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14 juin 2017 3. Pour des raisons d'esthétique l'artificier souhaite faire exploser ses fusées de type B lorsque celles-ci seront à leur hauteur maximale.
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Sujet du bac ES Mathématiques Spécialité 2017 - Centres étrangers
le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6. 17MAESSG11. Sujets Mathématiques Bac 2017 freemaths.fr. Centres étrangers.
Sujet du bac S Mathématiques Spécialité 2017 - Centres étrangers
Centres Étrangers 201 7 - freemaths . fr. Bac - Maths - 201 7 - Série S. EXERCICE 4 (5 points ). (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité).
Exercice 4
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2017
MATHÉMATIQUES
SÉRIE S
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité D Ce sujet comporte 7 pages numérotées de la page 1/7 à la page 7/7. L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circu laireLe candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.BACCALAUR
AT GÉNÉRAL - Série SSESSION 2017
ÉPREUVE
MATHÉMATIQUES
SUJET C Page 1/717MASCSG11Durée : 4 heuresSujets Mathématiques Bac 2017 freemaths.fr freemaths.frfreemaths.frCentres Étrangers 201
EXERCICE 4 (5 points )
(Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité)L"arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham
Stern (1858)et parAchilleBrocot (1861),horlogerfrançais quil"autilisépourconcevoirdessystèmes
d"engrenages avec un rapport entre rouages proche d"une valeur souhaitée. Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.On considère les deux matricesG=?10
11? etD=?1101? On construit un arbre descendant à partir d"une matrice ini- tiale, de la façon suivante : de chaque matrice carréeMde l"arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autre s matricesMG(à gauche) etMD(à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles deM. M GMD Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matriceI=?10 01?1)Déterminer lesdeux matricesmanquantesAetB, dans la troisièmelignede l"arbre de Stern-Brocot
ci-dessous.?10 01? 10 11?? 11 01? 1021??1201?
Dans la suite de l"exercice, on admet que pour toute matriceM=?ac bd? de l"arbre de Stern- Brocot, les nombresa,b,c,dsont des entiers vérifiant :b+d=0.2)On associe à une matriceM=?ac
bd? de l"arbre de Stern-Brocot la fractiona+c +d.Montrer que, dans cette association, le trajet "gauche-droite-gauche» à partir de la matrice initiale
dans l"arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction33)SoitM=?ac
bd? une matrice de l"arbre. On rappelle quea,b,c,dsont des entiers.On noteΔ
M =adbc, la différence des produits diagonaux de cette matrice. a)Montrer que siadbc=1, alorsd(a+c)c(b+d)=1. b)En déduire que siM=?ac bd? est une matrice de l"arbre de Stern-Brocot telle que M =adbc=1, alorsΔ MG =1, c"est-à-dire que la différence des produits diagonaux de la matriceMGest aussi égale à 1.On admet de même queΔ
MD =1, et que toutes les autres matricesNde l"arbre deStern-Brocot vérifient l"égalitéΔ
N =1.4)Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l"arbre de
Stern-Brocot est irréductible.
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5)So itmetndeux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi la fractionm
est irréductible.On considère l"algorithme suivant. metnsont des entiers naturels non nuls et premiers entre eux m?=n,fairem
< n Afficher "Gauche » np r endl av aleurn-mSinon mp r endl av aleurm-na)R e copiere tc ompléterl et ableaus uivant,i ndiquerc eq u"affichel "algorithmel orsqu"onl ef ait fonctionner avec les valeursm= 4etn= 7. m4 n7 b)Co njecturerl er ôled ec eta lgorithme.V érifierp aru nc alculm atriciell er ésultatf ournia vec
les valeursm= 4etn= 7.Page 7 / 7
1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1.Déterminons les matrices A et B:
En ayant recours à la méthode de l'énoncé, nous avons:A = G x D <=> A =
1 1 1 2 ;B = D x G <=> B =
2 1 1 1Au total: A =
1 1 1 2 et B = 2 1 1 1 2. Montrons que dans cette association, le trajet aboutit à une matrice correspondant à la fraction 3 5Le trajet " gauche
- droite - gauche " a pour matrice:W = G x D x G
<=> W = A x G <=> W = 1 1 1 2 x 1 0 1 1 => W = 2 1 3 2Dans ces conditions, nous obtenons la fraction:
2 + 1 3 + 2 cad 3 5EXERCICE 4
[ Centres Étrangers 201 7 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 3. a. Montrons que si ad - bc = 1, alors d ( a + c ) - c ( b + d ) = 1:Si ad - bc = 1, alors:
d ( a + c ) - c ( b + d ) = da + dc - cb - cd = ( ad - bc ) + ( dc - cd ) = 1 + 0 = 1 . Au total: si ad - bc = 1, alors d ( a + c ) - c ( b + d ) = 1 . 3. b.Déduisons-en que si
M = 1, alors M x G = 1:Nous avons:
M = 1 <=> ad - bc = 1 .M x G =
a c b d x 1 0 1 1 a + c c b + d dDans ces conditions:
M x G = d ( a + c ) - c ( b + d ) = 1, d'après 3. a.Ainsi: si
M = 1, alors M x G = 1 4. Déduisons-en que toute fraction associée à une matrice de l' arbre est irréductible: 0 .D'après la question précédente:
d ( a + c ) - c ( b + d ) = 1 .Dans ces conditions:
un entier naturel non nul, diviseur commun à a + c et b + d est égal à 1:PGCD ( a + c ; b + d ) = 1 .
D'où, les entiers naturels non nuls " a + c " et " b + d " sont pr emiers entre eux: la fraction a + c b + d est donc irréductible 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 Au total: toute fraction associée à une matrice de l'arbre de Stern - Brocot est irréductible 5. a.Recopions et complétons le tableau:
Nous obtenons le tableau suivant:
AffichageGaucheDroiteGaucheGauche
m44111 n73321 5. b. b1.Conjecturons le rôle de cet algorithme:
La conjecture que nous pouvons émettre est:
" l'algo. semble founir un chemin dans l'arbre de Stern - Brocot faisant passer de la matrice identité 2 = à une matrice dont la fraction associée est m n 5. b. b2. Vérifions par un calcul matriciel le résultat fourni avec m = 4 et n = 7: En passant par le chemin G - D - G - G, on obtient une matrice dont la fraction associée est: 4 7Via un calcul matriciel:
G x D x G x G =
3 1 5 2 = Y .Et la fraction associée à la matrice Y est:
3 + 1 5 + 2 4 7Au total: vérification faite .
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