[PDF] Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY

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Cours de Calcul stochastique

Master 2IF EVRY

Monique Jeanblanc

Septembre 2006

2

Contents

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Existence d'une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Convergence de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Convergence presque s^ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2() . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3 Processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.4 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.5 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.6 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 Cas Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.2 Cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10.3 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11 Rappels d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

2 LE MOUVEMENT BROWNIEN 23

2.1 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Une notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.6 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.8 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.9 Brownien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3 Modµele de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 INT

3.2.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4 Crochet d'un processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Lemme d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Premiµere forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.5 Application µa la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 49

4.1.5 Exemple : Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 EXEMPLES DE PROCESSUS D'ITO 55

5.2 Modµele de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 De¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.1 Euclidian norm ofn-dimensional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.2 General de¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.3 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.1 Additivity of BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.3 Transition densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.4 Hitting times for Bessel processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.5 Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Cox-Ingersoll-Ross processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.1 CIR processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.2 Transition probabilities for a CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.3 CIR model for spot rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 CHANGEMENT DE PROBABILIT

6.1.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.5 Cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Application aux modµeles ¯nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.2 Arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.3 Hedging methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.4 Arbitrage et mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3.4 Valorisation d'une option sur obligation µa coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Begin at the beginning, and go on till you come to the end. Then, stop.

L. Caroll, Alice's Adventures in Wonderland

6CONTENTS

Chapter 1

dans tout le cours

de Breiman [?], Grimmett et Stirzaker [?], Jacod et Protter [?] ou encore Williams [?]. Voir aussi des

exercices dans [?] ou dans [?].

1.1 Tribu

cet espace. Dans la plupart des cas, la structure de n'a pas de r^ole µa jouer. Par contre, lorsque l'on

(Voir Breiman [?]). On pourra regarder le paragraphe concernant l'existence d'une v.a. (voir ci-dessous)

pour une approche du problµeme. Une tribu (¾-algebra en Anglais) surest une famille de parties de, contenant

Une tribu contient donc l'espace .

Un espace mesurable est un espace muni d'une tribu.

Proposition 1.1.1

Une intersection de tribus est une tribu.

SoitFune tribu. Une sous-tribu deFest une tribuGtelle queG ½ F, soitA2 GimpliqueA2 F.

La plus petite tribu contenant une famille d'ensembles est l'intersection de toutes les tribus qui conti-

Exemple 1.1.1

1 Give us the tools, and we will ¯nish the work. Winston Churchill, February 9, 1941. 7 Soit(;F)et(E;E)deux espaces mesurables. Une applicationfdedansEest dite(F;E)mesurable sif¡1(A)2 F;8A2 E, oµu f

¡1(A)def=f!2jf(!)2Ag:

B application mesurable de(;F)dansIR( donc telle queX¡1(A)2 F;8A2 BIR). Une constante est une v.a. de m^eme qu'une fonction indicatrice d'ensemble de la tribuF.

Proposition 1.1.2

Une v.a.Gmesurable est limite croissante de v.a. du typenX i=1a i11AiavecAi2 G. Une fonction nX i=1a i11AioµuAiest un intervalle. cette famille, on la note¾(A). Elle est l'intersection de toutes les tribus contenantA. contenant les deux tribusF1etF2. La tribu¾(X) est contenue dansF. C'est la plus petite tribu sur rendantXmesurable.

Une v.a.r.XestG-mesurable si¾(X)½ G.

petite tribu contenant les ensemblesfX¡1t(A)gpour toutt2[0;T]etA2 BIR. On la note¾(Xt;t·T). a)P() = 1; b)P([1n=0An) =P1 n=0P(An) pour desAnappartenant µaFdeux µa deux disjoints.

Notation:P(A) =R

AdP=R 11

A(!) = 1 si!2Aet 11A(!) = 0 si! =2A.

July 8, 20069

On aP(A) +P(Ac) = 1 pour toutAappartenant µaF.

SiA½B, alorsP(A)·P(B) etP(B) =P(A) +P(B¡A), oµuB¡A=B\Ac. (resp.An¾An+1), et siA=[nAn(resp.A=\nAn) alorsAappartient µaFetP(A) = limP(An). pour toutA2 C, oµuCest une famille stable par intersection ¯nie et engendrantF. AlorsP=QsurF. (c'est-µa-dire de montrer que siC12 C;C22 C, l'intersectionC1\C2appartient µaC). Un espace (;F;P) est ditcomplets'il contient tous les ensemblesGtels que inffP(F) :F2 F;G½

Fg= 0.

parF(x) =P(X·x).

Af(x)dx. En particulierP(X2[a;b]) =Rb

af(x)dx. Il nous telles queP(X·a) =P(Y·a);8a2IR, alorsXetYont m^eme loi, ce que l'on noteraXloi=Y.

1.3.1 Existence d'une v.a.

P(d!) =1

p

2¼exp¡!2

2 F

X(x) =P(X < x) =Z

11 !¡11 p

2¼exp¡!2

2 d! :

D'o'uXest une v.a. Gaussienne.

espace: soit = que la v.a. soit de loi gaussienne et on poseP=P1P2. Si on souhaite construire une v.a. de loi exponentielle, on choisit =IR+.

XdPque l'on noteE(X) ou

E XdP=R

IRxdPX(x).

XdP

E(©(X)) =Z

©(X)dP=Z

IR

©(x)dPX(x):

IRxf(x)dxetE(©(X)) =R

IR©(x)f(x)dx.

de la formee¸x;¸2IRpour avoirXloi=Y. fonction

Ã(t) =E(eitX) =Z

IR eitxPX(dx):

IReitxf(x)dx. La fonction car-

f(x) =1

2¼Z

1 ¡1 e¡itxÁ(t)dt

variable. Mais dans ce cas il n'y a pas de formule d'inversion simple. Pour conna^³tre la loi d'un couple

(X;Y), il su±t de conna^³treE(exp(¸X+¹Y)) pourtoutcouple (¸;¹). Lorsque la v.a.Xest positive,

Exemple 1.3.1

Exemple fondamental :SiXest une variable gaussienne de loiN(m;¾2), on a

E(e¸X) = exp(¸m+¸2¾2

2 );8¸2IR

Proposition 1.3.1

c'est µa dire

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y);

©(E(X)).

July 8, 200611

jXij¸ajXijdP!0 quand a! 1.

P(A\B) =P(A)P(B);8A2 F1;8B2 F2:

8A2 C1;8B2 C2oµuCiest une famille stable par intersection telle que¾(Ci) =Fi.

Proposition 1.3.2

PfA\(X·x)g=P(A)P(X·x);8x2IR;8A2 G:

Proposition 1.3.3

E('(X;Y)) =E(f(X)) =E(g(Y));avecf(x) =E('(x;Y)); g(y) =E('(X;y))

Proposition 1.3.4

f(x) = exp(¡¸x) etg(x) = exp(¡¹x) pour tous¸;¹positifs. dire siP(\1·i·nAi) =Q

P(A) = 0()Q(A) = 0:

dQ dP E

Q(Z) =Z

ZdQ=Z ZdQ dP dP=Z

ZY dP=EP(ZY)

On a aussi

dP dQ =1 Y SiYest seulement positive, on aP(A) = 0 =)Q(A) = 0 et on dit queQest absolument continue par rapport µaP.

Exemple 1.3.2

P(U= 0) = 1¡p; P(U= 1) =p:

SoitdQ=Y dP, on aQ(U= 1) =¸p. SousQ,Uest une variable de Bernoulli de paramµetre¸p.

2. SiXest une v.a. de loiN(m;¾2) sousPet soitY= expfh(X¡m)¡1

2 h2¾2g. SoitdQ=Y dP.

SousQ,Xest une v.a. de loiN(m+h¾2;¾2).

exp[¸(m+h¾2) +¸2¾2 2

3. SoitXest un vecteur gaussien sousPetUune variable telle que le vecteur (X;U) soit gaussien.

On posedQ=Y dPavecY= exp(U¡EP(U)¡1

2

VarPU), le vecteurXest gaussien sousQ, de m^eme

covariance que sousP.

1.4 Variables gaussiennes

N(m;¾2)(x) =1

p

2¼exp¡(x¡m)2

2¾2:

On considµere qu'une v.a. constante suit une loi gaussienne de variance nulle, ce qui correspond µa une

IR f(x)±a(dx) = i=1aiXi

¡ = [¾i;j]i=1;n;j=1;n

Proposition 1.4.1

exp(¸m+¸2¾2 2 2 ), la variableXest de loiN(m;¾2).

1.5 Convergence de v.a.

On distingue plusieurs types de convergence:

2

July 8, 200613

1.5.1 Convergence presque s^ure

X n(!)!X(!) quandn! 1:

On noteXnp:s:!X

X nQ:p:s:!X. X n+1) et siX= limp:s:Xn, on aE(X) = limE(Xn) . 1 n P n i=1Xiconverge p.s. versE(X1).

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2()

On notekXk2def=s

Z

X2dP=p

L

2()) versXsi

(kXn¡Xk2)2=E(Xn¡X)2!0 quandn! 1: L'espaceL2() est un espace de Hilbert muni du produit scalairehX;Yi=R

XY dP. En parti-

culier, il est complet. Si une suite converge dansL2, il existe une sous-suite qui converge p.s. de variance ¯nie , 1 n P n i=1Xiconverge en moyenne quadratique versE(X1).

Si une suite de v.a. gaussiennes converge en moyenne quadratique, la limite est une variable gaussienne.

jXjpdP=E(jXjp). On L pconverge s'il existeXtel queE(Xn¡X)p!0. La convergence dansLppourp >1 implique la convergence dansLqpour toutq;1< q < p.

8² >0P(jXn¡Xj ¸²)!0 quandn! 1:

On noteXnP!X.

1.5.4 Convergence en loi

celle deX. P n i=1Xi¡nE(X1) p n

L!N(0;1):

1.6 Processus stochastiques

1.6.1 Filtration

dans une tribuFt, c'est l'information µa la datet. Une ¯ltration est une famille croissante de sous tribus deF, c'est-µa-dire telle que F t½ Fspour toutt·s.

On parle d'hypothµeses habituelles si

- La ¯ltration est continue µa droite au sens oµuFt=\s>tFs. Une ¯ltrationGest dite plus grosse queFsiFt½ Gt;8t.

1.6.2 Processus

F t) siXtestFt-mesurable pour toutt.

On dit que le processus est µa trajectoires continues (ou est continu) si les applicationst!Xt(!)sont

continues pour presque tout!.

Un processus est dit cµadlµag (continu µa droite, pourvu de limites µa gauche) si ses trajectoires sont

A un processus stochastiqueXon associe sa ¯ltration naturelleFXt, c'est µa dire la famille croissante

de tribusFXt=¾fXs;s·tg. par les rectangles de la forme ]s;t]£A;0·s·t; A2 Fs: (Yt1;Yt2;:::;Ytn). 3

July 8, 200615

1.6.3 Processus croissant

Un processusA= (At; t¸0) est un processus croissant siA0= 0 ett!Atest une fonction croissante, c'est-µa-dire A t(!)·As(!);8t·s;p:s: Sauf mention du contraire, les processus croissants sont pris continus µa droite. sup t iX ijVti+1¡Vtij ·K ; Un processusV= (Vt; t¸0) est dit µavariation ¯niesur [0;t] si sup t iX ijVti+1¡Vtij<1;

1.6.4 Processus Gaussiens

gaussienne, c'est-µa-dire si

8n;8ti;1·i·n;8ai;nX

i=1a iXtiest une v.a.r. gaussienne:

1.7.1 Cas discret

deAquandBparP(AjB) =P(A\B)

P(B), pour toutBtel queP(B)6= 0.

E

Q(X) =X

jx jQ(X=xj) =X jx jP(X=xj\B) P(B): B11X=xjdP(oµu 11X=xjest la fonction qui vaut 1 si!2(X=xj) c'est-µa-dire siX(!) =xj) et en remarquant queP jxj11X=xj=Xon a : X jx jP(X=xj\B)

P(B)=1

P(B)Z B XdP; B E

Q(X)dP=EQ(X)P(B) =Z

B XdP: Z D

E(XjB)dP=Z

D XdP

B-mesurable.

SoientXetYdeux v.a. µa valeurs dans (x1;x2;:::;xn) (resp (y1;:::;yd)), telles que8i;P(Y=yi)6= 0.

E(XjY=yi) =X

jx jP(X=xjjY=yi) =X jx j¹(xj;yi) =1

P(Y=yi)Z

Y=yiXdP:

X iP(Y=yi)E(XjY=yi) =X iP(Y=yi)ª(yi) =E(ª(Y)) =E(E(XjY)) =E(X) a) ª(Y) estY-mesurable, b)E(©(Y)X) =E(©(Y)ª(Y)) pour toute fonction ©. yi:) a.G-mesurable b. telle queR

AE(XjG)dP=R

AXdP;8A2 G.

E[E(XjG)Y] =E(XY)

E[(X¡Y)2] parmi les v.a.Y,Gmesurables.

a) c'est une variable¾(Y) mesurablequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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