[PDF] HISTOIRE DU DERNIER THEOREME DE FERMAT

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HISTOIRE DU DERNIER

THEOREME DE FERMAT

Hervé Stève,

herve.steve@hotmail.fr

Kafemathdu 16 juillet 2020

À la Coulée Douce, Paris 12ème

2

Sommaire

9Introduction

9Triplets pythagoriciens

9De Fermat à Kummer

9

Bibliographie :

-Arithmetica annotations de Pierre de Fermat publié en 1670 -Modular Elliptic Curves Theorem(1995) Wiles, Annals of Mathematics (109 pages) article enligne -Le dernier théorème de Fermat de Simon Singh (1999) a 3

Le dernier théorème de Fermat :

pas de s xn+ yn= znpour n>2

Estappeléaussi

LegrandthéorèmedeFermat,

LaconjecturedeFermatavantsapreuvepuis

LethéorèmedeFermat-Wilesdepuis1994

Lecasn=0:1+1=1,impossible

Lecasn=1:x+y=z,additiondesentiers

a 4

Chronologie de la preuve

Pierre de Fermat pose le problème, ). Euler(1753)

Gausstermine la

démonstration (1801). démonstrationgénérale régulier ledernierthéorème a 5

Triplets pythagoriciens

Cas n=2 : solutions entières de la relation de

Pythagore x2+ y2= z2, z diagonale ou hypoténuse

Tablette babylonienne Plimpton322 (-1800 a.j.c.)

en cunéiforme de 15 lignes sur 4 colonnes Ex) ligne 1 on lit en base 60 (1:)59:00:15 1:592:491 x=1x60+59=119 , z=2x60+49 -300 a.j.c. Triplets pythagoriciens primitifs (tpp) : x, y, z sont premiers entre eux (pas de diviseurs communs)

Si (x,y,z) tpp

p>q>0 tqx=p²-q² , y=2pq et z=p²+q²

On obtient ainsi une infinité de tpp!

Exemple célèbre) x=3, y=4 et z=5 dit triangle égyptien (1ertpp) respecter les proportions. x yz a 6

Pierre de Fermat

n>2maisnepasécriteparmanquedeplace

Théorèmesurlestrianglesrectangles:

Magistrat (Bordeaux, Toulouse), mathématicien "amateur»

Naissance vers 1605, mort en 1665

Notes publiées par son fils en 1670

a 7

Leonhard Euler

Preuvepar:

44

Mathématicien et physicien suisse

Naissance vers 1707, mort en 1783

Goffineta

8

Carl Friedrich Gauss

x3+y3+z3=0(zen-z) solutionsdansZ(a+jb)etdoncdansZ(b=0)

4Propriétés:

(ii)intègre:xy=0=>x=0ouy=0 -DansZ(=0):seulement2racinesde1et-1 -Lecasn=7aétérésoluparLamé

Mathématicien et astronome allemand

Naissance vers 1777, mort en 1855

a 9

Bilan intermédiaire

restreindrelessolutions pasaussi. nouveauxcas! a 10

Sophie Germain

ThéorèmedeSophieGermain*:

estvraipour:G=3,5,11,23,29,41,53,83,113,

Lethéorèmeàq=2Np+1avecNentier:

1èremathématicienne française, physicienne et philosophe

Naissance 1776, morte en 1831 (cimetière Père Lachaise) (*) théorie des nombres de Legendrea 11

Ernst Kummer

Sk(p)=1k+2k+3k++(p-1)kpourk=2,4,6,,p-3

149,157soit3nombresirréguliers<100!

S10(13)=102769130750nedivisentpas169

Mathématicien allemand

Naissance 1810, mort en 1893

a 12

Conjecture de modularité (STW)

entreetlagéométrie:

Y2=X(X-xn)(X+yn)avecx,yentiers>0.

rationnellesemistablenonmodulaire lien avec Fermat ! Goro

Shimura

1930-2019

Yutaka

Taniyama

1927-1958

André

Weil

1906-1998

a 13

Courbes elliptiques

Équationscubiques(deWeierstrass):

Y²=X3+aX+b

(Loidegroupesurlespoints). cycliquesZ/nZ(thèsededoctoratWiles)

Parexemplepourlacubiquey²+y=x3x²

DansZ,ilpasfaciledetrouvertoutesles

solutions

DansZ/5Z,ontrouve

#E1=1,#E2=4,#E3=4,#E4=8,#E5=4,#E6=16, #E7=9,#E8=16,soitdelacourbeelliptique a 14

Formes modulaires

dessymétriedetranslationsselon2axes laformemodulairesoitdelaformemodulaire a 15

Démonstrations des conjectures

conjecturedeFermatestvraie.

BriandConrad,FredDiamondetRichardTaylor

a 16 aussiremis,leprixAbelen2016 Mathématicien britannique né en 1953 à Cambridge, UK a 17

Conclusion

Unénoncésimpleaudépart!

pendant350ans! faitprogresserlesmathématiques modularitédeJean-PierreSerre) avait-illadémonstration? a 18a

MC Escher

Cercle limite IV ciel enfer

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