Fourche de translation DM 15t ajustable
Notice d'instructions originales Fourche de translation DM 15t ajustable. Sommaire. 3. Description du produit. 6. Déchargement sur le chantier.
TRANSLATION ET VECTEURS
Soit t la translation qui transforme A en A'. Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par la translation t. Exercices conseillés En devoir.
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si
6 nov. 2017 PT sont aussi des vecteurs de la translation de vecteur # » ... Les droites (BC) et (DM) sont-elles parallèles? EXERCICE 17.
Translation and Plagiarism: Puškin and DM Thomas
TRANSLATION AND PLAGIARISM: PUSKIN AND. D. M. THOMAS. Lauren G. Leighton University of Illinois at Chicago. Translation history
B est limage de A par la translation qui transforme C en D revient à
Vecteurs et translations. Égalité vectorielle. Connaître et utiliser l'écriture vectorielle. ?. AB = ?. CD pour exprimer que la translation qui transforme
Cinétique - Masse et inertie
23 sept. 2012 Pour un mouvement de translation la masse suffit pour définir cette ... dm = ?. V ?(P) dv. (2) avec ?(P) masse volumique au point P et dv ...
EXERCICE no XXIGENGEI — Cinq questions indépendantes
Quelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B? 2.c. Par quelle transformation passe-t-on du triangle AIH au triangle AMD?
Partie 1 : Notion de vecteur
La tortue rose est l'image de la tortue verte par la translation de vecteur noté ÐÐÐÐÐ?. Page 2. 2 sur 7. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-
DNB - Brevet des Collèges 2018 Amérique Nord - 5 juin 2018
5 juin 2018 Remarque : dans la correction détaillée ici proposée les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci-.
LA TRANSLATION (Partie 1)
1) Chaque bateau de la flotte se déplace de. "3 carreaux Est et 2 carreaux Nord". a) Placer les point C' T' et P'
Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017
VECTEURS DU PLAN2nde10
INOTION DE VECTEUR
1PARALLÉLOGRAMME
DÉFINITION
Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu
A B CD OAB C D O parallélogramme aplatiPROPRIÉTÉS
Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC). Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.REMARQUE
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour
conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. A B DC Dans le quadrilatèreABCDnous avons (AB)//(CD) etAB=CD, pourtantABCDn"est pas un parallélogramme.2SENS ET DIRECTION
AB Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu"elles ont même direction. Une direction étant indiquée par la donnée d"une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
3TRANSLATION
A M N PQ F1 B R S TU F2Le glissement qui permet d"obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par
trois caractères : ladirectiondu glissement est donnée par la droite(AB); lesensdu glissement est celui deAversB;
ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment[AB]. On dit que la figureF2est l"image de la figureF1par la translation de vecteur# »AB.REMARQUE
Les vecteur
# »NSet# »PTsont aussi des vecteurs de la translation de vecteur# »AB, on dit qu"ils sont égaux. On
note alors :# »AB=# »NS=# »PTDÉFINITION
SoientAetBdeux points du plan.
[AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteur# »AB.Cas général
A CD B O ABDCest un parallélogrammeCas particuler oùA,BetCsont alignésAB CD OABDCest un parallélogramme aplati
IIVECTEURS
On le note# »AB.
1ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS
Deux vecteurs sont égaux s"ils sont associés à la même translation.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
DÉFINITION
AB CD A,B,CetDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :# »AB=# »CDsi, et seulement si,Dest l"image du pointCpar la translation de vecteur# »AB.
# »AB=# »CDsi, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. # »AB=# »CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme.EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES
ABCDetABEFsont deux parallélogrammes. Montrons queDCEFest un parallélogramme. A B C D EF ABCDest un parallélogramme alors,# »AB=# »DC. ABEFest un parallélogramme alors,# »AB=# »FE.Par conséquent,
# »DC=# »FEdonc le quadrilatèreDCEFest un parallélogramme.2REPRÉSENTATION D"UN VECTEUR
Devant des égalités du type# »AB=# »DC=# »FE= ···, on dit que les vecteurs# »AB,# »DC,# »FE, ... sont des
représentants du vecteur#»u:#»u=# »AB=# »DC=# »FE=···Le vecteur
# »AA=# »BB=···est appelé le vecteur nul, noté#»0.Soit O un point du plan. Pour tout vecteur#»u, il existe un un pointMunique tel que#»u=# »OM.
#»u # »OM OMA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
Si#»un"est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»uest caractérisé par :
Sa direction : c"est celle de la droite
(OM). Son sens : c"est le sens deOversM.
Sa norme notée??#»u??: c"est la distanceOM.IIIADDITION VECTORIELLE
1SOMME DE DEUX VECTEURS
Soit trois pointsA,BetC.
Si on applique la translation de vecteur# »ABsuivie de la translation de vecteur# »BC, on obtient la translation
de vecteur# »AC. Le vecteur# »ACest la somme des vecteurs# »ABet# »BC # »AC=# »AB+# »BC AB CRELATION DECHASLES
Quels que soient les pointsA,BetCon a :
AB+# »BC=# »AC
RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME
La somme# »OA+# »OBest le vecteur# »OMtel queOAMBest un parallélogramme.CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS
Relation de Chasles
#»u #»v#»u+#»v ABCRègle du parallélogramme
#»u #»v#»u+#»v OAB MPROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Quels que soient les vecteurs#»u,#»vet#»w#»u+#»v=#»v+#»u;#»u+#»0=#»0+#»u=#»u;?#»u+#»v?+#»w=#»u+?#»u+#»w?
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VECTEURS DU PLAN2nde10
2DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS
OPPOSÉ D"UN VECTEUR
L"opposé d"un vecteur#»uest le vecteur noté?-#»u?tel que#»u+?-#»u?=#»0. #»u -#»uCONSÉQUENCE
L"opposé du vecteur# »ABest le vecteur# »BA:-# »AB=# »BA ?PREUVED"après la relation de Chasles :
# »AB+# »BA=# »AA=#»0DÉFINITION
Étant donné deux vecteurs#»uet#»vla différence#»u-#»vest le vecteur#»u+?-#»v?.
#»u #»v -#»v #»u-#»v #»u-#»v ACB MN Quels que soient les pointsA,BetC,# »BC=# »AC-# »ABIVMULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN RÉEL
1PRODUIT D"UN VECTEUR PAR UN RÉELk
#»u -23 #»u 5 4 #»uA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
DÉFINITION
Soit#»uun vecteur non nul (#»u?=#»0) etkun réel non nul (k?=0). Le produit du vecteur#»upar le réelk, noték#»uest le vecteur caractérisé par : sa direction :k#»ua la même direction que le vecteur#»u;Cas oùk>0Cas oùk<0
# »OM=k #»u # »OA= #»u OA M # »OM=k #»u # »OA=#»u OA M son sens : le vecteurk#»uale même sens que le vecteur#»u; sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale
au produit de la norme du vecteur#»upar le réelk??k#»u??=k×??#»u?? son sens : le vecteurk#»uest de sens opposé au sens du vecteur#»u; sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale
au produit de la norme du vecteur#»upar l"opposé du réelk k#»u??=-k×??#»u??Ce qui s"écrit de façon générale
?k#»u??=|k|×??#»u??et se lit :"la norme du vecteurk#»uest égale au produit de la norme du vecteur#»upar la valeur absolue du réelk»
Lorsque#»u=#»0 ouk=0, on convient quek#»u=#»0 : ainsi, l"égaliték#»u=#»0 ne peut se produire que
lorsque#»u=#»0 ouk=0.REMARQUE
SoitAetBdeux points distincts, etkun réel donné. Il existe un unique pointMdéfini par la relation# »AM=k# »AB:
Mest un point de la droite (AB)
Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d"origineAM?[Ax)
k?0M?[AB]0?k?1M?[By)
k?1 xA By2PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Pour tous vecteurs#»uet#»vet pour tous réelsketk?: k?#»u+#»v?=k#»u+k#»v; (k+k?)#»u=k#»u+k?#»u;k#»u=#»0??k=0 ou#»u=#»03VECTEURS COLINÉAIRES
DÉFINITION
Deux vecteurs#»uet#»vsont dits colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»vou#»v=k#»u
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VECTEURS DU PLAN2nde10
REMARQUES
Comme
#»0=0#»u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.4APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
AVEC LES MILIEUX
MILIEU D"UN SEGMENT
Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment
[AB] :1)# »AI=# »IBou 2)# »I A+# »IB=#»0 ou 3)# »AB=2# »AI.
4) Pour tout pointMdu plan# »MA+# »MB=2# »MI.
?DÉMONSTRATION1. L"égalité
# »AI=# »IBcaractérise le milieuIdu segment [AB] (conséquence de la définition de l"égalité de
deux vecteurs).2.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??# »I A=-# »IB??# »I A+# »IB=#»0
3.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??2# »AI=# »AI+# »IB??2# »AI=# »AB
4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM
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