CARRÉS
Si on le découpe en deux nombres. 4 et 9 on obtient deux carrés à un chiffre. 49 est le seul carré à deux chiffres possédant cette particularité. Trouver l'
Nombre pair - Nombre impair
Un nombre pair se termine nécessairement par 0 2
Chapitre 1 – Nombres Relatifs
* Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif. * La distance à 0 du
Racine carrée
Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux. Démonstration. Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b². On a alors a² – b² = 0 soit
Corrigé du test de sélection
a) si n est la somme des carrés de deux entiers naturels consécutifs alors Exercice 3. a) On consid`ere 11 nombres distincts `a deux chiffres. Prouver.
3° FE - Calcul littéral Exercice 1
2) On additionne les carrés de deux nombres entiers consécutifs. Exercice 24 : Khadim fait la proposition suivante : « Pour calculer mentalement le carré d'un
les racines carrées :
bilan si il existait un nombre rationnel dont le carré est 2 on pourrait trouver : deux nombres entiers et tels que : soit divisible par 2 et soit divisible
Démonstrations Les identités remarquables Les compétences
Que représente l'expression 2ab sur la figure ? 2. Soient deux carrés de côté a et b o`u a et b sont deux nombres réels strictement positifs (ici a>b):.
les entiers naturels qui sont somme de deux carres
Est-ce que tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés ? Quels sont les nombres n tels que n = a2 + b2 avec a et b des entiers
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
On a donc x2 = (x1 + x2) ? x1 = p q. ? p q. = pq ? qp qq . Donc x2 s'écrit comme le quotient de deux entiers avec l'entier au dénominateur qui est non- nul
Chapitre 1 - Nombres Relatifs
1- Quelques rappels
a) a est positif se traduit par : a ≥ 0 . b) L'opposé d'un nombre a se note (- a). c) * Si deux nombres sont opposés, alors leur somme est nulle.Pour tout nombre a : a + (- a) = 0 .
* Si la somme de deux nombres est nulle, alors ils sont opposés. Soit deux nombres a et b : si a + b = 0 alors b = - a . d) Soustraire un nombre revient à ajouter l'opposé de ce nombre.Pour tous nombres a et b : a - b = a + (- b)
e) Suppression des parenthèses Soit A un nombre relatif et b la distance à 0 d'un nombre relatif. A + (+ b) = A + b A - (+ b) = A - b A + (- b) = A - b A - (- b) = A + b2- Multiplication
a) Produit de deux nombresPropriété (admise)
* Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.* La distance à 0 du produit de deux nombres est égale au produit des distances à 0 des deux facteurs.
Exemples
* Soit A = (- 4 ) ´ (- 5) A est le produit de deux nombres de même signe donc A est positif. Par ailleurs, la distance à 0 de A est égale à : 4 ´ 5 = 20Par conséquent : A = + 20
* Soit B = (- 6 ) ´ (+ 3) B est le produit de deux nombres de signes contraires donc B est négatif. Par ailleurs, la distance à 0 de B est égale à : 6 ´ 3 = 18Par conséquent : B = - 181
b) Produit de plusieurs nombresPropriété (admise)
* Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif. Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif. * La distance à 0 d'un produit est égale au produit des distances à 0 de ses facteurs.Remarque
Le signe d'un produit ne dépend donc pas du nombre de facteurs positifs.Exemples
* Soit C = (+ 5 ) ´ (- 4) ´ (- 2) ´ (- 1) ´ (+ 2 ) C est un produit qui contient exactement trois facteurs négatifs : il est donc négatif. Par ailleurs, sa distance à 0 est égale à : 5 ´ 4 ´ 2 ´ 1 ´ 2 = 80 .Par conséquent : C = - 80
* Soit D = (- 2 ) ´ (- 1) ´ (- 3) ´ (- 1) ´ (+ 10 ) D est un produit qui contient exactement quatre facteurs négatifs : il est donc positif. Par ailleurs, sa distance à 0 est égale à : 2 ´ 1 ´ 3 ´ 1 ´ 10 = 60 .Par conséquent : D = + 60
c) Carré d'un nombrePropriété
Le carré d'un nombre relatif est toujours positif.Démonstration
Soit a un nombre relatif.
Son carré est : a² = a ´ a , produit de deux nombres égaux donc de même signe. Or le produit de deux nombres de même signe est positif.Donc a² est positif. CQFD !
3- Division
Propriété (admise)
* Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.* La distance à 0 du quotient de deux nombres est égale au quotient des distances à 0 de ces deux
nombres.4 - Expressions Numériques
a) Priorités opératoires * Parenthèses. * Puissances. * Produits et quotients dans l'ordre du calcul. * Sommes et différences dans l'ordre du calcul. b) Propriétés * L'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés.Autrement dit
Pour tout nombre a et tout nombre b : - ( a + b ) = - a - bDémonstration
Soit : A = a + b et B = - a - b .
On calcule : B + A = - a - b + a + b = 0 .
Comme la somme de A et de B est nulle, A et B sont opposés.Par conséquent : B = - A.
Et donc : - a - b = - ( a + b ) CQFD !
* " Multiplier un nombre par ( - 1 ) » revient à " prendre son opposé ».Autrement dit
Pour tout nombre a : ( - 1 ) ´ a = - a
Démonstration
Soit : A = ( - 1 ) ´ a .
On calcule : A + a = ( - 1 ) ´ a + a
Or : a = 1 ´ a
Donc : A + a = ( - 1 ) ´ a + 1 ´ a
En factorisant, on obtient : A + a = ( - 1 + 1 ) ´ a = 0 ´ a = 0 Comme la somme de A et de a est nulle, A et a sont opposés.Par conséquent : A = - a .
Et donc : ( - 1 ) ´ a = - a CQFD !
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