[PDF] Vecteurs 16 avr. 2021 Transformations : translations/

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Vecteurs

Damien THOMINE

16 avril 2021

Damien THOMINEVecteurs16 avril 20211 /52

Les vecteurs

Damien THOMINEVecteurs16 avril 20212 /52

Contexte

Objectif

Dans le sup

´erieur, la g´eom´etrie affine (ou euclidienne) est d´evelopp´ee`a partir de la g

´eom´etrie vectorielle.Les

´el`eves de coll`ege sont familiers avec la g´eom´etrie euclidienne, mais pas avec la g

´eom´etrie vectorielle.Question: comment introduire la g´eom´etrie vectorielle`a partir de la g´eom´etrie

euclidienne?Les programmes sont malheureusement peu d ´etaill´es, et peu clairs sur la question...Damien THOMINEVecteurs16 avril 20213 /52

Contexte

Quelques rep

`eres

4e : D

´eplacements du plan. Translations (d´efinition naturelle). Frises et pavages.2nde :Translations (d ´efinition rigoureuse). Vecteurs : d´efinition, somme et produit par un r ´eel. Colin´earit´e.´Equations r´eduites.La somme est introduiteviala composition des translations.1eS :D ´eterminant et´equations cart´esiennes de droites. Produit sca- laire.TS :M ˆeme chose, mais dans l"espace.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20214 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Actions libres et transitives

Avant toutes choses, un espace vectoriel est un groupe (pour l"addition) avec une op ´eration suppl´ementaire (multiplication par un scalaire). On va dans un premier temps r ´ecup´erer le groupe additif avant de se d´efinir la multiplication.Le plan euclidien peut ˆetre vu comme un "groupe dont on a oubli´e l"´el´ement neutre".

On peut soustraire des

´el´ements (cela donnera un vecteur), mais on ne peut pas en ajouter (la somme de deux points du plan n"a pas de sens!).Pour formaliser cette id ´ee, on va parler d"action de groupe.Definition SoientGun groupe etXun ensemble. On voitGcomme un groupe de transformations (ou sym ´etries) deX. Cette action estsimplement transitivesi, pour tousx,y2X, il existe une unique transformationg2Gtelle queg(x) =y.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20216 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Actions de groupes

Exemples :G=ZetXest l"ensemble des graduations d"une droite. Transformations :

translations.G=RetXest une ligne. Transformations : translations.G=R2etXest le plan euclidien. Transformations : translations/vecteurs.G=UetXest un cercle.Gest l"ensemble des permutations licites d"un cube de Rubik, etXest l"ensemble

des configurations d"un cube de Rubik.

Non-exemples :G=RetX=R2, avecg(x;y) = (x+g;y). Pourquoi?G=R2etX=R, avec(g1;g2)(x) =x+g1. Pourquoi?Damien THOMINEVecteurs16 avril 20217 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Le probl

`eme

Si l"on conna

ˆıtG, on peut facilement construire un espaceXqui convient. Ici, on a la situation inverse : on part de l"espaceX(le plan euclidien), et l"on construire le groupe

G(l"espaceR2des vecteurs). Comment faire?M

´ethode 1 (alg´ebrique): d´efinir directementGcomme´etant les "bonnes" transformations deX. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2 (g´eom´etrique): si un tel groupeGexiste, pour tout couple(x;y)2X2, il existe un uniqueg2Gtel queg(x) =y. On pourrait poserg=yx1:= (x;y). Cependant, plusieurs couples(x;y)correspondent au mˆeme´el´ementg, donc on identifie des couples `a l"aide d"une relation d"´equivalence. Formellement, on passe au quotient :G'X2 =. L"information sur l"action est cach´ee dans la relation, qu"il faut d ´efinir`a la main.La loi de groupe est la concat

´enation : pour tousx,y2X, on ae= [xx1],

[yx1]1= [xy1]et[zy1][yx1] = [zx1].Loi de Chasles .M ´ethode 3 (analytique): On part de l"intuition qu"il manque un´el´ement neutre 'aX. Fixonsx02X. Alors, pour toutx2X, il existe un uniqueg2Gtel quex=g(x0). On obtient donc une bijection entreXetG(qui d´epend dex0!). Il reste`a d´efinir`a la main la loi de groupe.On peut passer d"un point de vue `a un autre.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20218 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Exemple 1 : les translations du plan

Xest le plan euclidien.G'R2sera un espace vectoriel.M ´ethode 1: d´efinir le groupeGdes translations du plan euclidien. Un vecteur est une translation. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de points. La loi de groupe est la concat

´enation.M

´ethode 3: fixer une origine. Tout point deXdevient un´el´ement d"un groupe, si l"on d ´efinit la bonne loi de groupe.Damien THOMINEVecteurs16 avril 20219 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Exemple 2 : les entiers relatifs

On se donne une droite gradu

´ee et orient´ee.Xest l"ensemble des graduations.G'Z.M ´ethode 1: d´efinir le groupeGdes translations de la droite qui pr´esevent les graduations. Un entier relatif est une translation. La loi de groupe est la composition.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de points. La loi de groupe est la concat

´enation.M

´ethode 3: fixer une origine. Toute graduation correspond alors`a un entier relatif.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202110 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesD

´efinitions et exemples

Exemple 3 : les angles orient

´es

Comment d

´efinir un angle orient´e? ici,Xest le cercle, ou de fac¸on´equivalente l"ensemble des directions (et sens) du plan.M ´ethode 1: un angle orient´e est une rotation vectorielle. Ajouter deux angles, c"est composer les rotations.M ´ethode 2: d´efinir une relation d"´equivalence sur les couples de directions. La loi de groupe est la concat

´enation.M

´ethode 3: fixer une origine. Toute point du cercle correspond alors`a un angle orient ´e (cercle trigonom´etrique).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202111 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesComparaison des approches D

´efinition alg´ebriqueDefinition

Un vecteur est une transformation du plan : une translation.

Propri

´et´e-d´efinition: Pour tous pointsAetB, il existe une unique translation envoyant

AsurB.Avantages:Pr

´esentation g´eom´etrique : lien avec les transformations du plan.Point de vue alg ´ebrique : composition de transformations, frises et pavages.Objet d

´efini de fac¸on intrins`eque. Pas de d´ependance en fonction du rep`ere.Relation de Chasles explicite.

Inconv

´enients:Choix de d

´efintion non standard.Difficult

´es usuelles dans la manipulation des transformations du plan (obligation de les expliciter, d"expliciter leur propri

´et´es...).Quelle d

´efinition pour la multiplication par un scalaire?Damien THOMINEVecteurs16 avril 202113 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesComparaison des approches D

´efinition g´eom´etriqueDefinition

Un vecteur est une classe d"

´equivalence pour une relation d´equivalence sur les paires de points. D ´efinition(-propri´et´e?): un vecteur!ABest une quatit´e qui a une direction, une longueur et un sens. Deux vecteurs non nuls!AB,!CDsont´equivalents si et seulement si(AB)et(CD)sont parall`eles,AB=CDet(A;B),(C;D)sont dans le mˆeme sens.Avantages:Pr ´esentation g´eom´etrique intuitive, en lien avec la physique.Objet d

´efini de fac¸on intrins`eque. Pas de d´ependance en fonction du rep`ere.Relation de Chasles explicite.

Multiplication par un scalaire intuitive.

Lien facile entre les notions d"alignement et de colin

´earit´e.Inconv

´enients:Notion de sens difficile

`a formaliser.Obligation de manipuler des classes d" ´equivalence, sans pouvoir le mentionner.Choix du point de d

´epart du vecteur.Point de base et sens g

´eom´etrique de la somme.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202114 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesComparaison des approches D

´efinition analytiqueDefinition

On se place dans un rep

`ere. Les vecteurs ont eux aussi des coordonn´ees, que l"on peut manipuler directement.Avantages:Lien avec le sup

´erieur et l"alg`ebre lin´eaire.G

´eom´etrie analytique.Sens intuitif aux op

´erations (somme, multiplication par un scalaire).Inconv

´enients:L"objet (vecteur) et ses propri

´et´es (somme, colin´earit´es) sont-ils ind´ependants du rep `ere?Distinction entre point et vecteur moins nette.

Perte de sens g

´eom´etrique des op´erations.Le lien entre propri ´et´es g´eom´etriques et coordonn´ees peutˆetre d´elicat (par exemple : lien entre colin ´earit´e et alignement).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202115 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

Introduction

Afin de comparer ces approches, nous allons r

´esumer avec chacune d"elle ce qu"il

faudrait d ´efinir ou d´emontrer pour d´efinir proprement les vecteurs, leur somme, la multiplication par un r ´eel, et le lien entre alignement et colin´earit´e.Il est ´evident qu"en pratique, il est impossible de d´emontrer toutes ces propri´et´es devant une classe. De plus, l"approche choisie en pratique est mixte.

Damien THOMINEVecteurs16 avril 202117 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

D

´efinition alg´ebrique´

Etant donn´es deux pointsAetB, d´efinition de la translation envoyantAsurB(ou translation de vecteur!AB). Attention : translation de vecteur nul, parall´elogrammes plats.Propri

´et´e: unicit´e de la translation envoyantAsurB: si la translation de vecteur!CDenvoieAsurB, alors elle est la mˆeme transformation que la translation de

vecteur!AB.´

El´ement neutre, inverse.Propri

´et´e: la compos´ee de deux translations est une translation.Multiplication par un scalaire : d

´efinition.Alignement de points et colin

´earit´e.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202118 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

D

´efinition g´eom´etrique´

Etant donn´es deux pointsAetB, d´efinition du vecteur!AB.On a en fait d ´efini une relation d"´equivalence (r´eflexive, sym´etrique, transitive).Propri ´et´e: pour tout pointAet tout vecteur!CD, il existe un unique pointBtel que!AB=!CD.D

´efinition:!AB+!BC=!AC.Propri

´et´e: la somme ainsi d´efinie ne d´epend pas du point de baseA.Multiplication par un scalaire : d

´efinition (facile!).Alignement de points et colin ´earit´e (facile!).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202119 /52

Analyse et synth

`ese : actions de groupesQue d

´emontrer?

D

´efinition analytiqueD

´efinition des coordonn´ees d"un point. Existence et unicit´e de ces coordonn´ees.D ´efinition des coordonn´ees d"un vecteur. Si l"on dispose de la d´efinition g ´eom´etrique du vecteur :ind´ependance de ces coordonn´ees en fonction du repr ´esentant.Somme, multiplication par un scalaire : d

´efinitions (facile!).Somme, multiplication par un scalaire :ind´ependance de ces op´erations en

fonction du repr

´esentantAlignement de points et colin

´earit´e (difficile!).Damien THOMINEVecteurs16 avril 202120 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceVecteurs : une d

´efinition

Informellement, un vecteur est d

´efini par :sa direction (la droite par laquelle il est port ´e);son sens (son orientation le long de la drotie); sa longueur.

Formellement, on identifie les couples de points(A;B)et(C;D)tels que :les droites(AB)et(CD)sont parall`eles;(A;B)et(C;D)sont dans le mˆeme sens;AB=CD...

... siA6=BetC6=D. On d´efinit`a par le vecteur nul. On note la classe d"´equivalence!AB=!CD.Proposition: On d´efinit ainsi une relation d"´equivalence.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202121 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceVecteurs : une autre d

´efinition

Plus souvent, on rencontre par exemple :Definition (D

´efinition-Propri´et´e)Un vecteur

!ABest une quatit´e qui a une direction, une longueur et un sens. Deux vecteurs non nuls!AB,!CDsont´equivalents si et seulement si(AB)et(CD)sont parall `eles,AB=CDet les paires de points(A;B)et(C;D)sont dans le mˆeme sens.Quelle est la d ´efinition? Quelle est la propri´et´e?Quel est l"int ´erˆet de cette approche?Damien THOMINEVecteurs16 avril 202122 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceSomme de vecteurs

La somme de vecteurs est d

´efinie par leur concat´enation (relation de Chasles).

Informellement,!AB+!BC=!AC.Formellement : soient

!u,!vdeux vecteurs, etAun point du plan.

SoitBtel que!AB=!u.

SoitCtel que!BC=!v.

On pose!u+!v:=!AC.Proposition: Soient!uun vecteur etMun point du plan. Il existe un unique pointNtel

que!u=!MN.Proposition: La somme ainsi d´efinie ne d´epend pas du pointAchoisi.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202123 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceAparte : vecteurs et parall

´elogrammes

SoitABCDun parall´elogramme. Alors!AB=!DCet!AD=!BC.Pour montrer que la somme de vecteurs est bien d

´efinie, on veut utiliser la r´eciproque :

si!AB=!DCalorsABCDest un parall´elogramme.Qu"est-ce qu"un parall

´elogramme plat?C

ˆot´es oppos´es parall`eles?C

ˆot´es oppos´es de mˆeme longueur?... ou l"on se contente de l" ´equivalence!AB=!DCsi et seulement si!AD=!BC.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202124 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceMultiplication d"un vecteur par un r

´eel

Soient

!uun vecteur etun r´eel. On d´efinit le vecteur!ucomme le vecteur :de m

ˆeme direction que!u;de m

ˆeme sens que!usi >0, et de sens oppos´e si <0;de longueurjjfois la longueur de!u. ... les cas !u=!0 et=0 sont`a d´efinir`a part. ... il faudrait v ´erifier que la notion de longueur de vecteur est bien d´efinie.Formellement : soient !u6=!0 un vecteur,un r´eel etAun point du plan.

SoitBtel que!AB=!u.

SoitCd"abscissesur la droite(AB)dans le rep`ere(A;B).

On pose!u:=!AC.Proposition: La multiplication ainsi d´efinie ne d´epend pas du pointAchoisi.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202125 /52

Les vecteurs par la relation d"

´equivalenceEt ensuite...

Passage en coordonn

´ees. D´efinition des coordonn´ees d"un vecteur, addition et multiplication par un r

´eel en coordonn´ees.Les coordonn

´ees permettent de d´emystifier ces op´erations d"addition et de multiplication, et de d ´emontrer facilement les axiomes d"espace vectoriel.Passage en coordonn

´ees : expos´e d"Alicia.

Axiomes d"espace vectoriel : expos

´e de Delphine.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202126 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursIntroduire les vecteurs

Longtemps, les vecteurs

´etaient introduits via l"identification de couples de points. Maintenant, la logique du programme est hybride : identification de couples de points, mais s"appuyant sur les transformations (point de vue alg

´ebrique) :D

´efinir les translations du plan (4`eme) :`a deux pointsAetB, on associe la translation qui envoieAsurB.Introduire les vecteurs comme couples de points correspondant `a la mˆeme translation (2nde). Composition et relation de Chasles.Fixer un rep `ere. Coordonn´ees de vecteurs et op´erations alg´ebriques : addition, multiplication par un r

´eel.`

A aucun moment on n"identifie explicitement vecteur et translation. Cependant, les translations permettent :d"introduire les vecteurs et leur relation d" ´equivalence;d"introduire la somme de vecteurs (composition des translations); de glisser un certains nombre de points techniques sous le tapis (non d

´emontr´es

au cycle 4, admis en 2nde).

Damien THOMINEVecteurs16 avril 202127 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4

Ecueil : les documents Eduscol de cycle 4

Citations extraites du document ressource "G

´eom´etrie plane", Cycle 4.

Du cycle 2 au cycle 4, le contr

ˆole des propri´et´es g´eom´etriques passe de la perception au dessin, puis `a une g´eom´etrie plus abstraite, contrˆol´ee par le raisonnement, qu"il soit formalis ´e ou non par une d´emonstration´ecrite.M

ˆeme document :

Les autres transformations (translations, rotations, homoth

´eties) sont introduites pour

d ´ecrire ou pour construire certains objets, notamment les frises, pavages et rosaces.

Elles peuvent

ˆetre d´ecouvertes avec les fonctionnalit´es des logiciels de g´eom´etrie.

Elles sont essentiellement utilis

´ees avec ces logiciels, et leur d´efinition formalis´ee en tant qu"applications ponctuelles n"est pas un attendu.On vous demande de faire de la g ´eom´etrie en 4`eme dans le mˆeme cadre qu"`a l"´ecole primaire (g

´eom´etrie perceptive).

Pas de d

´efinition, pas de raisonnement possible, a fortiori pas d"utilisation des translations comme outils de d ´emonstration.Damien THOMINEVecteurs16 avril 202129 /52

Articulation coll

`ege-lyc´ee : des translations aux vecteursLes translations au cycle 4

Les translations : d

´efinition

Question: Comment d´efinir une translation au coll`ege?Version intuitive : Translater une figure, c"est la d

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