[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Chapitre V Fonctions arcsin arccos

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf



Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

arcsin( ) = arctan(. 3. 4. ) + arctan (. 5. 12. ) On rappelle que sin( + ) = sin (0) = arccos(1 − 2 × 02) = arccos(1) = 0 lim. →−1+. ′( ) = lim.



Développements limités usuels en 0

Dérivée cosx. − sinx. 1 + tan2 x = 1 cos2 x. −1−cotan2 x. = −1 sin2 x. 2 Arccos x + Arcsin x = π/2. Arctan x + Arctan y = Arctan x + y. 1 − xy+ επ où ...



Cours de mathématiques - Exo7

de nouvelles fonctions : ch sh



Dérivation et fonctions trigonométriques

Puisque la fonction Arcsin est dérivable en 0 et que sa dérivée vaut. 1. √. 1 qu'on appelle fonction Arctangente notée Arctan. Arctan : R −→. ˜. − π. 2.



1 Dérivation

Dérivée : arcsin (x) = 1. √. 1−x2. Propriétés particuli`eres : 1. ∀x ∈ [−π Dérivée : arctan (x) = 1. 1+x2. Propriétés particuli`eres : 1. arctan est ...





Semaine 3 du 2 au 6 octobre 2023 x ↦→ f(x + a) ou x ↦→ f(ax) (1 +

6 oct. 2023 • Fonctions circulaires réciproques Arcsin Arccos





Chapitre V Fonctions arcsin arccos

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf



1 Dérivation

sin(x) cos(x) arcsin(x). 1. ?. 1 ? x2 cos(x). ? sin(x) arccos(x). ?. 1. ?. 1 ? x2 tan(x). 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) arctan(x).



Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

comme arccos est décroissante Car arctan est strictement croissante



Exo7 - Cours de mathématiques

arccos arcsin et arctan. – connaître les ensembles de définition et dérivées de arccos



2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( ?. 2. ? y)) = ?. 2 . III. La fonction arctan: la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur 



I Propriétés fondamentales

Dérivées : cos(x) = ?sinx ; sin(x) = cosx ; tan(x) = 1 + tan2 x = III.2 Les fonctions arccos arcsin



Dérivation et fonctions trigonométriques

qu'on appelle fonction Arcsinus notée Arcsin. Arcsin : [?1



Chapitre12 : Fonctions circulaires réciproques

Donc Arcsin est bien dérivable sur ] ´ 1 1[







Inverse trigonometric functions (Sect 76) Review

The derivative of arcsin is given by arcsin0(x) = 1 ? 1 ? x2 Proof: For x ? [?11] holds arcsin0(x) = 1 sin0 arcsin(x) = 1 cos arcsin(x) For x ? [?11] we get arcsin(x) = y ? h? 2 ? 2 i and the cosine is positive in that interval then cos(y) = + q 1 ? sin2(y) hence arcsin0(x) = 1 q 1 ? sin2 arcsin(x) ? arcsin 0(x) = 1



Section 55 Inverse Trigonometric Functions and Their Graphs

Section 5 5 Inverse Trigonometric Functions and Their Graphs DEFINITION: The inverse sine function denoted by sin 1 x (or arcsinx) is de ned to be the inverse of the restricted sine function



Searches related to arcsin arccos arctan dérivée PDF

Thus we see that the cosine of the angle (and hence the answer to the problem) is 1/ ? 10 1 3 10 Derivative of the Arcsine and the Arctangent Arcsine: Now that we have de?ned inverse functions for some of the trigonometric functions we will ?nd their derivatives

What is the derivative of arccos x?

The derivative of arccos x is the negative of the derivative of arcsin x. That will be true for the inverse of each pair of cofunctions. The derivative of arccot x will be the negative of the derivative of arctan x. The derivative of arccsc x will be the negative of the derivative of arcsec x. For, beginning with arccos x:

What is the derivative of the arcsine?

The derivative of the arcsine with respect to its argument is equal to 1 over the square root of 1 minus the square of the argument. Here is the proof:

What does y = arcsin x mean?

y = arcsin x implies sin y = x. And similarly for each of the inverse trigonometric functions. Problem 1. If y = arcsin x, show: To see the answer, pass your mouse over the colored area. To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload"). Do the problem yourself first! x. according to line 1).

Can inverse trigonometric functions encapsulate a chain rule?

In the same way that we can encapsulate the chain rule in the derivative of as , we can write formulas for the derivative of the inverse trigonometric functions that encapsulate the chain rule. Note that represents a function of in these formulas, and represents the derivative of with respect to .

Exo7

Trigonométrie hyperbolique

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

1.x7!sin(arcsinx),

2.x7!arcsin(sinx),

3.x7!cos(arccosx),

4.x7!arccos(cosx),

5.x7!tan(arctanx),

6.x7!arctan(tanx).

2.

Calculer arctan x+arctan1x

pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).

Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

1.f1(x) =arcsinxp1+x2

2.f2(x) =arccos1x21+x2

1

3.f3(x) =arcsinp1x2arctan

q1x1+x

4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x

12 +arctan15 +arctan18

2+arctan22

2+:::+arctan2n

(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.

Quel est l"ensemble de définition Ddef?

2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.

Dresser le tableau de v ariationde f.

2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 2

2.cos (2arccosx),

3. sin

2arccosx2

4. ln (px

2+1+x)+ln(px

2+1x),

5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.

2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).

Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]

et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6x6x2kp et donc arcsin(sinx) =arcsin(sin(x2kp)) =x2kp:

De plus, on ak6x2p+14

De plus,k6x2p14 arccos(cosx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dans[0;p]. • S"il existe un entier relatifktel

que 2kp6xPour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp.Correction del"exer cice2 N1.1ère solution. Posonsf(x) =arccosx+arcsinxpourxdans[1;1].fest définie et continue sur[1;1],

dérivable sur]1;1[. De plus, pourxdans]1;1[, f

0(x) =1p1x21p1x2=0:

Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p2

8x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2

:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,

arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p2

2.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x

.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x

211+1x

2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur

]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,

8x2R;arctanx+arctan1x

p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):4

2èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2

telquex=tanq

à savoirq=arctanx. Mais alors,

arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos

2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2

;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:

8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),

cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;

ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)

existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:

Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p2 [p2 ;p.

1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2

;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.

2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p.

Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2

et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.

En résumé,

arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5

Deux démonstrations :

chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathb

après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,

on obtient :

8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :

chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch

2x=ch(2x)+12

et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry

0arcsinpt dtest définie et dérivable

sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction

x7!Rsin2x

0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].

Donc, la fonctiony7!Ry

0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest

définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x

0arccospt dtest définie et

dérivable surR. Donc,fest définie et dérivable surRet, pour tout réelx, f

0(x) =2sinxcosxarcsin(psin

2x)2sinxcosxarccos(pcos

2x) On note alors quefestp-pérodique et paire. Pourxélément de[0;p2 ],f0(x) =2sinxcosx(xx) =0.fest donc constante sur[0;p2 ]et pourxélément de[0;p2 ],f(x) =fp4 =R1=2

0arcsinpt dt+R1=2

0arccosptdt=R1=2

0p2 dt=p4 . Mais alors, par parité etp-périodicité,

8x2R;Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt=p4

:Correction del"exer cice5 N1.1ère solution.Pour tout réelx,px

2+1>px

2=jxjet donc1

2+1<1. Ainsif1est définie et

dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f

01(x) =1px

2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q

1x21+x2=11+x2=arctan0(x):

Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 6

8x2R;arcsinxpx

2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpx

2+1=tanqp1+tan2q=pcos

2qtanq=cosqtanq(car cosq>0)

=sinq et donc f

1(x) =arcsin(sinq) =q(carqest dansi

p2 ;p2 h =arctanx:

2.1ère solution.Pour tout réelx,1<1+21+x2=1x21+x261+2=1 (avec égalité si et seulement si

x=0).f2est donc définie et continue surR, dérivable surR. Pour tout réelxnon nul, f

02(x) =2x(1+x2)2x(1x2)(1+x2)21r

11x21+x2

2=4x1+x21p4x2=2e1+x2

oùeest le signe dex. Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réel positifx,f2(x) =

2arctanx+C(y comprisx=0 puisquefest continue en 0).

x=0 fournitC=0 et donc, pour tout réel positifx,f2(x) =2arctanx. Par parité,

8x2R;arccos1x21+x2

=2arctanjxj:2ème solution.Soitx2Rpuisq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq.

1x21+x2=1tan2q1+tan2q=cos2q(1tan2q) =cos2qsin2q=cos(2q):

Donc f

2(x) =arccos(cos(2q)) =2qsiq20;p2

2qsiq2p2

;0=2arctanxsix>0

2arctanxsix60=2arctanjxj:

3. La fonction x7!arcsinp1x2est définie et continue sur[1;1], dérivable sur[1;1]nf0gcar pourx

élément de[1;1], 1x2est élément de[0;1]et vaut 1 si et seulement sixvaut 0.1x1+xest défini et positif

si et seulement sixest dans]1;1], et nul si et seulement six=1.f3est donc définie et continue sur ]1;1], dérivable sur]1;0[[]0;1[. Pourxdans]1;0[[]0;1[, on noteele signe dexet on a : f

03(x) =xp1x21p1(1x2)(1+x)(1x)(1+x)212

q1x1+x11+1x1+x=ep1x2+12

1p1x2:

Sixest dans]0;1[,f03(x) =12

1p1x2= (12

arcsin)0(x). Donc, il existe un réelCtel que, pour toutxde [0;1](par continuité)f3(x) =12 arcsinx+C.x=1 fournitC=p4 . Donc, 7

8x2[0;1];f3(x) =p4

12 arcsinx=12 arccosx:Sixest dans]1;0[,f03(x) =32

1p1x2= (32

arcsin)0(x). Donc il existe un réelC0tel que, pour toutxde ]1;0](par continuité)f3(x) =32 arcsinx+C0.x=0 fournitp2 p4 =C0. Donc,

8x2]1;0];f3(x) =32

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