[PDF] Espaces vectoriels Exercice 8. Soit un espace

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Espaces Vectoriels Pascal lainé

1

Espaces vectoriels

Exercice 1.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Dans Թସ on considère l'ensemble ܧ

L'ensemble ܧ

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en

extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

sont-elles libres?

Espaces Vectoriels Pascal lainé

2

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

Dans Թସ, comparer les sous-espaces ܨ et ܩ

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

ils linéairement indépendants?

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

de Թସ. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

dans Թସ.

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

Թଷ est un sous-espace vectoriel de Թଷ ?

Allez à : Correction exercice 15

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3

Exercice 16.

Soit ܧൌܸ݁ܿ

1. Donner une base de ܧ

2. Montrer que ܨ

3. Donner une base de ܨ

4. Donner une base de ܨתܧ

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

1. Montrer que ܧ est un sous-espace vectoriel de Թଷ. Déterminer une base de ܧ

3. Est-ce que ݑଷܧא

4. Donner une base de ܨתܧ

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer ܨתܧ

3. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer une famille génératrice de ܧ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1°) Montrer que ܧ

2°) Déterminer une famille génératrice de ܧ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

4

5°) A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer une famille génératrice de ܧ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܧ

4. Compléter une base de ܧ

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

On admettra que ܧ

Première partie

1. Déterminer une base de ܧ et en déduire la dimension de ܧ

2. Compléter cette base en une base de Թସ.

Deuxième partie

3. Montrer que ܨ

4. Déterminer une base de ܨ

5. A-t-on ܨْܧ

Troisième partie

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

1. Donner une base de ces deux sous-espaces vectoriels de Թସ.

2. A-t-on ܨْܧ

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5

Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

1. Montrer que ܧ

2. A-t-on ܨْܧ

On justifiera la réponse.

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

Soit ܨൌܸ݁ܿ

On admettra que ܧ

1. Donner une base de ܧ

2. Déterminer une base de ܨ

3. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) ܨ

4. Donner une famille génératrice de ܧ൅ܨ

5. Montrer que : ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

Soient

On admettra que ܧǡܨଵ et ܨ

3. A-t-on ܨଵܨْ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

1. Montrer que ܧǡܨ et ܪ

espaces vectoriels.

2. Déterminer ܧ൅ܨ

3. Montrer que ܪ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

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6 la dimension de ܧ

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

On admettra que ܧ

1. Déterminer une base de ܧ

2. Compléter cette base de ܧ

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

1. Montrer que ܧ et ܨ

2. Donner une base de ܧ et une base de ܨ

3. A-t-on ܨ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

Soient ܲ

Allez à : Correction exercice 33

Exercice 34.

Allez à : Correction exercice 34

Exercice 35.

2. Donner une base de ܧ

Allez à : Correction exercice 35

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7

Exercice 36.

2. Déterminer une base et la dimension de ܧ

Allez à : Correction exercice 36

Exercice 37.

indépendantes?

Allez à : Correction exercice 37

Exercice 38.

Allez à : Correction exercice 38

Exercice 39.

Soit ܧ

Montrer que ܧ

Allez à : Correction exercice 39

Exercice 40. (Hors programme)

espace vectoriel. b. Vérifier que le système ܵ

Allez à : Correction exercice 40

CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Sinon " deviné » ci-dessus.

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

1.

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8

Donc la famille est libre

3. :

Donc la famille est liée.

Sinon on se lance dans un gros calcul

relation : 4. la première et la seconde

La famille est libre.

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1. Oui évidemment, sinon

2. 3.

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