pour tout n1, A n A n 1 1.

On voit aussit™t par rŽcurrence que OA

n . Le rŽsultat est vrai pour n1?; s"il est vrai pour n, on a OA n 12 OA n2 A n A n 12 n1, d"o OA n 1

2.3. Les calculs

Prenons comme prŽcŽdemment des coordonnŽes polaires d"origine O, le demi-axe

Oxportant A

1 , et soient les coordonnŽes polaires de A n . On a Žvidemment n . ƒvaluons n . En posant j , il vient n 1 2 n 1 ; de on dŽduit et donc On exploite alors la double inŽgalitŽ, valable pour x0, . La , dont la dŽrivŽe est , soit .

On peut donc Žcrire , avec 0

j

1, d"o

n n n 2 OA n n n+1 n n n j =arctan1 jtan! j =A j A j+1 OA j n =arctan1+arctan1

2+!+arctan1

n!1. x!x 3 3 64urrrtpprr Ferreol.qxp_Mise en page 1 10/02/2016 08:39 Page64 o et . La sŽrie de terme gŽnŽral est manifestement convergente, donc n tend vers une limite .

Reste ˆ estimer

n . La figure ci-contre montre que est une somme d"aires de triangles curvilignes de base 1 et dont la somme des hauteurs est infŽrieure ˆ 1? ; on a donc 0 n

1 ; de plus la suite

n est croissante, donc tend vers une limite finie , d"o et . On a finalement prouvŽ que tend vers une limite finie

Reprenons la relation entre

n et n : on a n , donc tend vers . On peut donc dire que les sommets A n tendent ˆ s"inscrire sur la spirale

Ç?spirale asymptote?È ˆ la figure.

3. La spirale Ç?514-4?È

3.1. L"origine

Cette spirale de triangles est beaucoup moins ancienne (2) et moins connue que les deux autres et son traitement est plus complexe. Elle a fait l"objet du bel exercice n o

4 de la rubrique Ç?de-ci de-lˆ?È dans le B.V. n

o

514, exercice qui est ˆ l"origine de

cet article.

3.2. La construction

On part d"un triangle OA

0 A 1 rectangle en A 0 tel que OA 0 a 0 a 0

1) et que

la hauteur issue de A 0 soit de longueur 1. Pour tout n1, en tournant toujours dans le sens positif, on construit le triangle OA n A n1 comme suit?: il est rectangle en A n , un n !2n n !1 2" n n 2 !=1 2"! 2 n n 3/2 n =1+1 2+!+1 n!1!dx x 1n n =2n !2+" n n n =2n!2+" n n n !2n!1 n =1 3" 1 2 2 3 2 n!1 n!1() 3 2 n =1+1 2+!+1 n!1

Trois spirales de triangles

mais il n"est pas impossible que son origine soit plus ancienne. Ferreol.qxp_Mise en page 1 10/02/2016 08:39 Page65 c™tŽ de l"angle droit est , hypotŽnuse du fois que la hauteur relative ˆ l"hypotŽnuse soit constamment de longueur 1 (ce qui explique? la condition OA 0 1). Si l"on trace un peu plus de points, on obtient la spirale?de la figure ci-contre. Comme la spirale de d"Žquation polaire ; mais en donner une justification sera nettement plus dŽlicat.

3.3. Premiers calculs

Posons

n OA n et A n 1 A n a n n 1 A n (demi-produit de l"hypotŽnuse par la hauteur, demi-produit des c™tŽs de l"angle droit), on obtient n n 1 a n , ce qui donne, en itŽrant?: n 0 a 1 a n a 0 a 1 a n . En dont on dŽduit, en itŽrant?: . On a finalement pour la suite la propriŽtŽ suivante?: Autrement dit, pour tout n, la somme des (n1) premiers termes est Žgale ˆ leur produit.

ƒtant donnŽ un rŽelu

0 > 1, il existe une suiteet une seule telle que (E n ses termes sont tous strictement supŽrieurs ˆ1.

La condition (E

1 ) donne , donc on a u 1 > 1. Supposons que l"on ait pu construire u 0 , u 1 , ..., u n vŽrifiant (E k ), avec u k

1, pour 1 kn.

Posons s

n u 0 u 1 ... u n . (E n 1 ) s"Žcrit alors s n u n 1 s n u n 1 ou encore u n 1 s n 1) s n n n1 et a fortioris n 1, ce qui nous permet d"Žcrire ; on a donc bien trouvŽ une valeur u nquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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