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R´esistance des mat´eriaux :
´elasticit´e,
m´ethodes ´energ´etiques, m´ethode des ´el´ements finisRappels de cours
et exercices avec solutionsYves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
D´epartement G´enie M´ecanique et Productique20 juin 2011
Table des mati`eres
1´Elasticit´e
11.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 D´eplacements et d´eformations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Contraintes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Formules math´ematiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux
252.1 Rappels : r´esolution d'un probl`eme stationnaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Partition des degr´es de libert´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Calcul des r´eactions d'appui
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Poutre soumise `a un effort normal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Treillis plans `a noeuds articul´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Poutre soumise `a un moment de torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli
. . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.1 Rappels : flexion dans le plan{xy}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 M´ethodes ´energ´etiques : poutres
833.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.1 Expression de l'´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : for-
mule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.3 Th´eor`eme de Castigliano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.5´Energie de d´eformation d'une poutre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.6 Formules math´ematiques utiles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IIExercices de resistance des materiaux
4 M´ethode des ´el´ements finis
1214.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.1´Energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.2´Energie cin´etique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1.3´Energie potentielle et ´el´ements finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.1.4 Modes propres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.2.1 Assemblage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.3 Exercice : mise en ´equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.4 Exercice : mise en ´equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.7 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2.8 Exercice : modes propres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.9´El´ement fini de torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2.10
´El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Chapitre 1
Elasticit´e
1.1 Rappels
Les d´eplacements et les d´eformations sont petits.1.1.1 D´eplacements et d´eformations
Vecteur d´eplacement :
⃗u=---→M0M ,{u}= u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z) (1.1.1)Tenseur des d´eformations :
xx1 2γxy1
2γxz
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