[PDF] Corrigés des exercices Objectif Bac

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© Nathan. Hyperbole Term S

b) f(x) - (2x - 2) (x - 1)[(2 - e -x ) - 2] - e -x (x - 1) f(x) - (2x - 2) est du signe de 1 - x. est au-dessus de sur [0 ; 1] et au-dessous sur [1 ; [. 2. a) f est dérivable sur [0 ; [. f(x) 1(2 - e -x ) e -x (x - 1) f( x) 2 - e -x xe -x - e -x f(x) 2(1 - e -x ) xe -x b)

Pour tout nombre réel x 0,

- x0 e -x e 0 -e -x - e 0

Donc 2(1 - e

-x ) > 0

Pour tout nombre réel x 0, f(x) 0

c) f(0) - 1x0 f(x) f(x) - 1 3. O 3 2 1 - 1 - 2

1234567

A 4. f(x) 2 xe -x

2 - 2e

-x 2 xe -x - 2e -x 0 e -x (x - 2) 0 x 2 car e -x > 0

Les coordonnées de A sont (2 ; 2 - e

-2 79

1. a) Q(0) 1,8e

-0 1,8

Q(t) -1,8e

-t -Q(t) b)

Q(1) Q(0) 0,7 1,8e

0,7 e

Avec la calculatrice, 0,356 7

2. a) b) La quantité de substance est réduite de moitié pour t1,9 h. 74

1. a) 2. a) 3. b) 4. b)

75

1. L"affirmation est fausse car (

e)eetee 1221
2 2. L"affirmation est vraie d"après les propriétés algé- briques de la fonction exponentielle. 3. L"affirmation est fausse car le point de coordonnées (1 ; e 1 ) n"appartient pas à la droite. 4.

L"affirmation est fausse car f(0) 2 et e

2×0

1 76

1. Faux 2. Vrai 3. Vrai

4.

Vrai 5. Vrai 6. Vrai

77

Partie A : 1. a)

x ee 2 1 43
4 xx ee 2 1 xx xg() b)

Pour tout nombre réel x, g(x) > 0

2. a) - 3 > 0

Donc pour tout nombre réel X, X

2 X

1 > 0 (signe du

coefficient de X 2 b)

Donc, pour tout nombre réel x, (e

x 2 e x 1 > 0

Partie B : 1. a) f est dérivable sur

f() x xxxx x 1 313
1 2 eeee e f() x xxx x 1333
1 22
2 eee e f()() x xx x ee e13 1 2 2 fg x x xx xx b)

Pour tout nombre réel x, f()x0 car pour tout

nombre réel x, gxx- 55 f f 33
1 5 5 e e 0 73
1 5 5 e e 2. Pour tout x [-5 ; [, f(x) 0 car la fonction est crois- sante sur [- 5 ; 5]

De même, pour tout x [], 0 f(x)

3.

Avec la calculatrice, [- 1,42 ; - 1,41]

78

1. a) lim

xx e0 lim xx 22e

Donc lim()

x x f

© Nathan. Hyperbole Term S

2 4. a) L'algorithme nous donne une valeur approchée de l'inéquation P(x) k. b)

Pour k 50 et n 1, on obtient a 46,3.

Pour k 25 et n 2, on obtient a 92,42.

80
1. x x Une épaisseur de plaque plastique acrylique infinie ne laisse plus passer la lumière. 2. a) x 45 cm b) x 80 cm 3.

P(x) dérivable sur et pour tout réel x 0,

P(x) - 1,5e

-0,015x 0

P est strictement décroissante sur [0 ; [.

Le pourcentage de lumière traversant une plaque dimi- nue avec des valeurs de x qui augmentent.

© Nathan. Hyperbole Term S

3

Chapitre 2

96

1. b) 2. b) 3. b) 4. c)

97

1. Vrai 2. Vrai 3. Faux.

98

1. Faux :

Pour tout n de , u

n n 2 et v n - n et lim() n nn uv 2.

Faux : Pour tout n de , u

n - 1 et v n n et lim n nn uv 3.

Faux : Pour tout n de , u

n 1 n > 0 et lim 0 4.

Faux : Pour tout n de , u

n n et v n n, w n n et n n w 99

Partie A : 1. f est dérivable sur .

f(x) e x - 1 : y (e a - 1)(x - a) (e a - a - 1) : y (e a - 1)x e a (1 - a) - 1 2. N () donc ses coordonnées vérifient l'équation de ().

D'où - b - 1 (e

a - 1)b e a (1 - a) - 1 0 be a e a - ae a

0 b 1 - a

Soit b - a -1

3. a 1,5 donc b 0,5 On place le point M d'abscisse 1,5 de () et le point N de () d'abscisse 0,5.

On trace la droite (MN).

Partie B : 1. D'après le graphique, f est positif sur . 2.

On en déduit que pour tout nombre x réel,

e x - x - 1 0

On remplace x par

1 n . Donc pour tout n de *, n n soit (1) e 1 11 n n

On remplace x par -

1 1n . Pour tout n de , e 1 1 1 110
n n soit e 1 1 11 1 n n 3.

Pour tout n de *,

e 1 110
n n et x x n est croissante sur [0 ; [.

Donc e

1 11 nn n n soit e11 n n 4.

De même, pour tout n de ,

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