[PDF] La logique : dun outil pour le langage et le raisonnement

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La logique . d?un outil pour le langage et le

raisonnement mathematique vers un objet d?enseignement

Zoe MesnilTo cite this version.

Zoe Mesnil. La logique : d'un outil pour le langage et le raisonnement mathematique vers un objet d'enseignement. Histoire et perspectives sur les mathematiques [math.HO]. Universite

Paris Diderot, 2014. Francais.

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Jury :

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aféiL,lnoe)dS dNIoeJJ czloejih,qmiàflê,ld,i1mlaxt1-t@j,Nrqê,jj,zléèNêiq,éàqié,[

Annonce

çeaucoup dVenseignants de mathématiques constatent chez leurs élèves ou étudiants des

diLcultés à sVexprimer et à raisonner1 Ma logique est volontiers invoquée pour le raisonneA

mentP beaucoup moins pour le langage1 Mangage et raisonnement sont pourtant les deux piliers de la logiqueP et un xl conducteur de ma thèse est de redonner au langage la place qui lui revient1 Nous savons déjà quVenseigner la logique mathématiqueP qui traite le langage et le raiA sonnement comme des objetsP nVest pas suLsant pour pallier ces diLcultés1 Mes é mathéA matiques modernes , étaient allées dans cette direction :O03?AO0T?@ mais le résultat avait été décevantP certains disent catastrophique1 MVapproche formelle des notions de logique :propositionP connecteurP quantixcateurP types de raisonnement@ proposée alorsP peu mise

en lien avec lVactivité mathématiques des élèvesP sVest révélée stérile1 Eais le bannissement

de la logique des programmes qui ont suivi :O0TOAU???@ nVa pas eu plus de succèsoe »ujourA dVhuiP alors que des objectifs concernant la logique xgurent à nouveau explicitement dans les programmes de lycée :depuis U??0@P il me paraît important de déxnir une approche de la logique utile aux enseignants et aux élèvesP vaste sujet qui est en xligrane de ma thèse1 Mes obstacles sont nombreux 9 la logique est inexistante dans la formation des enseignants4 les ressources disponibles sont très rares4 il nVy a pas de corpus de connaissances qui fasse

référence4 une bonne partie des enseignants considèreP à tortP que la capacité quVils ont à

mettre spontanément en ÷uvre des éléments de logique quand ils font des mathématiques suLt amplement1 îe propose dans ma thèse une référence pour lVenseignement de notions de logiqueP unsavoir de référenceintermédiaire entresavoir savantetsavoir à enseigner1 îe lVai constitué à partir de lVétude naïve du langage des mathématiciens1

îVutilise cette référence pour analyser les programmes et les manuels actuels1 îe reprends

lVapproche de la logique adoptée dans un stage de formation continue proposé par lVôR8E de ParisP dont je propose également une analyse1 Ma formation me tient à c÷urP et mon ambition est que mon travail puisse êtreP en plus dVune contribution à la recherche en didactiqueP une ressource utile pour les enseignants1 O U

Remerciements

Plusieurs personnes qui sont remerciées ici le sont dVun point de vue professionnel1 Eais ces riches échanges dans le cadre du travail ont souvent été accompagnés de moments moins formelsP qui sont pour moi essentiels dans ces relationsP et pour que je me sente bien1 »lors dVabord merci à tous ceux avec qui jVai bu un coupP mangé au resto ou à la

6onvivVP pris un thé ou un caféP pris une pauseP partagé une chambre ou un gîteP chantéP

danséP marchéP nagé1 îe dois évidemment beaucoup de ce qui est écrit dans cette thèse à 7aniel Macombe et

à René 6ori1 îVai lVimpression de mVinscrire dans leur sillage tout en étant parfaitement

consciente de dire les choses à ma façonP et de dire parfois des choses avec lesquelles ils ne sont pas dVaccord1 6Vest sans doute le destin des grandes idées dVêtre parfois malmeA nées111 Eerci donc à René1 Pour les heures de discussion autour de ce manuscritP qui nVont pris xn que parce quVil fallait lVimprimer1 Eais aussi pour mVavoir accompagnée bien auAdelà

de cette thèseP de Paris à Séoul 9 dans le réseau des ôR8EP aux îournées »PE8PP et

même dans des colloques de didactique1 Tout cela restera très présent pour l VenseignanteA chercheuse que je serai peutAêtre1

îVai démarré cette thèse au moment au Eichèle »rtigue prenait sa retraite :qui ne signixe

en rien lVarrêt de son immense activité scientixque@1 îe mVinscris dans une longue lignée de

thésards et je ne peux que conxrmer les compliments que jVavais entendus dans la bouche

de mes prédécesseurs 9 merci à Eichèle pour sa direction attentiveP pour les propos clairs

dans lesquels elle reformulait mes idées brouillonnesP pour mVavoir laissé tester plusieurs pistes qui nVont pas aboutiP mais qui mVont fait avancer1

Mes troïkas dirigeantes nVont pas toujours été heureuses en politique1 Pour ma partP je suis

très contente que 6écile OuvrierAçuvet ait également coAdirigé cette thèseP me rappelant

régulièrement la nécessité de préciser le cadre de mes ré.exions1 Eerci à 6écile dVavoir été

là de la rédaction du projet de thèse à celle du manuscrit qui suit1 I

Mes directeurs de thèse dirigent1 Ça nVest pas à eux que lVon dit les inquiétudes dVavant

les rendezAvousP les déprimes dVaprèsP les petits doutes et les grands coups de rasAleAbol1 îVai eu la chance dVavoir à mes côtés des accompagnateurs de thèse1 Eerci à 6hristophe dVavoir eu la patience dVentendre tout celaP de mVavoir aidé à le transformer en dynamique positive pour avancer1 Eerci pour les petits et grands bonA heurs1

ôl a fallu aller loin :jusquVà Séouloe@ pour me rapprocher de îulie1 Eerci à elle pour sa

présence depuisP de petits croisements en plus longs séjoursP au bureauP au restoP à la piscineP en Normandie111

8lle est partie loin mais reste toujours proche1 Eerci à Raquel pour lesabrazoqui reA

quinquent en toutes circonstances ya ya yaoe Eerci à Viviane 7urandACuerrier1 8lle nVest pas seulement rapporteure de cette thèseP mais aussi une xgure très importante de la didactique des mathématiques j particuA lièrement en ce qui concerne la logique j qui mVa beaucoup inspirée :en témoigne les nombreuses citations de son travail dans ce manuscrit@1 Eerci à 'erdinando »rzarello qui a également accepté dVêtre rapporteur1 Nous nous connaissons moinsP mais jVespère que nous aurons lVoccasion de poursuivre nos échanges autour des précieuses remarques quVil a faites sur mon travail1 Eerci à »rnaud 7urand et 6hristian Eichaux qui ont accepté dVêtre examinateursP et de lire pour cela toutes les pages qui suivent1 ôl y a cinq ansP jVai rencontré »rnaudP alors directeur du master de logique mathématiqueP pour discuter de la possibilité de faire la

thèse en logique mathématique que je nVavais pas faite il y a O] ans1 îVai xnalement laissé

tomber cette idéeP ce qui lVoblige aujourdVhui à être dans le jury dVune thèse de didactique

des mathématiquesoe Être jeune chercheur:e@ au M7»RP cVest être membre dVun groupeP se sentir accueilli:e@ et entouré:e@ puis accueillir et entourer à son tour1 Eerci à tous ceux que jVai connus

dans ce cadre 9 merci à mes grandes s÷urs de thèseP îuliaP 6arolinaP qui ont été de bons

modèlesP merci à mes s÷urs jumellesP MuzP MynnP SorayaP à plusieurs on a plus de courageP

merci à mes petites s÷ursP 6harlotteP »ssiaP à vous de jouer maintenantoe Eerci à ceux qui

maintenant sont grands 9 ÉricP 'rédérickP îorisP NicolasP SaraP Stéphanie1 Eerci à ceux qui

ont à xnir 9 »dryP »nneAEarieP 6écileP 7ominiqueP 8dithP ZatalinP ZietP RobinP Sophie et

SophieP StéphaneP Valentin1

îe nVai raté que peu de rencontres des îeunes 6hercheurs de lV»R7E durant ma thèse1 Que ce soit pendant le séminaire nationalP ou pendant les W8î6/P cVétait toujours un plaisir de discuter avec ceux que je voyais moins souvent1 Eerci à 6hristianP MaetitiaP EarianneP EarieAMineP EathiasP EélanieP SamuelP SimonP StéphaneP Valérie111 Eerci aux membres du groupe Mogique de lVôR8E de ParisP qui mVont permis de ne

pas être complètement déconnectée des classes1 Eerci à 'rançoisP 6athyP Céraldine 9 les

entretiens que nous avons eu ne sont pas dans ma thèseP mais vous y êtes évidemment

presque partoutoe Eerci à 'rançoise qui nous a rejoints sur le tardP mais qui a été là à

des moments très importants de cette dernière année1 Eerci à Paul pour sa lecture du chapitre sur les raisonnements1 Eerci aux membres de la 6ommission ônter ôR8E Mycée1 Un jour jVespèreP le groupe é Mogique et raisonnement , produira un texte qui re.ètera la qualité des discussions qui reviennent régulièrement dans ses réunions 9 merci à 6hristelleP 7eniseP 8mmanuelP

8mmanuelleP CenevièveP /ervéP Sophie1

Eerci à tous les participants des stages é ônitiation à la logique ,P particulièrement à ceux

qui ont bien voulu mVaccueillir dans leur classeP présenter une activitéP ou répondre à des

questionnaires1 Eerci à tous les enseignants qui ont répondu au questionnaire du chapitre 31 Eerci à 6écile de /ossonP qui dirige le Maboratoire de 7idactique »ndré Revuz et sa chorale en conciliant attention à chacun et attention à lVharmonie collective1 Eerci à tous les membres du M7»RP cVest une institution où je trouve quVil fait bon travailler1

Eerci à îérômeP précieux bibliothécaire de lVôR8E de ParisP qui mVa souvent dépannée en

envoyant quelques auteurs faire un tour au xn fond de la SeineAetAEarne1 Eerci à 8velyneP EartineP NadineP Sandrine 9 avec ellesP une formalité administrative est surtout lVoccasion de se dire bonjour et de prendre des nouvellesoe Eerci à Vincent pour les à peu près OI3 réservations de la salle TI2P et bonne paterA nitéoe ôl a fallu batailler un peu pour que les doctorants en didactique ne soient pas isolés dans un petit bureau dans le nouveau bâtiment Sophie Cermain1 Eerci à Earc et îoseph de mVavoir accueillie à 6hevaleret et de mVavoir donné envie que ce partage de bureaux avec des matheux se poursuive1 Eerci à çaptisteP NicolasP Robert qui mVont ensuite accueillie dans un bureau de doctorants de lVôEî1 Eerci à tous ceux qui nVétaient pas dans mon bureau mais pas loin 9 îulieP MouisA/adrienP MuisP EathieuP PabloP RémiP SaadekP YannP merci à ceux qui passaient souvent par là 9

7anielP Nicole1

Eerci aux nombreux étudiants que jVai croisés dans les cours et T7 de MEO1 ôls mVont aidée à trouver les mots pour dire certaines bizarreries du langage mathématique1

Eerci à Patrice et »gnès qui mVont apporté un énorme soulagement pour la préparation

de la soutenance 9 au moinsP jVétais sûre que le pot serait réussi1 Eerci à SébastienP qui mVa toujours dit que jVétais capable de faire une thèseP merci à Eaïder que ça a toujours enthousiasméP et qui a même bien voulu relire un chapitreP merci à Rania sans qui mes textes en anglais ne seraient pas ce quVils sontP merci à Thomas et Sophie pour nos longues discussions mêlant travailP familleP société1 Eerci aux enfants et adultes de lVÉcole de la Neuville que jVai croisés dans mes années làAbasP et qui mVont donné lVenvie de projets collectifsP portés par tousP chacun selon sa force et son envie1

Eerci à 6laire et îeanAMouis qui ont été de parfaits parents de thésarde en mode édernière

ligne droite , quand je les ai sollicités I jours en septembre U?O[1

Eerci à Eanu qui a accepté de fréquenter la didactique et la logiqueP et de lire plus que la

première ligne de lVintroduction de ma thèse :cVest là que je mVétais pour ma part arrêtée

dans la lecture de la sienneoe@1

Eerci à 8lioP à îolanP à ôsmaël 9 ça nVétait pas toujours facileP mais cVétait bien agréable

quVils me rappellent parfois que jVavais autre chose à faire que de xnir ma thèse1 2

Table des matières

Introduction11

Problématique et questions de recherche 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OI

6hoix méthodologiques 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

OT

I Approches épistémologique et didactique25

1 Étude de diérents systèmes logiques29

O1O MV»ntiquité grecque 9 »ristote et les Stoïciens 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 IU O1U MVépoque moderne 9 7escartes et Meibniz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 O1I Ma naissance de la logique mathématique 9 çoole et 'rege 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]3 O1[ Synthèse de lVétude épistémologique 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3[

2 Étude didactique77

U1O Pertinence de la logique des prédicats pour lVétude didactique 1 1 1 1 1 1 1 T? U1U Me langage dans la classe de mathématiques 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 TI U1I Synthèse de lVétude didactique 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0I Conclusion des études épistémologique et didactique95 II Proposition d'une référence pour l'enseignement de no- tions de logique103

3 Notions de logique et étude du langage mathématique107

I1O Mangage mathématiqueP discours mathématiqueP expressions mathématiques O?0 I1U Variable 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OOI I1I 6onnecteurs 8T et OU 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OO2 I1[ Négation 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OUO I1] ômplication 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OU2 I12 Quantixcateurs 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OI0 I13 Synthèse de lVétude du langage mathématique 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 O]?

4 Les raisonnements153

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