[PDF] BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2019

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CONCOURS COMMUN INP

FILIÈRE MP

BANQUE

ÉPREUVE ORALE

DE MATHÉMATIQUES

SESSION 2019

avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, R. Gabay, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Rigny, A. Walbron et A. Warin

2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR

Dernière mise à jour : le 20/05/19

Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCINP, filière MP Mise à jour : 20/05/19

Introduction

L"épreuve orale de mathématiques du CCINP, filière MP, se déroule de la manière suivante :

25mn de préparatio nsur table.

25mn de passage à l"oral.

Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :

un exercice sur 8 p ointsis sude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr

un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2019:

58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).

36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).

18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).

Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la

banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.

Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour

plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.

Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr

si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.

Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.

Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des

exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme

2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.

http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques du CCINP, filière MP.

Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice

des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP. vbellecave@gmail.com

CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2

Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCINP, filière MP Mise à jour : 20/05/19

MISES À JOUR :

Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site du concours

commun INP, en date du 18/09/17. mise à jour du 13/09/18: exercice 3corrigé 3. : (fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)f(n+1)(x) remplacé par (fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)g(n+1)(x) exercice 8corrigé 2.(a) : vosinage changé en voisinage. exercice 17corrigé 2. ligne 7 : rajout de absolument. exercice 29corrigé 3. : une hypothèse rajoutée.

exercice 47énoncé : disque ouvert de convergence remplacé par intervalle ouvert de convergence.

exercice 48corrigé 2.c :dnetan;kintroduits en début de corrigé.

exercice 49corrigé 1.b :Mchangé enKqui est introduit (pas forcément leMde la remarque précédente).

exercice 52 énoncé : question 2.a reformulée. exercice 53corrigé 1.c autre méthode :sup x2[0;+1[jfn(x)j=fn(13 14 n) =14314 nremplacé par sup x2[0;+1[jfn(x)j=fn(13 14 n) =334 4n. exercice 64énoncé : rajout de l"adjectif finie.

exercice 69corrigé 2. : pour le calcul du polynôme caractéristique,Xchangé enetPA(X)changé enA.

exercice 71énoncé : énoncé reformulé.

exercice 83énoncé : première ligne remplacée par : Soituetvdeux endomorphismes d"unR-espace vectorielE.

exercice 84corrigé : soultion changé en solution. exercice 94énoncé et corrigé : mod(17)et mod(15)remplacés par[15]et[17]. exercice 98corrigé : succés remplacé par succès. exercice 103énoncé : introduction des paramètres1,2,etp. exercice 109corrigé : Autre méthode rajoutée pour 2.

exercice 110énoncé et corrigé : question 1.(a) reformulée et corrigé 1.(a) reformulé.

Barèmes modifiés:

exercice 38 exercice 76 exercice 94 mise à jour du 24/01/19: exercice 70corrigé 2. troisième cas : E

Q(1)(B) =R3remplacé parEQ(1)(B) =C3.

exercice 84corrigé 3. :

En écrivantiei2kn

+ 1e i2kn

1= ieikn

+ eikn e ikn eikn = i2coskn 2isin kn =1tan( kn )remplacé par :

En écrivantiei2kn

+ 1e i2kn

1= ieikn

+ eikn e ikn eikn = i2coskn 2isin kn =coskn sin kn

CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3

Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCINP, filière MP Mise à jour : 20/05/19

Mise à jour du 27/04/19:

exercices 47, 64, 83 et 103énoncés : Les modifications mineures des énoncés des exercices 47, 64, 83 et 103 de

la mise à jour du 24/01/19 avaient bien été apportées sur la banque avec corrigés mais n"avaient pas été apportées

sur la banque sans corrigés. Cette nouvelle mise à jour les prend en compte sur la banque sans corrigés.

exercice 106corrigé 2. : on distingue le casm= 0et le casm>1.

Mise à jour du 20/05/19:

exercice 17corrigé 2. :X n>11n

2converge changé enX

n>11n

2converge absolument.

exercice 22énoncé 2. : un point enlevé derrière le point d"interrogation. exercice 87corrigé 3. : Soitp2J0;:::;nKchangé en Soitp2J0;nK. exercice 103énoncé 1.a : Soit(1;2)2([0;+1[)2changé en : Soit(1;2)2(]0;+1[)2. exercice 103énoncé 2. : "Soitp2[0;1]. Soit2[0;+1[" changé en "Soitp2]0;1]. Soit2]0;+1["

exercice 109corrigé 2. Autre méthode : d"après la formule des probabilités totales changé en d"après la formule

des probabilités composées. exercice 110énoncé 1.a :

On poseGX(t) =+1X

n=0t nP(X=n)et noteDGXl"ensemble de définition deGXchangé en : On pose G

X(t) =+1X

n=0t nP(X=n)et on noteDGXl"ensemble de définition deGX.

CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4

Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCINP, filière MP Mise à jour : 20/05/19

BANQUE ANALYSE

EXERCICE 1 analyse

Énoncé exercice 1

1.

On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un

certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1n

Corrigé exercice 1

1.

P arh ypothèse,9N02N=8n2N;n>N0=)vn6= 0.

Ainsi la suiteunv

n est définie à partir du rangN0.

De plus, commeuns+1vn, on alimn!+1u

nv n= 1.

Alors,8" >0,9N2N=N>N0et8n2N;n>N=)u

nv n16". (1)

Prenons"=12

. Fixons un entierNvérifiant(1).

Ainsi,8n2N;n>N=)u

nv n1612

C"est-à-dire,8n2N;n>N=) 12

6unv n1612

On en déduit que8n2N;n>N=)unv

n>12

Et donc,8n2N;n>N=)unv

n>0. Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN. 2.

Au v oisinagede +1, sh(1n

) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.

CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5

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EXERCICE 2 analyse

Énoncé exercice 2

On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.

1.

Décomp oserf(x)en éléments simples.

2.

En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).

Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce

développement en série entière. 3. (a)

Soit Panxnune série entière de rayonR >0.

On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X

n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au voisinage de 0.

Corrigé exercice 2

1. En utilisan tles métho deshabituel lesde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =3x+ 1+4(x+ 1)2. 2.

D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.

De plus, on a8x2]1;1[,11 +x=+1P

n=0(1)nxn.

Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P

n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).

On en déduit quefest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en

série entière.

Et8x2]1;1[,f(x) = 3+1P

n=0(1)nxn+ 4+1P n=0(1)n(n+ 1)xn.

C"est-à-dire :8x2]1;1[,f(x) =+1X

n=0(4n+ 7)(1)nxn. NotonsDle domaine de validité du développement en série entière def.

D"après ce qui précéde,]1;1[D.

NotonsRle rayon de convergence de la série entièreX(4n+ 7)(1)nxn.

D"après ce qui précédeR>1.

Posons, pour tout entier natureln,an= (4n+ 7)(1)n. Pourx= 1etx=1,limn!+1janxnj= +1doncX(4n+ 7)(1)nxndiverge grossièrement.

DoncR61,162Det162D.

On en déduit queD= ]1;1[.

3. (a)

Soit Panxnune série entière de rayonR >0.

On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X

n=0a nxn.

D"après le cours,gest de classeC1sur]R;R[.

De plus,8x2]R;R[,

g

0(x) =+1X

n=1na nxn1=+1X n=0(n+ 1)an+1xn g

00(x) =+1X

n=1n(n+ 1)an+1xn1=+1X n=0(n+ 1)(n+ 2)an+2xn.quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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