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Propagation d"ondes

Il existe bon nombre d"ouvrages de r´ef´erence traitant de la propagation des ondes, voir par exemple [1, 2, 3, 4, 5]. L"objet de ces notes est d"en pr´esenter quelques aspects, en vue de l"´epreuve de mod´elisation `a l"agr´egation.

Partie I

L"´equation des ondes en dimension 1

On appelle´equation des ondes(lin´eaire) l"´EDP d"´evolution, du second ordre en temps (t)

et en espace (x),

2ttu¡c2@2xxu= 0;

o`ucest un nombre r´eel positif donn´e, homog`ene `a une vitesse. Cette´EDP apparaˆıt naturellement dans beaucoup de probl`emes physiques, dont on donne quelques exemples ci-apr`es.

1 Quelques mod`eles physiques

Pour information on mentionnera entref gla dimension des quanti´es physiques mises en jeu, selon la table suivante symbole signification unit´e S.I. m masse kilogramme (kg) l longueur m`etre (m) t temps seconde (s) T temp´erature

Kelvin (K)

v vitesse m:s ¡1 f force

Newton, 1N= 1kg:m:s¡2

p pression

Pascal, 1Pa= 1kg:m¡1:s¡2

e

´energie

Joule, 1J= 1kg:m2:s¡2

1.1 Cordes vibrantes

Le d´eplacement d"une corde en tension ob´eit, au moins au premier ordre, `a une ´equation des ondes, comme l"avait d´ej`a montr´e D"Alembert au XVIII`eme si`ecle. Les param`etres 1

physiques mis en jeu sont la densit´e lin´eaire½0fm:l¡1g, reli´ee `a la densit´e!0(ou masse

volumiquefm:l¡3g) par

0=¾0!0;

o`u¾0fl2gest la section de la corde, etT0la tension initiale de la corde, nombre>0 homog`ene `a une force. Soitu(x;t)2R3le d´eplacementtransversalde la corde `a l"instantt, par rapport `a une position de r´ef´erencexe12R3,x2R. On suppose le d´eplacement longitudinal

n´egligeable. Autrement dit, le point situ´e enxe1dans la position de r´ef´erence se retrouve

enw(x;t) =xe1+u(x;t), etu(x;t)?e1. SoitT(x;t) la tension de la corde enw(x;t). C"est un nombre positif tel qu"un morceau de corde [x;x+±x] (±x >0) soit soumis `a la force o`uµ(x;t) =@xw(x;t) est tangent `a la corde enw(x;t). L"acc´el´eration de la corde au pointw(x;t) est simplement@2ttw(x;t) =@2ttu(x;t). La relation fondamentale de la m´ecanique, ou loi de Newton (F=m°) appliqu´ee au morceau de corde [x;x+±x] s"´ecrit donc, pour la composante parall`ele `ae1:

T(x+±x;t)¡T(x;t) = 0;

et pour la composante orthogonale `ae1:

T(x+±x;t)@xu(x+±x;t)¡T(x;t)@xu(x;t) =Z

x+±x x

0@2ttu(y;t)dy :

Par suite,T(x;t) =T0(t) est ind´ependant dex, et en faisant tendre±xvers 0 dans la seconde ´equation, on obtient T

0@2xxu=½0@2ttu:

SiT0est de plus suppos´e ind´ependant det, on a bien une ´equation des ondes, avec c=s T 0 0; `a conditionqueT0soit effectivement positif (une corde qui n"est pas en tension s"affaisse et ne peut pas pas vibrer!).

1.2 Barres ´elastiques

A l"inverse d"un corde, dans une barre ´elastique rigide, on peut ne consid´erer que les d´eplacements longitudinaux, c"est-`a-dire qu"un point situ´e enxe1dans la position de r´ef´erence se retrouve apr`es compression ou ´etirement enw(x;t) =xe1+u(x;t) avec u(x;t)ke1. On d´efinit encoreT(x;t) la tension de la barre enw(x;t), mais cette fois elle n"a pas

de signe d´efini (la barre pouvant ˆetre indiff´eremment en compression ou en ´etirement).

Une loi de l"´elasticit´e affirme que pour faire varier de±lun morceau de longueurl0il faut 2 une variation de tension±Tproportionnelle `a±l=l0. Quantitativement, on d´efinitE0le module d"Youngdu mat´eriau tel que

±T=E0¾0±l

l 0: Par d´efinition,E0est un nombre positif homog`ene `a une pression. En appliquant cette loi `a un morceau [x;x+±x], qui devient [x+u(x;t);x+±x+u(x+±x;t)], on obtient

T(x;t)¡T0(x) =E0¾0u(x+±x;t)¡u(x;t)

±x d"o`u `a la limite lorsque±xtend vers 0 :

T(x;t) =T0(x) +E0¾0@xu:

D"autre part, d"apr`es la loi de Newton appliqu´ee au morceau de corde [x;x+±x] :

T(x+±x;t)¡T(x;t) =Z

x+±x x

0@2ttu(y;t)dy ;

d"o`u `a la limite lorsque±xtend vers 0 : xT=½0@2ttu: En supposant la tension de r´ef´erenceT0homog`ene, c"est-`a-dire ind´ependante dex, on en d´eduit queu(ainsi queTd"ailleurs, par d´erivation) satisfait l"´equation des ondes de vitesse c=r E 0 0:

Si l"on s"int´eresse `a la densit´e½le long de la barre, on voit assez facilement qu"elle est

donn´ee par

½(x;t) =½0(1¡@xu):

En effet, pour chaque morceau de longueur initialel0on a

½l=½0l0d"o`u±½

ae

0+±l

l 0= 0: En appliquant cette relation au morceau [x;x+±x] et en faisant tendre±xvers 0, on en d´eduit½¡½0

0+@xu= 0:

Par suite, en supposant la densit´e initiale½0homog`ene, on voit par d´erivation que½ satisfait la mˆeme ´equation des ondes queu(etT).

1.3 Tuyaux sonores

Pour un fluide, un peu d"intuition physique montre que la tensionTest reli´ee `a la pression pparp=¡T=¾0. D"o`u, ±T T

0=±p

p

0=¡1

0±v

v 0; 3 o`uÂ0est le coefficient de compressibilit´e (sans dimension), etvle volume. Or dans un tube de section constante,±v v

0=±l

l 0: Donc on a une loi analogue `a celle de l"´elasticit´e, avec E 0=p0 0:

En particulier, pour un gaz parfait adiabatique,

pv

°= cte;

d"o`uÂ0= 1=°etE0=° p0. On trouve comme vitesse de propagation c=r

° p

0 0: C"est l"expression bien connue de la vitesse du son. Application num´erique.Dans l"air, assimil´e `a un gaz di-atomique, on a approxima- tivement°= 7=5 (on obtient ce nombre en raisonnant sur le nombrende degr´es de

libert´e des mol´ecules; de fa¸con g´en´erale,°= (5 +n)=(3 +n)). La loi des gaz parfaits

p=! RT M ; R= 8;3144J:K¡1:mol¡1; M= 28;8:10¡3kg:mol¡1; permet de calculer c=r RT M '332m:s¡1 `a une temp´erature de 273K, ce qui correspond tr`es bien `a la r´ealit´e !

1.4 Approche variationnelle

On peut aussi obtenir l"´equation r´egissant le d´eplacement d"un mat´eriau ´elastique monodi-

mensionnel au moyen d"une approche variationnelle, sans distinguer la partie transversale de la partie longitudinale. On note comme pr´ec´edemmentw(x;t) la position `a l"instanttdu point initialement situ´e enxe1, sans rien pr´esager de la direction deu(x;t) =w(x;t)¡xe1. Pour sim-

plifier on suppose la densit´e lin´eaire du mat´eriau½0homog`ene et constante. Consid´erons

l"´energie cin´etiqueglobale E c(t) :=1 2

½0Z

L 0 k@tw(x;t)k2dx:

On suppose que l"´energie potentielle d´epend, de fa¸con ´eventuellement non-lin´eaire, de

xw: E p(t) :=Z L 0 f(@xw)dx; 4 o`ufest donn´ee par une loi comportementale, appel´ee loi de Hooke, et suppos´ee convexe.

Par exemple,

f(y) =f0(kyk ¡a)2; o`uf0>0 eta2]0;1[. On d´efinit alors l"int´egrale d"action

A[w] :=Z

t1 t 0E c(t)¡ Ep(t) dt; que l"on cherche `a minimiser `aw(0;t),w(L;t),w(x;t0),w(x;t1) fix´es. Une condition n´ecessaire estd dsA[w+sv]js=0= 0 quel que soitvtel que v(0;t) =v(L;t) =v(x;t0) =v(x;t1) = 0:

Or on calcule facilement

d dsA[w+sv]js=0=Z t1 t 0Z L 0

0@tw¢@tv¡df(@xw)¢@xvdxdt:

En supposant les les fonctions assez r´eguli`eres et en int´egrant par parties on obtient donc Z t1 t 0Z L

0¡¡½0@2ttw+ d2f(@xw)¢@2xxw¢¢vdxdt

(o`u par un l´eger abus de notation on a identifi´e la forme lin´eaire d

2f(@xw)¢@2xxw`a

un vecteur; on peut aussi d´efinir d

2f(@xw) comme la matrice Hessienne defen@xw,

auquel cas il n"y a pas d"abus de notation). Ceci ´etant vrai quel que soitv(tel que v(0;t) =v(L;t) =v(x;t0) =v(x;t1) = 0), on en d´eduit l"´EDP non-lin´eaire du second ordre, dite´equation des ondes non lin´eaire:

0@2ttw¡d2f(@xw)¢@2xxw= 0:

On voit ici apparaˆıtre l"int´erˆet de supposerfconvexe. En effet, on peut d´eterminer

la nature de cette´EDP d"´evolution en ´etudiant l"´EDP lin´eaire obtenue en "gelant les

coefficients", c"est-`a-dire en regardant@xw=ycomme une donn´ee. D"apr`es le lemme de Schwarz, sifest au moins de classeC2, d2f(y) est sym´etrique donc diagonalisable (dans une base orthonorm´ee). Par cons´equent, l"´EDP

0@2ttw¡d2f(y)¢@2xxw= 0

est ´equivalente `a une collection d"´equations

2ttwj¡¸j@2xxwj= 0;

o`u½0¸jsont les valeurs propres de d2f(y). Sifn"´etait pas convexe, l"un des¸jserait n´egatif, ce qui donnerait une ´equation d"´evolutionelliptique! Dans le cas o`uwest scalaire, par exemple si l"on suppose le d´eplacement seulement longitudinal, l"´EDP non lin´eaire satisfaite parws"´ecrit encore

0@2ttw+@x(f0(@xw)) = 0;

5 dont une forme plus courante s"obtient en posant

½v=@xw;

u=@tw: Les nouvelles inconnues (v;u) satisfont alors le syst`eme du premier ordre

½@tv¡@xu= 0;

tu¡1

0@xf0(v) = 0:

Ce syst`eme est connu sous le nom dep-syst`eme. Il apparaˆıt en ´elasticit´e comme on vient

de le voir. Mais c"est aussi un mod`ele d"´ecoulement de fluide compressible, de pression p=¡1

0f0, en formulation Lagrangienne (vrep´esentant alors le volume sp´ecifique du

fluide,usa vitesse, etxla coordon´ee Lagrangienne de massefm:l¡2g). C"est d"ailleurs `a cela qu"il doit son nom. Pour revenir `a notre´EDP du second ordre, voyons ce qu"elle donne pour la loi f(y) =f0(kyk ¡a)2: Un petit exercice de calcul diff´erentiel montre que d

2f(y)¢h= 2f0µkyk ¡a

kykh+a(y¢h)

Ainsi, l"

´EDP lin´eaire avecy=e1(correspondant pr´ecis´ement `a la lin´earisation au voisi- nage de la position de r´ef´erencew=xe1) :

0@2ttw+ d2f(e1)¢@2xxw= 0

s"´ecrit encore

2ttw¡A@2xxw= 0; A= 2f0

0(I¡aP);

o`u

P=I¡e1e1

est simplement la projection orthogonale sure?1(on a bien sˆur suppos´ee1unitaire). En d´ecomposant w=w1+w2; w1ke1; w2?e1; on obtient pourw1etw2des ´equations des ondes de vitesses diff´erentes

2ttw1¡2f0

0@2xxw1= 0;

2ttw2¡2f0

0(1¡a)@2xxw2= 0:

6

1.5 Termes d"ordre inf´erieur

A l"´equation des ondes de base

2ttu¡c2@2xxu= 0;

on peut ajouter des termes d"ordre inf´erieur (en nombre de d´erivations), prenant en compte certains ph´enom`enes suppl´ementaires. Dans l"´equation

2ttu¡c2@2xxu+r@tu+ku= 0

par exemple,rest un nombre positifft¡1grepr´esentant la r´esistance du milieu ambiant (typiquement, l"air dans le cas de la corde vibrante). On verra aux2.1 qu"il introduit une dissipation d"´energie. Quant au nombrekft¡2g, il repr´esente l"action d"une tension transversale, comme dans le cas d"un ressort. On verra qu"il revient `a ajouter un terme

(pr´ecis´ement li´e `a cette tension transversale !) dans l"´energie potentielle. L"´equation avec

r= 0,k >0 :

2ttu¡c2@2xxu+ku= 0

est connue sous le nom deKlein-Gordon. C"est une ´equationdispersive, contrairement `a l"´equation des ondes ordinaire. En effet, si l"on cherche une solution particuli`ere de la formeu(x;t) = expi(» x¡¸t), on trouve larelation de dispersion:

2¡c2»2¡k= 0:

Lorsquek= 0, on trouve¸=§c», ce qui n"est pas surprenant (l"´equation des ondes propage l"information `a la vitessec). Mais pourk >0, on trouve

¸=§p

c

2»2+k:

Autrement dit, la vitesse de propagation de l"onde expi(» x¡¸t), v:=¸ =§p c

2+k=»2

d´epend de sa longueur d"onde 1=». Cette vitesse de propagation est appel´eevitesse de phase. Elle est ici diff´erente de lavitesse de groupe, d´efinie par v g=d¸ d»=§c2 p c

2+k=»2:

2 Analyse de base

On se limite ici `a l"´equation des ondes lin´eaire. L"´etude des ´equations d"ondes non lin´eaires

demande des outils sp´ecifiques, hors du cadre de ces notes. 7

2.1 Estimations d"´energie

Un bagage minime en m´ecanique indique que l"´energie totale

E=Ec+Ep;

E

cd´esignant comme aux1.4 l"´energie cin´etique etEpl"´energie potentielle, doit ˆetre con-

serv´ee au cours du mouvement. On retrouve effectivement cette propri´et´e "`a la main", en faisant le petit calcul suivant. Multiplions (scalairement) l"´equation

2ttu¡c2@2xxu= 0

par@tuet int´egrons en espace. Pour simplifier, on suppose l"´equation pos´ee sur toute la droite r´eelleR, et la solution suffisamment r´eguli`ere, tendant suffisamment vite vers 0 `a l"infini. On obtient apr`es int´egration par parties du second morceau : d dtZ ?1 2 k@tuk2dx+d dtZ ?c 2 2 k@xuk2dx= 0: Ceci signifie exactement que l"´energie totaleE=Ec+Epest constante, avec E c:=Z ?1 2 k@tuk2dx;Ep:=Z ?c 2 2 k@xuk2dx:quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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