[PDF] MATHEMATIQUES POUR LE DAEU A 6 oct. 2009 {blanche noire

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MATHEMATIQUES POUR LE DAEU A

Service de la Formation Continue

Département de Mathématiques et Informatique

Université Toulouse 2, Le Mirail

6 octobre 2009

Avant-propos

Ce cours de mathématiques s'adresse aux stagiaires qui ont choisi l'option "Mathématiques" pour

passer le DAEU A.

Il a été préparé par Julien Labetaa

1(coordonnateur), Claudie Chabriac2, Jean-Marc Couveignes3

et Francis Rigal 4.

Les thèmes abordés dans ce polycopié sont les nombres et leurs propriétés, les équations et

les problèmes qu'elles permettent de résoudre, la statistisque descriptive, la géométrie cartésienne.

L'ensemble de ces connaissances mathématiques est susceptible de vous rendre service dans la vie

courante, dans la suite de vos études, ou même dans vos loisirs (lecture d'articles de presse ou d'ou-

vrages savants). Nous avons complété ce cours avec quelques sections d'approfondissement. Ces sections sont

clairement identifiées dans le texte. Les contrôles ne porteront pas sur le contenu de ces sections.

Vous pouvez cependant les lire. Elles peuvent être utiles dans la suite de vos études.

De même, les exercices marqués d'une ou plusieurs étoiles sont plus difficiles et il n'est pas

nécessaire de les maîtriser pour préparer les contrôles. Vous trouverez à la fin de ce document deux sujets d'examen posés l'an dernier.

Bon courage!

L'équipe pédagogique

1labetaa@univ-tlse2.fr

2chabriac@univ-tlse2.fr

3couveig@univ-tlse2.fr

4frigal@univ-tlse2.fr

1

Table des matièresI Le cours6

1 Généralités sur les nombres et les opérations7

1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

1.1.1 Ensembles et éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7

1.1.2 Approfondissement : Applications . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8

1.1.3 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11

1.1.5 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

1.1.6 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 14

1.1.8 Nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

1.1.9 Un nombre et plusieurs formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

1.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16

1.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16

1.2.2 Priorités opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18

1.3.1 Définition de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18

1.3.2 Techniques opératoires de la division euclidienne . .. . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

1.3.4 PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Calculs avec des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 21

1.4.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

1.4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 22

1.4.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.4 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.5 Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur . . . . . . . . . 23

1.5 Calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 24

1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.2 Notation scientifique d'un nombre décimal . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24

1.5.3 Règles opératoires avec des puissances . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25

1.5.4 Approfondissement : Identités remarquables . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

1.6 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 26

1.6.1 Suites et grandeurs proportionnelles . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 26

1.6.2 Quatrième proportionnelle, produits en croix . . . . . .. . . . . . . . . . . 27

1.7 Unités et changements d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 29

1.7.1 Unités de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

1.7.2 Unités d'aire, unités de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29

1.7.3 Échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

1.7.4 Unités de masse, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32

1.7.5 Unités de durée, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32

2 Initiation à la statistique35

2.1 Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 35

2.2 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35

2.2.1 Le type qualitatif nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 36

2.2.2 Le type qualitatif ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 37

2.2.3 Le type quantitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37

2.3 Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

2.4 Regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 39

2.5 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.5.1 Détermination de la médiane sans regroupement en classes . . . . . . . . . . 41

2.5.2 Approfondissement : Détermination de la médiane avecregroupement en

classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.7 Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 45

2.7.1 La variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7.2 Ecart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 47

3 Équations, inéquations, systèmes50

3.1 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50

3.1.1 Réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.2 Supprimer les parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 51

3.1.3 Développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.4 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2 Équations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 53

3.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue . . . . . . . .. . . . . . . . . 53

3.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 54

3.3 Approfondissement : Inéquations à une inconnue . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Généralités sur les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57

3.3.2 Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 58

3.4 Approfondissement : Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 60

3.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues . . . . . . 62

4 Géométrie plane65

4.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 65

4.2 Repérage d'un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 67

4.3 Théorème de Pythagore, repères orthonormés, distances. . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Calculs d'aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72

4.5 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 75

4.6 Approfondissement : Représentations graphiques et systèmes linéaires . . . . . . . . 77

4.7 Approfondissement : Graphes de fonctions . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 78

3

II Les exercices83

1 Généralités sur les nombres84

1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84

1.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 86

1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 87

1.4 Calculs avec les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 88

1.5 Calculs avec les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 89

1.6 Calculer avec les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 92

1.7 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 93

1.8 Unités et changements d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 95

2 Statistique98

3 Équations103

3.1 Développer une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 103

3.2 Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 104

4 Géométrie105

4.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 105

4.2 Repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 105

4.3 Distances, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 107

4.4 Approfondissement : Équations de droites et autres équations . . . . . . . . . . . . . 108

4.5 Approfondissement : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 109

III Les solutions des exercices111

1 Généralités sur les nombres112

1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 112

1.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 114

1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 115

1.4 Calculs avec les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 116

1.5 Calculs avec les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 117

1.6 Calculer avec les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 120

1.7 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 122

1.8 Unités et changements d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 125

2 Statistique129

3 Équations134

3.1 Développer une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 134

3.2 Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 136

4 Géométrie137

4.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 137

4.2 Repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 139

4.3 Distances, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 140

4.4 Approfondissement : Équations de droites et autres équations . . . . . . . . . . . . . 144

4

4.5 Approfondissement : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 148

5 Archives151

5.1 Un contrôle terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 151

5.2 Un contrôle posé lors d'un regroupement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 155

5

Première partie

Le cours

6 Chapitre 1Généralités sur les nombres et les opérations

1.1 Les ensembles de nombres

Cette section commence par un rappel rapide de quelques notions générales sur les ensembles; elle est ensuite consacrée à une présentation des ensemblesde nombres les plus importants.

1.1.1 Ensembles et éléments

Prenons l'exemple de l'équipe du TFC. Au sens mathématique,c'est unensemble de joueurs. L'équipe n'est pas elle-même un joueur. Les joueurs sont leséléments de l'équipe. Prenons un autre exemple : dans le corps humain, la colonne estl'ensembledes vertèbres. Mais la colonne vertébrale n'est pas une vertèbre. Les vertèbres sont ses éléments. L'ensemblea souventun nom ("le TFC", "la colonne vertébrale",...); mais on peut tout aussi bien, pour le désigner, se contenter d'énumérer ses éléments.

Exemple :Blanchette, Noiraude, Câline, Joyeuse sont les quatre vaches du père Bernard. On désigne

la même chose par :

•"Le troupeau de Bernard"

•"L'ensemble des vaches de Bernard"

•"L'ensemble {Blanchette; Noiraude; Câline; Joyeuse}".

Remarque :On notera qu'en français, il n'y a pas de différence de sens entre les phrases entendues

après un contrôle :

•"Tous les élèves ont la moyenne."

•"Chaque élève a la moyenne."

•"L'ensemble des élèves a la moyenne."

En mathématiques, la dernière phrase n'a pas de sens. L'ensemble des élèves n'est pas un élève,

c'est un groupe de personnes, un objet abstrait. Il n'a donc pas pu faire le contrôle!

Ne pas confondre :

• ?signifie "appartient à" : il relie un élément à un ensemble; • ?signifie "est inclus dans" : il relie deux ensembles. 7 SiAetBsont deux ensembles, on noteA×Bl'ensemble descouples(a,b)formés d'un élément adeAet d'un élémentbdeB. On dit queA × Best leproduit cartésien des ensemblesAetB. Par exemple siA={1,2}etB={?,•}alorsA×B={(1,?),(1,•),(2,?),(2,•)}.

1.1.2 Approfondissement : Applications

SoientAetBdeux ensembles. Uneapplication

fdeAdansBassocie à tout élément deAun et un seul élément deB. Par exemple, siAest l'ensemble des vaches de Bernard etBl'ensemble {blanche,noire,blonde,pie}, on peut définir l'applicationfdeAdansBqui à chaque vache associe sa couleur. On dit que l'applicationfva de l'ensemble des vaches dans l'ensemble des couleurs.

Sachant que Blanchette est blanche, que Noiraude et Câline sont noires, et que Joyeuse est blonde,

on écritf(Blanchette) =blanche,f(Noiraude) =noire,f(Câline) =noire,f(Joyeuse) =blonde. On écrit souventf:A → Bpour signifier quefest une application de l'ensembleAdans l'ensembleB.

L'écriture

f:A?? B

Blanchette

blanche

Noiraude

noire

Câline

noire

Joyeuse

blonde résume ces informations.

On dit que blanche est l'image

de Blanchette. On dit que noire estl'imagede Câline. On dit que Noiraude et Câline sont lesantécédents de noire. Notons que tout élément deAa une et une seule image parf.

En revanche, un élément deBpeut avoir un antécédent, ou plusieurs antécédents, ou mêmeaucun

antécédent parf. Ici, noire a deux antécédents, blanche en a un seul (c'est Blanchette), et pie n'a

aucun antécédent car Bernard n'a pas de vache pie. Il faut bien distinguer la flêche simple→et la flêche talonnée?→. L'écrituref:A → Bsignifie que l'applicationfva deAdansB. L'écrituref:Joyeuse?→blondesignifie que l'image de Joyeuse parfest blonde. Ceci peut s'écrire aussi bienf(Joyeuse) =blonde. Pour tout ensembleA, il existe une application très simple deAdansA: c'est l'application qui à tout élémentadeAassocie l'élémentalui-même. On l'appellel'identité deA. On la note parfois Id A.

On dit qu'une applicationf:A → Bestinjective

si deux éléments distincts deAont toujours

deux images distinctes. Autrement dit, un élément deBa au plus un antécédent. Dans ce cas, on dit

aussi quefest uneinjection On dit qu'une applicationf:A → Bestsurjective si tout élément deBa au moins un antécédent.

Dans ce cas, on dit aussi quefest unesurjection

8 On dit qu'une applicationf:A → Bestbijectivesi elle est à la fois injective et surjective.

Autrement dit, tout élément deBa un et un seul antécédent. Dans ce cas, on dit aussi quefest une

bijection

Sif:A → Best une bijection, alors pour tout élémentbdeBon notef-1(b)l'unique antécédent

debparf. Cela permet de définir une applicationf-1:B → Aqui est aussi bijective. On l'appelle

l'application réciproque de la bijectionf. SoientA,BetCtrois ensembles. Soitf:A → Bune application deAdansB. Soitg:B → C

uneapplicationdeBdansC. On définit alors unenouvelleapplicationnotéeg◦f,et appeléecomposée

defetg, de la façon suivante : g◦f:A?? C a g(f(a)). Autrement dit,g◦fest une application deAdansCet siaest un élément deA, on obtient l'image deaparg◦fen appliquantfàapuis en appliquantgàf(a). Sif:A → Best une bijection et sif-1:B → Aest son application réciproque, alors la composéef-1◦f:A → Aest l'application identité deA. De même la composéef◦f-1:B → Best l'application identité deB. Un exemple: on suppose queA={1,2,3},B={a,b,c,d}, etC={X,Y,Z}. On définit les applicationsfetgpar f:A?? B 1 b 2 a 3 d et g:B?? C a Z b Y c Y d X 9 On observe quefest injective mais non surjective (carcn'a pas d'antécédent parf). Au contrairegest surjective mais non injective (carg(b) =g(c) =Y).

On vérifie que la composéeg◦fest

g◦f:A?? C 1 Y 2 Z 3 X Notons queg◦fest une bijection entreAetB. On poseh=g◦f. Décrivons l'application réciproqueh-1. h -1:C?? A X 3 Y 1 Z 2

SiAetBsont deux ensembles, unefonction

fdeAdansBassocie à certains éléments deAun

unique élément deB. Elle n'associe rien du tout aux autres éléments deA. AppelonsDl'ensembles

des éléments deAauxquelsfassocie un élément deB. On dit queDest l'ensemble de définition

de f. On dit aussi quefest définie dansD Par exemple, appelonsi:x?→x-1la fonction d'inversion. C'est une fonction de la variable réellex. Son ensemble de définition est IR?, l'ensemble des réels non-nuls.

1.1.3 Nombres réels

Sur une droiteDdonnée, on choisit une unité de longueur et un point particulier, que l'on appelle

Opoint origine

Pour tout pointMsur cette droite, on peut déterminer la distanceOM. Pour indiquer la position du pointMsur cette droite, on peut déterminer la distanceOMet le sens de parcours deOàM. On choisit sur la droite une orientation. Si on va deOàMen suivant l'orientation de la droite, on dira que l'abscisse du pointMest+OM(elle est donc positive); si on va deOàMen suivant le sens contraire de l'orientation de la droite, on dira que l'abscisse deMest-OM(l'abscisse deM est alors négative.). Les abscisses des points de la droite sont appeléesles nombres réels (du latinres, la chose : ils servent à repérer des "choses" concrètes sur la droite.). 10 oM (-1)(0)(+1)(+2)(+3)I

En mathématiques, l'ensemble des nombres réels (c'est-à-dire l'ensemble dont les éléments sont

tous les nombres réels) est noté IR; celui des nombres positifs (ou nuls) s'appelle IR+et celui des

nombres négatifs (ou nuls) s'appelle IR

On utilise la notation?(étoile) pour indiquer que 0 n'est pas un élément de l'ensemble : IR?est

l'ensemble des nombres réels différents de zéro (on ditnon nuls ); IR?+est l'ensemble des nombres non nuls (c'est-à-dire strictement négatifs).

1.1.4 Entiers naturels

Lesentiers naturels

sont les abscisses des pointsMque l'on peut construire à partir deOen

reportant la longueurOI, zéro, une ou plusieurs fois vers la droite. Il s'agit des nombres 0, 1, 2,... On

appelle donc entiers naturels, les nombres que l'on utilisepour compter : 0, 1, 2, 3, ... L'ensemble de

ces nombres est noté IN (IN comme Naturels).

La notation IN

?désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls. On dit indifféremment :

•nest un entier naturel

•nest un élément de IN

•n?IN (lire "nappartient à IN").

Un entier naturel est décomposé enchiffres

: les chiffres sont les signes qui permettent d'écrire

tous les nombres; on en compte dix : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ainsi, la numérotation occidentale

moderne est une numérotation dite enbase 10 ; cela signifie, entre autres, que l'on change de mots lorsqu'on change de dizaine :

1→un

10→dix

20→vingt...100→cent

1000→mille

10000→dix mille...1000000→un million...1000000000→un milliard

1000000000000→mille milliards.

Remarque :L'écriture en base 10 n'est pas une obligation; beaucoup d'autres peuples avaient ou ont encore une numérotation différente. Pour simplifier les notations, on verra plus loin que le nombre1000000000000sera noté1012 (puisqu'il comporte 12 zéros).

On appellechiffre des unités

le dernier chiffre d'un nombre naturel. Exemple :Le chiffre des unités du nombre23567est 7 . 11 De la même manière, on définit le chiffre des dizaines, des centaines, des milliers...

Attention!Il ne faut pas confondre chiffre des dizaines et nombre de dizaines :Le chiffredes dizaines

de23567est 6 alors que le nombre de dizaines de ce nombre est2356.

Opérations élémentaires sur les entiers

Les opérations élémentaires que l'on peut effectuer avec des entiers naturels sont :l'additionetla

multiplication(et leurs opérations complémentaires,la soustractionetla division). Remarque :Il faut absolument savoir pratiquer parfaitement ces quatre types d'opérations; ceci implique qu'il faut, notamment, bien connaître les tables de multiplication. À ces opérations est associé un vocabulaire spécifique : on ditla somme de deux entiers pour désignerleuraddition,le produit pourlamultiplication,la différencepourlasoustractionetle quotient

pour la division; enfin,le triple de... désigne la multiplication par 3,le quart de... la division par 4,...

Propriété :La somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel. En revanche, l'opposé d'un entier naturel non nul n'est pas un élément de IN : par exemple, -5/?IN.

1.1.5 Entiers relatifs

Lesentiers relatifs

(ou entiers tout court) sont les abscisses des pointsMque l'on peut construire

à partir deOen reportant la longueurOIautant de fois que l'on veut, d'un côté ou de l'autre du point

O. Il s'agit donc des nombres 0, 1,-1, 2,-2,...

L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ZZ (de l'allemandZahl, le nombre). Comme pour

IR, on utilise ZZ

+pour l'ensemble des entiers positifs, ZZ?pour l'ensemble des entiers non nuls,...

Il résulte de la définition que les entiers naturels sont les entiers relatifs positifs. IN et ZZ+sont

deux noms pour le même ensemble.

On appellevaleur absolue

d'un nombrex(notée|x|) le nombre positif égal àxou à-x.

Comparaison des entiers relatifs

Pour comparer des entiers relatifs, on applique les règles suivantes :

→Entre deux nombres relatifs, un positif et l'autre négatif,le plus grand est le nombre positif;

→Entre deux nombres relatifs tous deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue;

→Entre deux nombres relatifs tous deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur

absolue. Exemple :Le classement, dans l'ordre croissant des nombres-5; 4; 3; 1;-2;-9est : -9<-5<-2<1<3<4.

Propriété :La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Attention! Le quotient de deux entiers relatifs n'est pas toujours un entier : 6

2= 3?ZZ mais72/?ZZ.

12

1.1.6 Nombres décimaux

Les nombres décimaux sont les nombres qui ont une écriture décimale (écriture "à virgule"), avec

un nombre fini de décimales ("de chiffres après la virgule"). Exemple :Les trois nombres suivants sont décimaux :

7.28-1

2(=-0,5) 3.

Exemple :

1

3n'est pas un nombre décimal.

On note ID l'ensemble des nombres décimaux.

Les nombres entiers sont des décimaux (aucun chiffre après la virgule).quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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