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Calcul formel et calcul numérique

UEF MINI - Outils mathématiques et informatiques pour l"ingénieur

Jean-Luc CHARLES

Éric DUCASSE

Thomas MILCENTÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 1/13

Qu"est-ce que

le calcul formel Qu"est-ce que le calcul formel?Éléments de réponse

Éléments de réponse :

Calcul formel = Calcul littéral = Calcul symbolique 1.

Calcul e xact/ calcul n umérique

2. Le calcul symbolique ,ou tout ce que ne fait pas le calcul numérique 3. Réécriture d"e xpressionsmathématiques par application de règles de substitution 4. Év aluationimmédiate / év aluationdifférée 5. Équations : définition et résolution f ormelle

ÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 3/13

Calcul exact / calcul numériqueLes nombres irrationnels

Calcul exact / calcul numériqueCalcul exact : entiers, symboles représentants des objets (nombres, fonctions, etc.)

Calcul numérique : flottants (erreurs d"arrondis)

1importsympy as sb 2importnumpy as np Calcul formelCalcul numérique

Représentation exacteFlottant (norme IEEE 754)

Entiers & fractionssb.S(2)/5!2=52/5!0:4Les nombres irrationnels

Le nombresb.pinp.pi!

1.224[]2e-16Le nombre de Neper?sb.Enp.e!

2.71828182845905sb.exp(sb.I

*sb.pi) !-1np.exp(1j *np.pi)! (-1+1.224[]2e-16j) p2sb.sqrt(2)np.sqrt(2)!

1.4142135623731sb.sqrt(2)

**2-2 !0np.sqrt(2) **2-2!

4.440[]6e-16[Voir aussi le fichierUEF-MINI_CM_formel_vs_numerique.ipynbfourni.]

Liens :fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_formel

fr.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

ÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 4/13

Le calcul symboliqueTout ce que ne fait pas le calcul numérique [1/4]

Le calcul symbolique,

ou tout ce que ne fait pas le calcul numériqueType de calculExemples symboliqueInstructionRésultat Manipulation d"expressions mathématiques, algébriques ?ou nonDéveloppera,b = sb.symbols("a,b") ((a+b) **2).expand()a

2+2ab+b2Factoriser(a

**2).simplify()sin(a)2n = sb.symbols("n", integer=True) [sb.sin(sb.pi *n),sb.cos(sb.pi*n)]

0;(1)nA = sb.sqrt(a

**2) [A,sb.refine(A,sb.Q.positive(a))]h pa

2;aiDécomposerx = sb.symbols("x")

((2 *x-7)/((x-1)*(x**2+4))).apart()x+3x

2+41x1[

?]" Une expression algébrique est une expression contenant des nombres, des lettres représentant des nombres inconnus,

des parenthèses et des symboles opératoires.»[mathplace.fr].

[Pour la déclaration de symboles, voir aussi le fichierUEF-MINI_CM_declaration_symboles.ipynbfourni.]ÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 5/13

Le calcul symboliqueCalcul symbolique [2/4]

Le calcul symbolique,

ou tout ce que ne fait pas le calcul numériqueDérivation, intégration, sommation d"expressions

Dériverm,s = sb.symbols("m,sigma",

real= True

G = sb.exp(-((x-m)/s)

**2/2)

G.diff(x).simplify()mx

2?(mx)222sb.exp(-x

**2/2).diff(x,3)x x2+3 ?x22

Intégrers = sb.symbols("sigma",

positive= True

H = sb.exp(-((x-m)/s)

**2/2) sb.integrate(H,(x,-sb.oo,sb.oo)) (ouH.integrate( (x,-sb.oo,sb.oo) ))p2 p t = sb.symbols( "t" , real= True sb.integrate(sb.exp(-t **2),(t,0,x))p 2 erf(x)Sommerk,n = sb.symbols("k,n", integer= True , positive= True p = sb.symbols( "p" , positive= True sb.summation(p **k,(k,0,n))( n+1p=1

1pn+11potherwiseÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 6/13

Le calcul symboliqueCalcul symbolique [3/4]

Le calcul symbolique,

ou tout ce que ne fait pas le calcul numériqueFonctions indéfinies f = sb.Function( "f" f(x).diff(x)? ?xf(x)f(a *x+t).diff(x)a ??1f(1)1=a x+tf(sin(x)).diff(x)cos(x)??1f(1)1=sin(x)Développements limités sb.exp(x).series(x,0,4)1+x+x22 +x36 +O(x4)(1/sb.sin(3 *x)).series(x,0,5)1 3x+x2 +21x340
+O(x5)a,h = sb.symbols("a,h", real=True)

2?a2f(a)+O(h3)ÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 7/13

Le calcul symboliqueCalcul symbolique [4/4]

Le calcul symbolique,

ou tout ce que ne fait pas le calcul numériqueMatrices et vecteurs contenant des symboles

DéterminantP = sb.Matrix([[1,1,1],

[-2,-1,0], [0,1,a]]) (P, P.det())0 @2

41 1 1

21 0
0 1a3 5 ;a21

AInverse(a-2)

*P.inv()2

4aa+1 1

2a a2 21 13

5ProduitsD = sb.diag(2,1,a)

M=((a-2)

*P@D@P.inv()).expand()

M.simplify() ; M2

42a22a a

2a3a42

2a(1a)a(1a)a223

5u = (1,-1,x) ; P.dot(u)[x;1;ax1](vecteur)U = sb.Matrix(u) ; P@Uidem(matrice-colonne)V = P.row(2) ; V.dot(u)ax1Valeurs

propresA = sb.Matrix([[a,2,0], [1,a,1], [0,2,a]])

A.eigenvals()fa:1;a2:1;a+2:1gÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 8/13

Réécriture d"expressions mathématiquesApplication de règles de substitution [1/2] Réécriture d"expressions mathématiques par

application de règles de substitutionEn calcul formel, on peut avoir besoin de remplacer dans une expression mathématique un sym-

bole par une expression symbolique ou à une valeur numérique, sans pour autant avoir recours

à une affectation.[Voir le fichierUEF-MINI_CM_reecriture_application_numerique.ipynbfourni.]Programmation standard

x,y = sb.symbols( "x,y" a = x *(y-1) b = (a+x).expand()

[a,b]donne :[x(y1));x y]À la fin,bne désigne plus la sommea+xmais son calcul en remplaçantaparx(y1).Utilisation d"une règle de substitution

a,x,y = sb.symbols( "a,x,y" regle = {a:x *(y-1)} b = a+x b.xreplace(regle).expand()donne :x y

[a,b]donne :[a;a+x]À la fin,areste le symboleaetbreste tel qu"il a été défini symboliquement : la

sommea+x.ÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 9/13

Réécriture d"expressions mathématiquesApplication de règles de substitution [2/2] Réécriture d"expressions mathématiques par

application de règles de substitutionEn calcul formel, on peut avoir besoin de remplacer dans une expression mathématique un sym-

bole par une expression symbolique ou à une valeur numérique, sans pour autant avoir recours

à une affectation.[Voir le fichierUEF-MINI_CM_reecriture_application_numerique.ipynbfourni.]Exemple d"application

1Calcul littéral

r,h = sb.symbols( "r,h" , real= True , positive= True

V = sb.pi*r**2*h

S = ( 2*sb.pi*r**2 + 2*sb.pi*r*h ).factor()

(V,S)donne : h r2;2r(h+r)2Application(s) numérique(s)

AN1,AN2 = {r:2e-3, h:3e-2}, {r:2.5e-3, h:2e-2}

for regle in (AN1, AN2) : print float (e.xreplace(regle)) for e in

(r,h,V,S)]) RayonrHauteurhVolumeVSurfaceSCas n°12.0mm 30.0mm377mm3402mm2Cas n°22.5mm 20.0mm393mm3353mm2ÉD, JLC, TM (Arts & Métiers ParisTech)Calcul formel et calcul numériqueV1.01 - 14 octobre 2019 10/13

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