[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques

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Travaux dirigés - Fonctions

TD n°1

Pré-requis :

-connaître la notion de domaine de définition d"une fonction -définition du nombre dérivé d"une fonction -savoir calculer une dérivéeObjectifs : -savoir reconnaître une composée de fonctions -savoir exhiber le domaine de définition d"une com- posée -savoir dériver une composée de fonctionsExercice 1

Pour chacune des fonctions ci-après, écrire l"ensemble de définition et calculer la dérivée.

f

1(x)AEx3cos(5xÅ1)

f

2(x)AEecos(x)

f

3(x)AExln(x)

f

4(x)AEecos(x)e

sin(x)f 5 f

6(x)AEln(cos(2x))

f

7(x)AEln³

x¡px

2¡1´

f

8(x)AEln(exÅ1)Exercice 2

On noteCla courbe représentative de la fonctionf:x7!xpx xÅ1. 1. Déterminer l"ensemble de défini tionet de dérivabilité de f. 2.

Calculerf0(0) etf0(1) puis en déduire les équations cartésiennes des tangentes àCaux points d"abs-

cisses 0 et 1.Exercice 3 Soientu,vetwtrois fonctions dérivables deRdansR. Calculer la dérivée deuvw.Exercice 4

On notef0la dérivée def. On notef00la dérivée def0qui est ladérivée secondedef. Plus généralement,

on notef(n)ladérivéen-ièmedef. Pour toutndansN, calculer la dérivéen-ième de :

²f:x7!cos(x)

²g:x7!eaxÅbaveca,b2RExercice 5

Soientfetgdeux fonctions deux fois dérivables deRdansR. Calculer la dérivée seconde def±g.Exercice 6

Soitfla fonction définie surR\{1}parf(x)AE1x¡1. 1. Calculer les premières déri véesde fafin de conjecturer une expression def(n). 2.

Démontrer la conjecture précédent e.1

2

TD n°2

Pré-requis :

-connaître la notion de fonction, son ensemble de dé- part (ou de définition) et son ensemble d"arrivée -connaître les quantificateurs8,9,2 savoir interpréter une phrase simple formée à l"aide de quantificateursObjectifs : savoir donner l"ensemble des antécédents d"un en- semble par une fonction connaître les définitions d"ensemble image et d"image réciproque et savoir les calculer dans des exemples simples connaître les définitions de fonction injective, sur- jective et bijective et savoir les reconnaîtreExercice 7

Soitf:R\{1}!Rla fonction définie parf(x)AE

2xÅ1x¡1.

1.

Dresser le tableau de variations de la fonction

f. 2.

Est-ce que la fonct ionfest surjective?

3.

Est-ce que la foncti onfest injective?Exercice 8

Soitf:R!Rla fonction définie parf(x)AEx3Åx2Å xÅ1.

Est-ce quefest bijective?Exercice 9

Soit f:RÅ!RÅ x7!xex

Est-ce quefest bijective?Exercice 10

Soit f:R!R x7!1¡x21Åx2 1.

Est que fest injective?

2.

Est que fest surjective?

3.

Déterminer f¡1(R) etf(R).Exercice 11

Soit f:R!R x7!x2Åx¡2 1.

Déterminer les ensembles f(RÅ) etf(R¡).

2.

Déterminer f(f¡1(RÅ)) etf¡1(f(RÅ))

3.

Si g:R!Rest-ce que8E½R,g¡1(g(E))AEE?

4. Si g:R!Rest-ce que8E½R,g(g¡1(E))AEE?Exercice 12 On considère quatre sous-ensemblesA,B,C,DdeRet des applicationsf:A!B,g:B!C,h:C!D.

Démontrer que :

g±finjective)finjective, g±fsurjective)gsurjective.

Démontrer que :

¡g±feth±gsont bijectives¢,¡f,gethsont bijectives¢. 3

TD n°3

Pré-requis :

-connaître la notion de bijection -connaître les propriétés des fonctions exponentielle et logarithme -connaître la notion de dérivabilité en un pointObjectifs : -savoir définir la bijection réciproque comprendre la définition de la fonction logarithme, connaître son ensemble de définition et savoir cal- culer sa dérivée savoir calculer la dérivée d"une bijection réciproqueExercice 13 1. Les fonctions suivantes s ont-ellesinjectives ,surjectives ,bijectives ?

²f1:N!N,x7!x2.

²f4:R!R,x7!x3.²f5:R!R,x7!x3¡x.

2. définit une bijection deEsurE. Déterminezf¡1. 3.

Montrez que la fonction g:]1,Å1[!]0,Å1[ définie parg(x)AE1x¡1est bijective. Calculezg¡1.

4. Déterminez EetFpour queh(x)AE11Åx2soit une bijection deEsurF. Déterminezh¡1. 5. Déterminez EetFpour quek(x)AEx2Å2 soit une bijection deEsurF. Déterminezk¡1.Exercice 14

On considère l"application

g:RÅ!R\µ

¡14

x7!3xÅ14xÅ1 1. Déterminer l"image directe de RÅpar cette fonction. 2.

Déterminer l"image réciproq uede ·45

;1¸ 3. Proposer deux intervalles IetJ, les plus grands possibles, tels que 02Iet tels que la fonction g:I!J x7!3xÅ14xÅ1 soit bijective. 4.

Déterminer une expression de (

˜g)¡1.Exercice 15

On rappelle que :8a,b2R,eaÅbAEea¢ebet que ln:]0;Å1[!Rest la fonction réciproque de exp. 1. Démontrer que 8x,y2]0;Å1[,ln(xy)AEln(x)Åln(y). 2. Démontrer ensuite que 8x2]0;Å1[,8n2N,ln(xn)AEnln(x).Exercice 16

Soitaun nombre réel strictement positif. On considère la fonctionfdéfinie parfa(x)AEexln(a). On noteraax

la l"expressionfa(x). 1.

Quel est l"ensemble de défini tionde fa?

2. J ustifierla notation axutilisée pour désignerfa(x). 3.

Démontrer que, dans certains cas,x7!axréalise une bijection. Préciser les ensembles de départ et

d"arrivée. 4.

Lorsquex7!axest bijective, déterminer sa bijection réciproque, sa dérivée et la dérivée de sa réciproque.

4

TD n°4

Pré-requis :

-connaitre les valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus -savoir dériver les fonctions cos et sin -savoir étudier le signe des fonctions cos et sinObjectifs : comprendre le procédé de construction des fonctions arccos, arcsin et arctan connaître les ensembles de définition et dérivées de arccos, arcsin et arctan mener des calculs simples avec les fonctionsarccos, arcsin et arctanExercice 17 1.

Calculezarcsin³

p3 2

´,arccos¡¡12

¢,arctan³¡1p3

´,arcsin¡sin(5¼6

)¢,arccos¡cos(5¼6 sin(arcsin(1)), arcsin(sin(1)), tan(arctan(3)), arctan(tan(3)). 2.

Calculez arccos ¡sin(3¼2

)¢, arcsin¡sin(11¼7 )¢, arcsin¡cos(¼17 )¢, et arctan¡tan(¡17¼5 )¢.Exercice 18 En utilisant les formules de trigonométrie habituelles, simplifiez les expressions suivantes : 1. sin 2. sin 3. sin (arctan(x)),cos(arctan(x)).Exercice 19 Donner le domaine de définition et calculer les fonctions suivantes :

1.x7!sin(arcsin(x)),

2.x7!arcsin(sin(x)),

3.x7!cos(arccos(x)),4.x7!arccos(cos(x)),

5.x7!tan(arctan(x)),

6.x7!arctan(tan(x)),Exercice 20

Calculez les dérivées des fonctionsx7!exp(tan2(x2)),x7!ln(cos2(x)) etx7!sin(exp(arctan(x)).Exercice 21

1. Démontrez que pour tout x2[¡1,1], arcsinxÅarccosxAE¼2 2.

AEsign(x)¼2

.Exercice 22 On considère la fonction définie parf(x)AEarcsin³x2¡1x

2Å1´

1. def0.) 2. Déduisez-en une autre expression de fpar une fonction usuelle du cours.Exercice 23 1.

Calculer les valeurs de ar ccoset arcsin en 0, 1,

12 ,p2 2 ,p3 2 . Idem pour arctan en 0, 1,p3 et 1p3 2.

Calculer arccos

¡cos7¼3

¢. Idem avec arcsin¡sin7¼3

¢et arctan¡tan7¼3

¢(attention aux intervalles!)

3. Calculer cos(arcsin x), tan(arcsinx), cos(arctanx). 5 4. Calculer la dérivée de f(x)AEarctan³xp1¡x2´ . En déduire quef(x)AEarcsinx, pour toutx2]¡1,1[. 5.

Montrer que arccos xÅarcsinxAE¼2

, pour toutx2[¡1,1].Exercice 24

1.Calculezarcsinp3

arctantan3. 2.

Calculez arccos(sin

3¼2

), arcsin(sin11¼7 ), arcsin(cos¼17 ), et arctan(tan¡17¼5 ).Exercice 25 1. En comparant les dérivées ,montrez que pour tout x2]0,1[, on a arcsin(x)Ê1¡p1¡x2. 2.

Montrez de même que

¼2

¡arcsin(x)Êp1¡x2.

3.

En appliquant avecxAE1/p2, donnez ainsi deux minorations de¼, et comparez les inégalités obtenues.

4.

Même question a vecxAE1/2,xAEp3/2.

Exercice 26

1. Démontrez que pour tout x2[¡1,1], arcsinxÅarccosxAE¼2 2.

AEsign(x)¼2

6

TD n°5

Pré-requis :

-Savoir déterminer le signe d"une expression -Savoir calculer une dérivée -Savoir construire un tableau de variations -Fonctions exponentielle et logarithme népérienObjectifs : -Exploiter un tableau de variations et la présence de tangentes horizontales pour construire une courbe Exploiter la parité et/ou la périodicité d"une fonction pour construire une courbe

Exploiter la convexité d"une fonction pour

construire une courbeExercice 27 1. Soitfetgdeux fonctions deRdansR. On suppose quefetgsont toutes les deux paires. Que peut-on dire de la parité de, leur sommefÅg? leur produitf£g?leur composéeg±f? 2. Même question en supposant fetgimpaires, puis en supposantfpaire etgimpaire.Exercice 28

On note{x}AEx¡E(x) la partie fractionnaire dex. Tracez le graphe de la fonctionx7!{x}et montrez qu"elle

est périodique.Exercice 29 1. Soitf:R!Rla fonction définie parf(x)AEx1Åx2. Montrez quejfjest majorée par12et tracez son graphe. 2.

On considère la fonctiong:R!R,g(x)AEsin¡¼f(x)¢, oùfest définie à la question précédente. Déduisez

de l"étude defles variations, la parité, la périodicité deget tracer son graphe.Exercice 30

fest la fonction définie surRparf(x)AEsin(x)2Åcos(x).

Après avoir fait une étude de la fonctionf, dressez l"allure de sa courbe représentative,Exercice 31

Etudier la fonctionf:x7!xp1¡x2afin d"en réaliser la représentation graphique.Exercice 32

Soitf:R!Rune fonction dérivable et convexe.

1. Démontrer que si fest majorée alorsfest constante. 2. Est-ce que ce résultat r estevrai pour f:RÅ!R?Exercice 33 On considère la fonctionfdéfinie parf(x)AEx2ln(x)¡x2. 1.

Quel est le domaine de définit ionde f?

2.

Calculer lim

x!Å1f(x) et limx!Å1f(x)x . Donner une interprétation graphique. 3.

Dressez le tableau de vari ationde f.

4. Déterminer les intervalles de convexité et de conca vitéde f. 5. Tracer le graphe de fet déterminer l"équation de la tangente au point d"abscisse1e 7

TD n°6

Pré-requis :

-bien connaître la fonction exponentielle -connaître le théorème de la bijection -savoir dériver une fonction réciproqueObjectifs : -connaître les fonctions ch, sh et th -comprendre le procédé de construction des fonctions

Argch, Argsh et ArgthExercice 34

Démontrez que :

1. Argth :]¡1,1[!Rest strictement croissante et continue. 2. Argth est dérivable sur ] ¡1,1[ et pour toutx2]¡1,1[, Argth0xAE11¡x2. 3.

P ourtout x2]¡1,1[, ArgthxAE12

ln¡1Åx1¡x¢.Exercice 35

Établir pour cosh, sinh et th

1.

les formules d"addition : cosh( aÅb), cosh(a¡b), sinh(aÅb), sinh(a¡b), th(aÅb), th(a¡b) ;

2. les formules de duplicati on: cosh(2 x), sinh(2x), th(2x) ; 3. et les formules de linéa risation: cosh

2(x), sinh2(x).Exercice 36

Simplifiez l"expression suivante :

cosh(ln(x))Åsinh(ln(x))x .Exercice 37

Simplifiez l"expression

2cosh2(x)¡sinh(2x)x¡ln(cosh(x))¡ln(2)afin de pouvoir calculer ses limites en¡1etÅ1.Exercice 38

Calculez la dérivée de la fonction suivante après avoir indiqué sur quels intervalles elle est dérivable :

h(x)AE1¡cosh(x)2Åsinh(x).Exercice 39

Établir que

1. pour tout xÊ0, sinh(x)Êx; 2. pour tout x2R, cosh(x)Ê1Åx22 .Exercice 40

Établir les inégalités suivantes :

1.

P ourtout x2R, ArgshxAEln¡xÅpx

2Å1¢.

2.

P ourtout xÊ1, ArgchxAEln¡xÅpx

2¡1¢.

3.

P ourtout x2]¡1,1[, ArgthxAE12

ln¡1Åx1¡x¢. 8

Exercice 41

Simplifiez les expressions suivantes :

1. cosh(Argsh( x)),th(Argsh(x)),sinh(2Argsh(x)); 2. sinh(Argc h(x)),th(Argch(x)).Exercice 42 Étudier le domaine de définition de la fonctionfdéfinie par f(x)AEArgch·12 xÅ1x et simplifier son expression lorsqu"elle a un sens. 9

TD n°7

Pré-requis :

-savoir reconnaître un quotient, un produit... -savoir factoriser -maîtriser la notion de limite -connaître les limites des fonctions racines, poly- nômes, exponentielle et logarithme -connaître les théorèmes de comparaisonObjectifs : savoir calculer une limite en utilisant les règles de calcul savoir calculer une limite en utilisant les théorèmes de croissances comparées -savoir déterminer les asymptotes à une courbe savoir construire l"allure d"une courbe en utilisant pertinemment les asymptotes éventuellesExercice 43

Calculez

1. lim x!Å1(10xÅ3)ex 2. lim x!Å1e6x¡e5x 3. lim x!¡1ex¡xexÅ14.lim x!Å1ex¡xexÅ1 5. lim x!Å13xÅ1e xÅ4 6. lim x!Å1e xpx

Exercice 44

Soitfla fonction définie surR\{¡1;1}parf(x)AEx3Åxx

2¡1etCfsa courbe représentative.

Après une étude pertinente def, donnez l"allure de sa courbe représentative.Exercice 45

Étudier la fonction définie parf(x)AEln(cosh(x)¡x). On s"intéressera aux droites asymptotes enÅ1et¡1.Exercice 46

Soitfla fonction définie sur ]0;Å1[ parf(x)AEexx etCfsa courbe représentative.

Démontrez queCfn"admet aucune asymptote oblique enÅ1.Exercice 47. Comparaison exponentielle/polynôme enÅ1

PournÊ0, on considère la fonctionfn:R!Rdéfinie par f n(x)AEexÅxnÅ1(nÅ1)!. 1.

Calculer f0n(x).

2. Montrer par récurrence que pour t outnÊ0,fnest croissante sur [0,Å1[. 3.

En déduire que pour tout xÊ0, on a :

e xÊxnÅ1(nÅ1)!. 4.

En déduire que lim

x!Å1e xx nAEÅ1. 5. SoitP(x)AEanxnÅ¢¢¢Åa1xÅa0un polynôme. En utilisant l"égalitéexP(x)AEexx n£xnP(x), déterminer suivant le signe deanla limite limx!Å1e xP(x). 10

TD n°8

Pré-requis :

-savoir ce qu"est une primitive, une intégrale -savoir calculer les primitives les plus simples (poly- nômes, celles données dans le formulaire) -connaître les propriétés de linéarité de l"intégraleObjectifs : -améliorer sa technique de calcul de primitive -valeur moyenne d"une fonction -savoir encadrer une intégrale -maîtriser le lien intégrale/calcul d"aire

On a vu en cours comment calculer l"aire comprise en l"axe des abscisses, deux droites verticales et une fonction

de signe constant. Ce qui suit nous permet de généraliser à une fonction de signe non constant.Exercice 48. Lorsquefchange de signe

L"objectif de cet exercice est de calculer l"aire de la partie du plan comprise entre les droites d"équationxAE¡1,

xAE3, l"axe des abscisses et la courbe représentant la fonctionfdéfinie parf(x)AE(x2¡1)(x¡3).

1.

Dressez le tabl eaude signe de f(x).

2.

Proposez une méthode permettant de calculer

l"aire hachurée en rouge. 3. Calculez cette aire. Exprimez le résultat en uni- tés d"aire et encm2.-2.-101234. -4.-3-2-101234. C fxAE¡1xAE3Exercice 49. Calculer l"aire du plan comprise entre deux courbes

L"objectif de cet exercice est de calculer l"aire de la partie du plan comprise entre l"axe des abscisses et les

courbes représentant les fonctionsfetgdéfinies parf(x)AEx22 etg(x)AE11Åjxj. 1.

Déterminez les posi tionsrelatives de CfetCg.

2.

Après avoir identifiéCfetCgsur le graphique

ci-contre, vérifiez le résultat de la question pré- cédente. 3.

Proposez une méthode permettant de calculer

l"aire hachurée en rouge. Quelle propriété de cours permet de justifier cette méthode? 4. Calculez cette aire. Exprimez le résultat en uni- tés d"aire et encm2.-2.-1012.0.1quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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