[PDF] 1S Devoir maison jeudi 4 février 2016 Exercice 1 : On veut réaliser

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1SDevoir maison jeudi 4 février 2016

Exercice 1 :

On veut réaliser un toboggan pour l"évacuation d"urgence des avions. Le profil de ce toboggan est donné par le graphique ci-contre. La courbe choisie doit vérifier les conditions suivantes : • Les tangentes à la courbe aux points A (0; 5) et C (5; 0) sont parallèles à l"axe des abscisses. • La courbe doit passer par le point B (1; 4 )A C B

Partie 1 : Choix des fonctions

On se propose de choisir des portions de paraboles pour les deux arcs AB et BC de ce profil.

1.Justifier que la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0; 1] parf(x) =-x2+5 vérifie bien les deux conditions :

a.Le point A appartient à la courbe représentative defet la tangente en A à la courbe est parallèle à l"axe

des abscisses. b.Le point B appartient à la courbe représentative def.

2.On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle [1; 5] parg(x) =a(x-5)2aveca >0.

a.justifier que la fonctiongvérifie bien la première condition. b.Démontrer que, pour quegvérifie la seconde condition, on doit avoira= 0,25.

Partie 2 : Condition de raccordement

Les fonctions choisies sont donc les fonctionsfetgdéfinies respectivement par : f(x) =-x2+5 etg(x) = 0,25(x-5)2.

Ces fonctions conviendront si leur raccordementse fait parfaitement, c"est à dire si les tangentes aux deux courbes au

point B sont identiques.

1.On s"intéresse d"abors àf.

a.Calculer et simplifierf(1+h)-f(1) h. b.en déduire le nombre dérivé defen 1. c.Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative defau point B.

2.Reprendre la même méthode pour déterminer une équation de latangente à la courbe représentative degau

point B.

3.Conclure.

Exercice 2 :

On considère la figure ci-contre.

Calculer les produits scalaires :

a.-→u .-→vb.-→u .-→wc.-→u .-→k d.-→v .-→we.-→k .-→wf.-→k .-→v1 k u v w

Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré1

1SDevoir maison jeudi 4 février 2016

Exercice 3 :

ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3.

Le triangle DCE est équilatéral et le triangle BCF est rectangle et isocèle en B.

Calculer les produits scalaires :

ABD C E F H

Exercice 4 :

On considère un rectangle ABCD tel que AB = 8 et AD = 6.

E est le point du segment [BC] tel que CE = 2.

On cherche à placer le point F sur le segment [DC] tel que les droites (DE) et (AF) soient perpendiculaires. En calculant de deux manières différentes le produit scalaire--→DE.--→AF,

Déterminer la longueur DF.

Indication : on pourra écrire--→DE =---→DC +--→CE et--→AF =---→AD +--→DF.

ABD C ?E? F

Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré2

Corrigé

Exercice 1 :

On veut réaliser un toboggan pour l"évacuation d"urgence des avions. Le profil de ce toboggan est donné par le graphique ci-contre. La courbe choisie doit vérifier les conditions suivantes : • Les tangentes à la courbe aux points A (0; 5) et C (5; 0) sont parallèles à l"axe des abscisses. • La courbe doit passer par le point B (1; 4 )A C B

Partie 1 : Choix des fonctions

1. a.La forme canonique defestf(x) =-(x-0)2+5 donc le sommet de la parabole est le point de coordonnées

(0; 5) c"est à dire A. Le point A appartient à la courbe représentative def.

De plus, comme il s"agit du sommet de la parabole, la tangenteen A à la courbe est parallèle à l"axe des

abscisses. La fonctionfvérifie bien les deux conditions imposées.

b.Six=xB= 1 alorsf(x) =f(1) =-12+5 = 4 =yBdonc le point B appartient à la courbe représentative def.

2. a.La forme canonique degestg(x) =a(x-5)2+0 donc le sommet de la parabole est le point de coordonnées

(5; 0) c"est à dire C. Le point C appartient à la courbe représentative deg.

De plus, comme il s"agit du sommet de la parabole, la tangenteen C à la courbe est parallèle à l"axe des

abscisses. b.gvérifie la seconde condition sig(1) = 4. g(1) = 4?a(1-5)2= 4?16a= 4?a=16

4= 0,25.

Partie 2 : Condition de raccordement

1.On s"intéresse d"abord àf.

a.f(1+h) =-(1+h)2+5 =-(1+2h+h2)+5 =-1-2h-h2+5 =-h2-2h+4 etf(1) = 4 donc f(1+h)-f(1) h=-h2-2hh=-h-2 b.Nous pouvons calculer l"expression simplifiée def(1+h)-f(1) hlorsqueh= 0 : limh→0f(1+h)-f(1)h=-2.

Conclusion :f?(1) =-2.

c.Une équation de la tangente à la courbe représentative defau point B est donc : y=f?(1)(x-1)+f(1) =-2(x-1)+4 =-2x+6

2.Pour déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative degau point B :

On commence par calculer

g(1+h) = 0,25(1+h-5)2= 0,25(h-4) = 0,25(h2-8h+16) = 0,25h2-2h+4 etg(1) = 4 donc g(1+h)-g(1) h=0,25h2-2hh= 0,25h-2

3.Nous pouvons calculer l"expression simplifiée deg(1+h)-g(1)

hlorsqueh= 0 : limh→0g(1+h)-g(1)h=-2.

Conclusion :g?(1) =-2.

4.Une équation de la tangente à la courbe représentative degau point B est donc :

y=g?(1)(x-1)+g(1) =-2(x-1)+4 =-2x+6

5.Conclusion les deux fonctionsfetgontla même tangente au pointB donc le raccordement se fait parfaitement.

Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré3

Corrigé

Exercice 2 :

Le plus simple est d"exprimer les coordonnées des quatre vecteurs puis d"utiliser la formule analytique du produit scalaire. u -2 -2;-→v 1.5 -1.5;-→w 3

0;-→k

0 2.5. a. u .-→v=-2×1.5+(-2)×(-1.5) = 0 b.-→u .-→w=-2×3+(-2)×0 =-6 c.-→u .-→k=-2×0+(-2)×2.5 =-5 d.-→v .-→w= 1.5×3+(-1.5)×0 = 4.5 e.-→k .-→w= 0×3+2.5×0 = 0 f.-→k .-→v= 0×1.5+2.5×(-1.5) =-3.75 1 k u v w

Exercice 3 :

a.C se projette orthogonalement en B sur (AB) :--→AB.--→AC =AB×AB= 16. b.E se projette orthogonalement en K milieu de [CD] sur (CD) :---→CD.--→CE =CD×CK= 8. c.C se projette orthogonalement en B sur (FA) :--→FC.--→FA =FA×FB= 21. d.D se projette orthogonalement en A sur (BF) :--→BD.--→BF =-BA×BF=-12. e.C se projette orthogonalement en A sur (AD) et

F se projette orthogonalement en A sur (AD) :

AD.--→CF =-AD×DA=-9.

f.D se projette orthogonalement en A sur (FA) et

C se projette orthogonalement en H sur (FA) :

FA.--→DE =-FA×AH=-14.

ABD C E F H

Exercice 4 :

On considère un rectangle ABCD tel que AB = 8 et AD = 6.

E est le point du segment [BC] tel que CE = 2.

On cherche à placer le point F sur le segment [DC] tel que les droites (DE) et (AF) soient perpendiculaires. En calculant de deux manières différentes le produit scalaire--→DE.--→AF,

Déterminer la longueur DF.

Indication : on pourra écrire--→DE =---→DC +--→CE et--→AF =---→AD +--→DF.

ABD C ?E? F D"une part : Les droites (DE) et (AF) sont perpendiculaires donc--→DE.--→AF= 0. D"autre part :--→DE=--→DC+--→CE et--→AF=--→AD+--→DF donc :

DE.--→AF= (--→DC+--→CE).(--→AD+--→DF) =--→DC.--→AD+--→DC.--→DF+--→CE).--→AD+--→CE.--→DF

or

DC.--→AD= 0et--→CE.--→DF= 0( droites perpendiculaires ).--→DC.--→DF= 8x( En posant DF =x) et--→CE.--→AD=-12

Nous en déduisons :8x-12 = 0d"oùx=12

8= 1,5.

Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré4

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