[PDF] Résolution dune inéquation Résoudre une inéquation (

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? Les symboles utilisés ( symbole d"inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser < plus petit inférieur strictement inférieur strictement inférieur £ plus petit ou égal inférieur ou égal inférieur inférieur ou égal > plus grand supérieur strictement supérieur strictement supérieur ³ plus grand ou égal supérieur ou égal supérieur supérieur ou égal

Exemples :

3 < 7 mais 3 < 3

2

£ 6 et 2 £ 2

5 > -3 mais 5 > 5 10

³ 8,37 et 10 ³ 10

Notion d"inéquation :

Une écriture du type " 2

x + 1 < 7 » s"appelle une inéquation. ( notion à rapprocher de la notion d"équation ) Equation Egalité Exemple : 2x + 1 = 7 Inéquation Inégalité Exemple : 2x + 1 < 7 Dans cette écriture, la lettre x s"appelle l"inconnue.

Résoudre une inéquation ( comme une équation ) , c"est déterminer, si elles existent, les valeurs de

l"inconnue qui vérifient l"inégalité ( c"est à dire qui rendent vraie l"inégalité )

Par exemple, en reprenant l"inéquation 2x + 1 < 7, nous constatons que :

· 1 est solution de l"inéquation , car, en remplaçant x par cette valeur 1, le premier membre est

égal à

3 soit , 1 2 soit , 1 1 2++´ et 3 est inférieur à 7 (7 3< )

· 5 est également solution car 9 - 1 10 - 1 ) 5 - ( 2=+=+´ et 7 -9<

4 n"est pas une solution , car 9 1 8 1 4 2=+=+´ et 9 n"est pas inférieur strictement à 7 (

l"écriture

7 9< est fausse )

· 3 n"est pas solution, car 7 1 6 1 3 2=+=+´ et 7 n"est pas strictement inférieur à 7 ( Remarquons

que 3 est solution de l"inéquation 2 x + 1 £ 7

THEME :

RESOLUTION D"UNE

INEQUATION

? Propriétés utilisées dans la résolution d"une inéquation :

Si on ajoute un même nombre aux

deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

Si a < b alors a + c < b + c

Exemple :

2 < 5 , donc 2 + 8< 5 + 8

Si on retranche ( soustrait ) un même

nombre aux deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

Si a < b alors a - c < b - c

Exemple :

7 < 10 , donc 7 - 3< 10 - 3

Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.

Si a < b et c > 0 alors a ´ c < b ´ c

Si a < b et c > 0 alors c

a < c b

Exemple :

2 < 3 , donc 5 3 5 2´´< 10 < 15 , donc 5

15 5 10< Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.

Si a < b et c < 0 alors a ´ c > b ´ c

Si a < b et c < 0 alors c

a > c b

Exemple :

2 < 3 , donc ) 12 - 8 - car ( ) 4 - ( 3 ) 4 - ( 2>>´´ et 10 < 15 , donc ) 3 - 2 - ( 5-

15 5- 10>>

Les expressions situées de part et

d"autre du symbole d"inégalité s"appellent, comme pour une

équation , des membres.

Membre de gauche

Membre de droite

ATTENTION ! CHANGEMENT DE SENS DE L"INEGALITE

Remarque :Analogie avec la Physique

Une inégalité ( ou une inéquation )

Si a < b alors a + c < b + c

Si nous ajoutons aux objets de masses a et b , une même quantité c, alors le déséquilibre sera le même.

De même, si nous retranchons la même quantité , le déséquilibre restera le même.

En ce qui concerne la multiplication ( et la division), l"analogie physique est plus difficile ( la multiplication

n"étant pas une opération " naturelle » ) ?Exemples ? Résoudre l"inéquation 2x + 1 < 7

2x + 1 < 7

2x < 7 - 1

2 x < 6

x < 2 6 x < 3

Les solutions ont tous les nombres inférieurs strictement à 3. Par exemple -10 ; -2458,72 ; - 0,3 ; 2,57

sont des solutions . Il y a donc une infinité de solutions.

Cet ensemble infini de solutions peut être représenté graphiquement ( représentation graphique ) :

Représentation graphique :

Considérons une droite graduée

La valeur limite déterminée par la résolution de l"inéquation est 3. Plaçons ce nombre.

Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 3. Ces nombres sont situés, sur cet axe , à

gauche du nombre 3. Résolution de l"équation " associée » :

2x + 1 = 7

2 x = 7 - 1 2 x = 6 x = 2 6 x = 3

La solution est

3

Si ALORS

2 est un nombre positif

Dans notre exemple, les solutions sont les nombres x qui vérifient x < 3. Si nous avions comme ensemble

solution, les nombres qui vérifient x £ 3 , la représentation graphique serait identique.

Pour différencier ces deux cas, nous allons préciser sur le dessin si le nombre limite ( ici 3 ) fait partie

des solutions ou non.

Nous dessinerons un crochet de ce type ( voir dessin ) sur le nombre 3 pour préciser que 3 n"appartient

pas aux solutions ( pour préciser que 3 est en dehors des solutions )

Remarque :

Si notre ensemble solution était x £ 3 ( nombres inférieurs ou égaux à 3 ) , le nombre 3 serait solution.

Pour le préciser sur la représentation graphique , il suffirait de mettre un crochet de ce type ( voir

dessin ci-dessous ). Ce crochet indique que 3 appartient aux solutions , c"est à dire que nous " prenons »

3 dans l"ensemble des solutions.

? Résoudre l"inéquation - 3x + 2 < 8

Résolution :

Nous avons successivement :

- 3 x + 2 < 8 - 3 x < 8 - 2 - 3x < 6

Nous devons, à ce stade, diviser par le nombre

situé devant l"inconnue x, c"est à dire - 3.

Ce nombre est négatif.

La dernière propriété mentionnée ci-dessus , précise que : Si on divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif , on obtient une inégalité de sens contraire.

Nous pouvons donc diviser par - 3, mains attention , nous devons changer le sens de l"inégalité !

x > 3 - 6

Nous obtenons donc :

x > - 2

Représentation graphique :

? Résoudre l"inéquation 5x + 1 ³ 3x - 2

Résolution :

- 3 est un nombre négatif . Il y a donc un changement de sens de l"inégalité

Solutions

Solutions

Précisez la couleur

représentant l"ensemble des solutions ou mieux,

écrivez le mot

" Solutions »

Solutions

Nous avons successivement ( comme pour une équation ) :

5x + 1 ³ 3x - 2

5 x - 3x ³ - 2 - 1 Soit

2x ³ - 3

Nous devons maintenant diviser par 2.

Ce nombre est positif

. Il n"y a donc aucun problème.

On continue :

2

3 -³x

2

3-³x

Représentation graphique :

1,5 - 2

3=- ? Résoudre l"inéquation 2x - 1 £ 5x - 3

Résolution 1 :

2x - 1 £ 5x - 3

2 x - 5x £ - 3 + 1 - 3 x £ - 2

Nous devons maintenant diviser par - 3.

Ce nombre est négatif

. Nous pouvons donc diviser , mais il faut alors changer le sens de l"inégalité.

Nous obtenons alors :

x 3 -

2 -³

3

2³x

Résolution 2 :

La seule difficulté, dans la résolution d"une inéquation, est la présence d"un nombre négatif devant

l"inconnue. Nous pouvons y remédier en procédant comme suit : 2 x - 1 £ 5x - 3 - 1 + 3

£ 5x - 2x

2

£ 3x

Le nombre 3 situé devant l"inconnue x est positif. Nous devons donc , à ce stade, diviser par le nombre

positif . Il n"y a aucun problème. x£ 3 2 Pour une meilleure lecture, nous écrirons l"inconnue x en tête. Nous avons donc : 3

2³x

Nous retrouvons le même ensemble de solutions.

Remarque :

Changer l"écriture x£ 3

2 en 3

2³x n"est pas un changement de sens de l"inégalité ( la pointe du symbole

d"inégalité est, dans les deux cas, dirigée vers 3

2 ). Si 3

2 est inférieur ou égal à x, alors x est supérieur

ou égal à 3 2.

Représentation graphique :

0,66 3

2» ? Résoudre l"inéquation 2( 3x - 1 ) £ 2 ( x + 1 )

Résolution :

Nous obtenons successivement :

2( 3 x - 1 ) £ 2 ( x + 1 ) 6 x - 2 £ 2x + 2 6 x - 2x £ 2 + 2 4 x £ 4 x £4

4 ( 4 est positif )

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