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Intégrales

Vidéo"partie 1. L"intégrale de Riemann

Vidéo"partie 2. Propriétés

Vidéo"partie 3. Primitive

Vidéo"partie 4. Intégration par parties - Changement de variable Vidéo"partie 5. Intégration des fractions rationnelles

Fiche d"exercices‡Calculs d"intégrales

MotivationNous allons introduire l"intégrale à l"aide d"un exemple. Considérons la fonction exponentiellef(x) =ex. On souhaite

calculer l"aireAen-dessous du graphe defet entre les droites d"équation(x=0),(x=1)et l"axe(Ox).Ay=exxy

011

Nous approchons cette aire par des sommes d"aires des rectangles situés sous la courbe. Plus précisément, soitn>1

un entier; découpons notre intervalle[0,1]à l"aide de la subdivision(0,1n ,2n ,...,in ,,n1n ,1). On considère les " rectangles inférieurs »R i, chacun ayant pour base l"intervallei1n ,in et pour hauteurfi1n e(i1)=n. L"entierivarie de 1 àn. L"aire deR iest " basehauteur » :in i1n e(i1)=n=1n ei1n .y=exxy R 1R 2R 3R 401
42
43

411y=exxy

R 1R 2R 3R 401
42
43
411

INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN2

La somme des aires desR

ise calcule alors comme somme d"une suite géométrique : n X i=1e i1n n =1n n X i=1 e1n i1=1n 1e1n n1e1n =1n e 1n

1e1!n!+1e1.

Pour la limite on a reconnu l"expression du type

ex1x !x!01 (avec icix=1n ).Soit maintenant les " rectangles supérieurs »R+ i, ayant la même basei1n ,in mais la hauteurfin =ei=n. Un calcul similaire montre quePn i=1ein n !e1 lorsquen!+1.

L"aireAde notre région est supérieure à la somme des aires des rectangles inférieurs; et elle est inférieure à la

somme des aires des rectangles supérieurs. Lorsque l"on considère des subdivisions de plus en plus petites (c"est-à-dire

lorsque l"on fait tendrenvers+1) alors on obtient à la limite que l"aireAde notre région est encadrée par deux

aires qui tendent verse1. Donc l"aire de notre région estA=e1.y=exxy 1

01n=10

Voici le plan de lecture conseillé pour ce chapitre : il est tout d"abord nécessaire de bien comprendre comment est

définie l"intégrale et quelles sont ses principales propriétés (parties??et??). Mais il est important d"arriver rapidement

à savoir calculer des intégrales : à l"aide de primitives ou par les deux outils efficaces que sont l"intégration par parties

et le changement de variable.

Dans un premier temps on peut lire les sections??,??puis??,??,??, avant de s"attarder longuement sur les parties

??,??. Lors d"une seconde lecture, revenez sur la construction de l"intégrale et les preuves.

Dans ce chapitre on s"autorisera (abusivement) une confusion entre une fonctionfet son expressionf(x). Par

exemple on écrira "une primitive de la fonctionsinxestcosx» au lieu "une primitive de la fonctionx7!sinxest

x7! cosx».

1. L"intégrale de Riemann

Nous allons reprendre la construction faite dans l"introduction pour une fonctionfquelconque. Ce qui va remplacer

les rectangles seront desfonctions en escalier. Si la limite des aires en-dessous égale la limite des aires au-dessus on

appelle cette limite communel"intégraledefque l"on noteRb af(x)dx. Cependant il n"est pas toujours vrai que ces

limites soient égales, l"intégrale n"est donc définie que pour les fonctionsintégrables. Heureusement nous verrons que

si la fonctionfest continue alors elle est intégrable.

INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN3y=f(x)xy

y=f(x)ab

1.1. Intégrale d"une fonction en escalier

Définition 1.Soit[a,b]un intervalle fermé borné deR(1 suite finie, strictement croissante, de nombresS= (x0,x1,...,xn)telle quex0=aetxn=b. Autrement dit a=x0Définition 2.

Une fonctionf:[a,b]!Rest unefonction en escaliers"il existe une subdivision(x0,x1,...,xn)et des nombres

réelsc1,...,cntels que pour touti2 f1,...,ngon ait

8x2]xi1,xi[f(x) =ciAutrement ditfest une fonction constante sur chacun des sous-intervalles de la subdivision.

Remarque.

La valeur defaux pointsxide la subdivision n"est pas imposée. Elle peut être égale à celle de l"intervalle qui précède

ou de celui qui suit, ou encore une autre valeur arbitraire. Cela n"a pas d"importance car l"aire ne changera pas.xy

0 x 0c 1x 1c 2x 2c 3x 3c 4x 4c 5x 5c 6x 6c 7x

7Définition 3.

Pour une fonction en escalier comme ci-dessus, sonintégraleest le réelRb af(x)dxdéfini par

INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN4Z

b a f(x)dx=n X i=1c

i(xixi1)Remarque.Notez que chaque termeci(xixi1)est l"aire du rectangle compris entre les abscissesxi1etxiet de hauteurci. Il

faut juste prendre garde que l"on compte l"aire avec un signe "+» sici>0 et un signe "» sici<0.

L"intégrale d"une fonction en escalier est l"aire de la partie située au-dessus de l"axe des abscisses (ici en rouge) moins

l"aire de la partie située en-dessous (en bleu). L"intégrale d"une fonction en escalier est bien un nombre réel qui mesure

l"aire algébrique (c"est-à-dire avec signe) entre la courbe defet l"axe des abscisses.

1.2. Fonction intégrable

Rappelons qu"une fonctionf:[a,b]!Restbornées"il existeM>0 tel que :

8x2[a,b]M6f(x)6M.

Rappelons aussi que si l"on a deux fonctionsf,g:[a,b]!R, alors on note f6g() 8x2[a,b]f(x)6g(x).

On suppose à présent quef:[a,b]!Rest une fonction bornée quelconque. On définit deux nombres réels :

I (f) =sup¨ Zb a (x)dxjen escalier et6f" I +(f) =inf¨ Zb a (x)dxjen escalier et>f"xy >f6faby=f(x)

PourI(f)on prend toutes les fonctions en escalier (avec toutes les subdivisions possibles) qui restent inférieures àf.

On prend l"aire la plus grande parmi toutes ces fonctions en escalier, comme on n"est pas sûr que ce maximum existe

on prend la borne supérieure. PourI+(f)c"est le même principe mais les fonctions en escalier sont supérieures àfet

on cherche l"aire la plus petite possible.

Il est intuitif que l"on a :Proposition 1.

I (f)6I+(f).Les preuves sont reportées en fin de section.

Définition 4.

Une fonction bornéef:[a,b]!Rest diteintégrable(au sens de Riemann) siI(f) =I+(f). On appelle alors

ce nombrel"intégrale de Riemanndefsur[a,b]et on le noteRb af(x)dx.

INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN5

Exemple 1.

•Les fonctions en escalier sont intégrables! En effet sifest une fonction en escalier alors la borne inférieureI(f)

et supérieureI+(f)sont atteintes avec la fonction=f. Bien sûr l"intégraleRb af(x)dxcoïncide avec l"intégrale de la fonction en escalier définie lors du paragraphe??.

Nous verrons dans la section suivante que les fonctions continues et les fonctions monotones sont intégrables.

Cependant toutes les fonctions ne sont pas intégrables. La fonctionf:[0,1]!Rdéfinie parf(x) =1sixest

rationnel etf(x) =0sinon, n"est pas intégrable sur[0,1]. Convainquez-vous que siest une fonction en escalier

avec6falors60et que si>falors>1. On en déduit queI(f) =0etI+(f) =1. Les bornes inférieure et supérieure ne coïncident pas, doncfn"est pas intégrable.xy 1 01

Il n"est pas si facile de calculer des exemples avec la définition. Nous avons vu l"exemple de la fonction exponentielle

dans l"introduction où nous avions en fait montré queR1

0exdx=e1. Nous allons voir maintenant l"exemple

de la fonctionf(x) =x2. Plus tard nous verrons que les primitives permettent de calculer simplement beaucoup

d"intégrales.

Exemple 2.

Soitf:[0,1]!R,f(x) =x2. Montrons qu"elle est intégrable et calculonsR1

0f(x)dx.y=x2xy

1

01n=5Soitn>1 et considérons la subdivision régulière de[0,1]suivanteS=0,1n

,2n ,...,in ,...,n1n ,1.

Sur l"intervallei1n

,in nous avons

8x2i1n

,in i1n

26x26in

2. Nous construisons une fonction en escalieren-dessous defpar(x) =(i1)2n

2six2i1n

,in (pour chaque

i=1,...,n) et(1) =1. De même nous construisons une fonction en escalier+au-dessus defdéfinie par

+(x) =i2n

2six2i1n

,in (pour chaquei=1,...,n) et+(1) =1.et+sont des fonctions en escalier et l"on a 6f6+. L"intégrale de la fonction en escalier+est par définitionZ 1 0 +(x)dx=n X i=1i 2n in i1n =n X i=1i 2n 21n
=1n 3n X i=1i 2.

On se souvient de la formule

Pn i=1i2=n(n+1)(2n+1)6 , et donc Z 1 0 +(x)dx=n(n+1)(2n+1)6n3=(n+1)(2n+1)6n2

INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN6

De même pour la fonction:

Z 1 0 (x)dx=n X i=1(i1)2n 21n
=1n 3n1X j=1j

2=(n1)n(2n1)6n3=(n1)(2n1)6n2MaintenantI(f)est la borne supérieure sur toutes les fonctions en escalier inférieures àfdonc en particulier

I(f)>R1

0(x)dx. De mêmeI+(f)6R1

0+(x)dx. En résumé :

(n1)(2n1)6n2=Z 1 0 (x)dx6I(f)6I+(f)6Z 1 0 +(x)dx=(n+1)(2n+1)6n2.

Lorsque l"on fait tendrenvers+1alors les deux extrémités tendent vers13. On en déduit queI(f) =I+(f) =13.

Ainsifest intégrable etR1

0x2dx=13

1.3. Premières propriétésProposition 2.

1.

Sif:[a,b]!Rest intégrable et si l"on change les valeurs defen un nombre fini de points de[a,b]alors la

fonction f est toujours intégrable et la valeur de l"intégraleRb af(x)dx ne change pas. 2.

Si f :[a,b]!Rest intégrable alors la restriction de f à tout intervalle[a0,b0][a,b]est encore intégrable.1.4. Les fonctions continues sont intégrables

Voici le résultat théorique le plus important de ce chapitre.Théorème 1. Si f:[a,b]!Rest continue alors f est intégrable.

La preuve sera vue plus loin mais l"idée est que les fonctions continues peuvent être approchées d"aussi près que l"on

veut par des fonctions en escalier, tout en gardant un contrôle d"erreur uniforme sur l"intervalle.

Une fonctionf:[a,b]!Rest ditecontinue par morceauxs"il existe un entiernet une subdivision(x0,...,xn)

telle quefj]xi1,xi[soit continue, admette une limite finie à droite enxi1et une limite à gauche enxipour tout

i2 f1,...,ng.xy

Corollaire 1.

Les fonctions continues par morceaux sont intégrables.

Voici un résultat qui prouve que l"on peut aussi intégrer des fonctions qui ne sont pas continues à condition que la

fonction soit croissante (ou décroissante).Théorème 2. Si f:[a,b]!Rest monotone alors f est intégrable.

INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN7

1.5. Les preuvesLes preuves peuvent être sautées lors d"une première lecture. Les démonstrations demandent une bonne maîtrise des

bornes sup et inf et donc des " epsilons ». La proposition??se prouve en manipulant les " epsilons ». Pour la preuve

de la proposition??: on prouve d"abord les propriétés pour les fonctions en escalier et on en déduit qu"elles restent

vraies pour les fonctions intégrables (cette technique sera développée en détails dans la partie suivante).

Le théorème??établit que les fonctions continues sont intégrables. Nous allons démontrer une version affaiblie de ce

résultat. Rappelons quefest dite declasseC1sifest continue, dérivable etf0est aussi continue.Théorème 3(Théorème??faible).

Si f:[a,b]!Rest de classeC1alors f est intégrable.Démonstration. Commefest de classeC1alorsf0est une fonction continue sur l"intervalle fermé et borné[a,b];f0 est donc une fonction bornée : il existeM>0 tel que pour toutx2[a,b]on aitjf0(x)j6M. Nous allons utiliser l"inégalité des accroissements finis :

8x,y2[a,b]jf(x)f(y)j6Mjxyj. (?)

Soit >0 et soit(x0,x1,...,xn)une subdivision de[a,b]vérifiant pour touti=1,...,n:

0

Nous allons construire deux fonctions en escalier,+:[a,b]!Rdéfinies de la façon suivante : pour chaque

i=1,...,net chaquex2[xi1,xi[on pose c i=(x) =inf t2[xi1,xi[f(t)etdi=+(x) =sup t2[xi1,xi[f(t) et aussi(b) =+(b) =f(b).et+sont bien deux fonctions en escalier (elles sont constantes sur chaque intervalle[xi1,xi[).y=f(x)xy c id ix i1x iDe plus par construction on a bien6f6+et donc Z b a (x)dx6I(f)6I+(f)6Z b a +(x)dx.

En utilisant la continuité defsur l"intervalle[xi1,xi], on déduit l"existence deai,bi2[xi1,xi]tels quef(ai) =ci

etf(bi) =di. Avec (??) et (??) on sait quedici=f(bi)f(ai)6Mjbiaij6M(xixi1)6M(pour tout i=1,...,n). AlorsZb a +(x)dxZ b a (x)dx6n X i=1M(xixi1) =M(ba) Ainsi06I+(f)I(f)6M(ba)et lorsque l"on fait tendre!0on trouveI+(f) =I(f), ce qui prouve quef

est intégrable.La preuve du théorème??est du même style et nous l"omettons.Mini-exercices.

1. Soitf:[1,4]!Rdéfinie parf(x) =1six2[1,2[,f(x) =3six2[2,3[etf(x) =1six2[3,4]. CalculerR2

1f(x)dx,R3

1f(x)dx,R4

1f(x)dx,R

32

1f(x)dx,R

72
32
f(x)dx. 2.

Montrer que

R1

0x dx=12

(prendre une subdivision régulière et utiliserPn i=1i=n(n+1)2 3. Montrer que sifest une fonction intégrable etpairesur l"intervalle[a,a]alorsRa af(x)dx=2Ra

0f(x)dx

INTÉGRALES2. PROPRIÉTÉS DE L"INTÉGRALE8(on prendra une subdivision symétrique par rapport à l"origine).

4. Montrer que si fest une fonction intégrable etimpairesur l"intervalle[a,a]alorsRa af(x)dx=0. 5.

Montrer que toute fonction monotone est intégrable en s"inspirant de la preuve du théorème ??.2. Propriétés de l"intégrale

Les trois principales propriétés de l"intégrale sont la relation de Chasles, la positivité et la linéarité.

2.1. Relation de ChaslesProposition 3(Relation de Chasles).

Soient aProposition 4(Positivité de l"intégrale).

Soit a6b deux réels et f et g deux fonctions intégrables sur[a,b].Si f6g alorsZ b a f(x)dx6Z b a g(x)dxEn particulier l"intégrale d"une fonction positive est positive :

Sif>0 alorsZ

b a f(x)dx>02.3. Linéarité de l"intégrale

Proposition 5.

Soient f,g deux fonctions intégrables sur[a,b]. 1. f +g est une fonction intégrable etRb a(f+g)(x)dx=Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. 2.

P ourtout réel ,f est intégrable et on aRb

af(x)dx=Rb af(x)dx. Par ces deux premiers points nous avons lalinéarité de l"intégrale: pour tous réels,Z b a f(x)+g(x)dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx3.f g est une fonction intégrable sur[a,b]mais en généralRb a(f g)(x)dx6=Rb af(x)dxRb ag(x)dx. INTÉGRALES2. PROPRIÉTÉS DE L"INTÉGRALE94.jfjest une fonction intégrable sur[a,b]et Z b a f(x)dx 6Z b a f(x)dxExemple 3. Z 1 0

7x2exdx=7Z

1 0 x2dxZ 1 0 exdx=713 (e1) =103 e Nous avons utilisé les calculs déjà vus : R1

0x2dx=13

etR1quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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