[PDF] CORRIG´ES DES EXERCICES 2. CORRIGÉS DES EXERCICES. (

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Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page iCORRIG ´E S DES

EXERCICES

1 Notions pr´eliminaires I : Alg`ebre ´el´ementaire1

2 Notions pr´eliminaires II :

´Equations10

3 Notions pr´eliminaires III : Divers14

4 Les fonctions d"une variable20

5 Les propri´et´es des fonctions30

6 La d´erivation35

7 Les d´eriv´ees en action44

8 Optimisation `a une variable56

9 Int´egration65

10 Sujets d"´economie financi`ere83

11 Les fonctions de plusieurs variables89

12 Outils de statique comparative97

13 Optimisation `a plusieurs variables111

14 L"optimisation sous contraintes122

15 Alg`ebre des matrices et des vecteurs136

16 D´eterminants et matrices inverses144

17 Les programmes lin´eaires154© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page ii© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 1CORRIG ´E S DES

EXERCICES

Chapitre 1 / Notions pr´eliminaires I : Alg`ebre ´el´ementaire 1 .1 1.( a) Vrai. (b) Faux,?5 ´etant inf´erieur `a?3, il est `a gauche de?3 sur la droite des nombres. (c) Faux,?13 est un entier, mais pas un entier naturel. (d) Vrai.Tout entier naturel est rationnel. Par exemple, 5 = 5 1. (e) Faux, car 3

1415 = 31415

10000, le quotient de deux entiers (3

1415 n"est qu"une

approximation de?). (f) Faux. Contre-exemple :p2 + (?p2) = 0. g) Vrai. (h) Vrai.

2.Il n"y a manifestement pas de suite finie de chiffres qui se r´ep`ete continuellement

puisqu"un 0 suppl´ementaire est ajout´e entre deux 1 successifs : 1

01001000100001000001:::

1.2 1.( a) 10 3= 10?10?10 = 1000 (b) (?0;3)2= 0;09 (c) 4

2= 1=16

(d) (0;1)?1= 1=0;1 = 10

2.(a) 4 = 22

(b) 1 = 2

0© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 22C

OR RIG´ES DES EXERCICES

(c) 64 = 2 6 (d) 1

16 = 2

4

3.(a) 153

(b)??13 3 (c) 10?1 (d) 10 7 (e)t6 (f) (a?b)3 (g)a2b4 (h) (?a)3

4.(a) 25?25= 25+5= 210

(b) 3

8?3?2?3?3= 38?2?3= 33

(c) (2x)3= 23x3= 8x3 (d) (?3xy2)3= (?3)3x3(y2)3=?27x3y6

5.(a)p24p3p

4p=p24+3?4?1=p22

(b) a4b?3(a2b?3)2=a4b?3a

4b?6=a4?4b?3?(?6)=b3

c)

34(32)6(?3

) 1537=34312?3

1537=?3?6

d) p?(pq)?p

2?+?q??2=p??q2

6 .(a) 26= 64 (b) 64=27 (c) 8 3 (d)x9 (e)y12 (f) 8 x 3y3 (g) 10

2= 1=100

(h)k4 (i) (x+ 1)2

7.(a) Comme 4?(3r)2= 4?32r2= 9(4?r2), la surface de la sph`ere est amplifi´ee d"un

facteur 9. (b) Quand le rayonraugmente de 16 %, cela veut dire querest multipli´e par le facteur 1,16 etr2par le facteur (1;16)2= 1;3456. La surface augmente de 34;56 %.

8.(a) Faux.a0= 1.

(b) Vrai.c?n= 1=cnpour toutc6= 0. (c) Vrai.am?am=am+m=a2m. (d) Faux (sauf sim= 0 ouab= 1).ambm= (ab)m. (e) Faux (sauf sim= 1). Par exemple, (a+b)2est ´egal `aa2+ 2ab+b2.

(f) Faux (saufsiambn= 1). Par exemple,a2b3n"estpas ´egal `a(ab)2+3= (ab)5=a5b5:© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 3CHAPITRE 1 / Notions pr´eliminaires I : Alg`ebre ´el´ementaire3

9.(a)x3y3= (xy)3= 33= 27

(b) (ab)4= (?2)4= 16 (c) (a8)0= 1 pour touta6= 0. (d) (?1)2n= [(?1)2]n= 1n= 1

10.(a) 150?0;13 = 19;5

(b) 2400?0;06 = 144 (c) 200?0;055 = 11

11.1;50 meilleur march´e, ce qui est 15 % de 10.

12.(a) Un investissement initial de 50es"il est plac´e `a un taux d"int´erˆet de 11% l"an,

pendant 8 ann´ees, devient 50?(1;11)8?115;23e. (b) Un investissement initial de 10000eplac´es `a 12 % l"an, pendant 20 ans, devient

10000?(1;12)20?96462;93e.

(c) 5000?(1;07)?10?2541;75eest le montant que vous auriez dˆu investir il y a

10 ans pour avoir 5000eaujourd"hui, si le taux d"int´erˆet est rest´e constant `a 7 %.

13.(a) 12000?(1;04)15?21611;32

(b) 50000?(1;06)?5?37362;91

14.p?95,3%, puisque (1;25)3= 1;9531.

1.3 1.( a) 1 (b) 6 (c)?18 (d)?18 (e) 3 x+ 12 (f) 45 x?27y (g) 3 (h) 0 (i)?1

2.(a) 3a2?5b

(b)?2x2+ 3x+ 4y (c)t (d) 2r3?6r2s+ 2s3

3.(a)?3n2+ 6n?9

(b)x5+x2 (c) 4n2?11n+ 6 (d)?18a3b3+ 30a3b2 (e)a3b?ab3 (f)x3?6x2y+ 11xy2?6y3

4.(a)acx2+ (ad+bc)x+bd

(b) 4?t4

(c) [(u?v)(u+v)]2= (u2?v2)2=u4?2u2v2+v4© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 44C

OR RIG´ES DES EXERCICES

5.(a) (2t?1)(t2?2t+ 1) = 2t(t2?2t+ 1)?(t2?2t+ 1)

= 2t3?4t2+ 2t?t2+ 2t?1 = 2t3?5t2+ 4t?1 (b) (a+1)2+(a?1)2?2(a+1)(a?1) =a2+2a+1+a2?2a+1?2a2+2 = 4. Sinon, on applique l"identit´e du deuxi`eme degr´ex2+y2?2xy= (x?y)2avecx=a+ 1 et y=a?1etonobtient(a+1)2+(a?1)2?2(a+1)(a?1) = [(a+1)?(a?1)]2= 22= 4. (c) (x+y+z)2= (x+y+z)(x+y+z) =x(x+y+z) +y(x+y+z) +z(x+y+z) =x2+xy+xz+yx+y2+yz+zx+zy+z2 =x2+y2+z2+ 2xy+ 2xz+ 2yz (d) Aveca=x+y+zetb=x?y?z, (x+y+z)2?(x?y?z)2=a2?b2= (a+b)(a?b) = 2x(2y+ 2z) = 4x(y+z):

6.(a)x2+ 4xy+ 4y2

(b) 1 =x

2?2 +x2

(c) 9 u

2?30uv+ 25v2

(d) 4z2?25w2

7.(a) 2012?1992= (201 + 199)(201?199) = 400?2 = 800

(b)u2?4u+ 4 = (u?2)2= 1 de sorte queu?2 =1 etu= 1 ouu= 3. (c) (a+ 1)2?(a?1)2(b+

1) 2?(b?1)2=a2+ 2a+ 1?(a2?2a+ 1)b

2+2 b+ 1?(b2?2b+ 1)=4a4b=ab

8

10002(252

2?2

48 2)=10002(252 + 248)(252?248)=10002500?4=500

9.(a) (a+b)3= (a+b)2(a+b) = (a2+ 2ab+b2)(a+b) =a3+ 3a2b+ 3ab2+b3

(b) (a?b)3= (a?b)2(a?b) = (a2?2ab+b2)(a?b) =a3?3a2b+ 3ab2?b3 (c) et (d) : D´evelopper les membres de droite.

10.(a) 3?7?xxyyy

(b) 3(x?3y+ 9z) (c)aa(a?b) (d) 2?2?2xy(xy?2)

11.(a) 2?2?7aabbb

(b) 2?2(x+ 2y?6z) (c) 2x(x?3y) (d) 2aabb(3a+ 2b) (e) 7 x(x?7y) (f) 5 xyy(1?3x)(1 + 3x) (g) (4 +b)(4?b) (h) 3(x+ 2)(x?2)

12.(a) (x?2)(x?2)

(b) 2?2ts(t?2s) (c) 2?2(2a+b)(2a+b) (d) 5 x(x+p2y)

( x?p2y)© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 5CHAPITRE 1 / Notions pr´eliminaires I : Alg`ebre ´el´ementaire5

13.(a)a2+ 4ab+ 4b2= (a+ 2b)2par l"identit´e du second degr´e.

(b)KL(K?L) (c)K?5(K?L) (d) 9 z

2?16w2= (3z?4w)(3z+4w), selon la formule de la diff´erence de deux carr´es.

(e)?15 x2+2xy?5y2=?15 (x2?10xy+ 25y2) =?15 (x?5y)2 (f)a4?b4= (a2?b2)(a2+b2), grˆace `a la formule de la diff´erence de deux carr´es.

Commea2?b2= (a?b)(a+b),a4?b4= (a?b)(a+b)(a2+b2).

14.(a) (5 +a)(x+y)

(b)u2?v2+ 3(u+v) = (u+v)(u?v) + 3(u+v) = (u+v)(u?v+ 3) (c) (P+Q)(P2+Q2)

15.(a)KK(K?L)

(b)KL(L2+ 1) (c) (L+K)(L?K) (d) (K?L)(K?L) (e)KL(K?2L)(K?2L) (f)K?6(K3?1) =K?6(K?1)(K2+K+ 1), grˆace `a la formule de l"exercice 9(c). 1.4 1.( a) 2/7 (b) 13/12 (c) 5/24 (d) 2/25 (e) 9/5 (f) 1/2 (g) 1/2 (h) 11/27

2.(a) 3x=2

(b) 3 a= 5 (c) 1/5 (d) 112
(?5x+11) (e)?1=(6b) (f) 1 =b

3.(a)5?5?135?5?5?5=1325

b) ab28c 2 c) 23
(a?b) d)

P(P+Q)(P?Q)(P+Q)2=P(P?Q)P+Q

4 .(a) 1/2 (b) 6

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Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 66C

OR RIG´ES DES EXERCICES

(c) 5/7 (d) 9/2

5.(a)1x?2?1x+

2 =x+ 2(x?2) (x+ 2)?x?2(x+2) (x?2)=x+ 2?x+ 2(x?2) (x+ 2)=4x

2?4 b) Comme4x+2 = 2(2x+1)et4x2?1 = (2x+1)(2x?1), lepluspetitd´enominateur commun est 2(2x+ 1)(2x?1). Ensuite, 6 x+ 254x+

2 ?6x2+x?24x2?1=(6x+ 25)(2x?1)?2(6x2+x?2)2(2x+1) (2x?1)

42x?212(2x+

1) (2x?1)=212(2x+1) :

(c) 18 b2a

2?9b2?aa+

3 b+ 2 =18b2?a(a?3b) + 2(a2?9b2)(a+3 b)(a?3b) a(a+ 3b)(a+ 3 b)(a?3b)=aa?3b d) 18a b ?18b(a+2) =(a+ 2)?a8ab (a+ 2)=28ab (a+ 2)=14ab (a+ 2) (e)

2t?t2t+

2 ??5tt?2?2tt?2?

=t(2?t)t+2 ?3tt?2=?t(t?2)t+2 ?3tt?2=?3t2t+2 (f) a?1?12a?0;2

5 =a?12

1 4 =4a?2, de sorte que

2?a?1?12a?0;2

5 = 2?(4a?2) = 4?4a= 4(1?a):

6.(a)2x

+1x+

1 ?3 =2(x+ 1) +x?3x(x+ 1)x(x+1) =2?3x2x(x+1)

(b) t2t+

1 ?t2t?1=t(2t?1)?t(2t+ 1)(2t+1) (2t?1)=?2t4t2?1

c) 3 xx+

2 ?4x2?x?2x?1(x?2) (x+ 2)=3x(x?2) + 4x(x+ 2)?(2x?1)(x?2) (x+ 2)=7x2+ 1x

2?4 d) 1x +1y 1 xy 1x +1y xy1 xy ?xy=y+x1 =x+y e) 1x 2?1y 21
x 2+1y 2=? 1x 2?1y 2? ?x2y2? 1x 2+1y 2? ?x2y2=y2?x2y 2+x2 f) R´eduire les fractions du num´erateur et du d´enominateur au d´enominateur com-

munxy, puis simplifier.a(y?x)a(y+x)=y?xy+x© 2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous droits réservés

Math´ematiques pour l"´economieMATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49Page 7CHAPITRE 1 / Notions pr´eliminaires I : Alg`ebre ´el´ementaire7

7. 8 xx 2+

2 xy?3y2

8.(a)14

?15 =520 ?420 =120 .De l`a,?14 ?15

2=?120

2=202= 400.

(b)n?n1?1n =n?n?n? 1?1n ?n=n?n2n?1=n(n?1)?n2n?1=?nn?1 c) On poseu=xp?q. Alors

11 +xp?q+11 +xq?p=11 +u+11 + 1=

u =11 +u+u1 +u=1: (d)

1x?1+1x

2?1? (x2?1)? x?2x+ 1 ? (x2?1)=(x+ 1) + 1x

3?x?2x+2

x+ 2(x+

2) (x2?2x+ 1)=1(x?1) 2

(e)

1(x+h)2?1x

2=x2?(x+h)2x

2(x+h)2=?2xh?h2x

2(x+h)2,de sorte que

1(x+h)2?1x

2h =?2x?hx

2(x+h)2:

f) En multipliant num´erateur et d´enominateur parx2?1 = (x+ 1)(x?1), il vient

10x25x(x?1

) =2xx?1:

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