Une introduction aux fractales
Calculer l'aire du flocon de Koch. c. Conclure. F6. Exercice 2 (Avec l'ordinateur). On voit qu'il peut être fastidieux de tracer le flocon de Koch à la main.
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch. 1. Etude du nombre de côtés a. Faisons un tableau sans donner d'explication. n. 1. 2. 3. 4. Cn. 3. 12. 48. 192.
Le flocon de von Koch se construit de manière récurrente. Partant d
Le flocon de von Koch est le flocon obtenu à la limite de ces opérations. Le but est de calculer son périmètre ainsi que son aire. Fixons quelques notations
Le flocon de neige de Helge von Koch
puis en fonction de n et n déduire e. Le flocon de neige de Helge von Koch.doc. Groupe MathéTIC. 1. 3/10/2004. Page 2. b) Exprimer l'aire d'un triangle
4
Le flocon de Von Koch s'obtient par itération (fractale de type IFS 5) Quel paradoxe relevez-vous de cet exercice ? Comment expliquer que lorsque l'on ...
Deuxième exercice
Deuxième exercice. Série S. Le flocon de von Koch. Énoncé. I - Préliminaires. Dans toute cette partie q est un nombre réel appartenant à ]0
TP5 : Fractales et récursivité (Université de Picardie Jules Verne
Exercice 3 : Flocon de Koch. La construction du flocon de Koch est similaire à celle de l'ensemble de Cantor dans le sens où il s'agit
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Les flocons de Von Koch. PremiQre Partie. Des suites associées aux flocons de Von Koch page 1 / 4. Pour cette étude on décide que le réel 1 est la longueur de
Substitutions courbes fractales et pavages
Exercice 1. Écrivez une fonction word_to_path(Dw) qui renvoie la liste des Le flocon de Koch est une courbe fractale obenue en itérant la transformation :.
Corrigé Devoir Maison 5
Exercice 1 : Le flocon de Koch. 1. Etude du nombre de côtés. 1) C1 est le nombre de segments à la première étape donc C1 = 3 .
Une introduction aux fractales
Exercice 1 (Le flocon de Koch). 1. Procédé itératif de construction. a. Décrire précisément la transformation suivante : //. //.
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch
Etude du périmètre a. Chaque segment de l'étape n+1 a une longueur égale au tiers d'un segment de l'étape n soit . Ainsi
Le flocon de neige de Helge von Koch
puis en fonction de n et n déduire e. Le flocon de neige de Helge von Koch.doc. Groupe MathéTIC. 1. 3/10/2004. Page 2. b) Exprimer l'aire d'un triangle
TP : Le flocon de Von Koch
Le but de ce TP est de tracer cette frise composée de flocons de Von Koch. Exercice 1 : Une branche. Partie A : On va en premier tracer la première partie
Récursivité en Python: TP
Le but de cet exercice est de tracer une ligne brisée qui s'approche de l'objet fractal appelé le Flocon de Von Koch. La figure ci-dessous montre l'étape
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Des suites associées aux flocons de Von Koch page 1 / 4. Pour cette étude on décide que le réel 1 est la longueur de chaque côté du premier flocon et on
Construction géométrique : Flocon de Noël Construction
6) Partage tous les segments de la figure en trois segments de même longueur. Trace à nouveau des triangles équilatéraux comme à l'étape 4.
T.P. dinformatique no 4 CORRIGE
Exercice 1. Exercice 2. ... Le flocon de Von Koch est une célèbre figure fractale obtenue de la façon suivante : à tout segment [A B] orienté.
Informatique TP5 : Interface graphiques et tracés de fractales CPP 1A
Exercice 1 Entrez ceci dans l'interprète Python : >>> from turtle import * 2 Une première courbe fractale : le flocon de von Koch. 2.1 Les fractales.
Année 2007-20081èreSSVT
Corrigé Devoir Maison 5
Exercice 1 :
Le floconde Koch
1. Etude du nombre de côtés
1)C1est le nombre de segments à la première étape doncC1=3 .
D"après la figure du livre on aC2=12 etC3=48 .
A chaque itération chaque segment est transforméen 4 segments par conséquent on a : C4=4×48=192 .
2) A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a, pour tout
entiern:Cn+1=4×Cn. La suite (Cn)n?1est donc géométrique de raison 4. On a ainsi, pour tour entiern:Cn=C1×(4)n-1=3×4n-1.2. Etude du périmètre
1) Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3
segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l"étapen.
On peut donc parler delalongueur d"unsegment à l"étapen.2) La transformationtransforme un segment en 4 segments de longueur1
3du segment originel.
Par conséquent on a, pour tout entiern:un+1=1
3×un.
La suite (un)n?1est ainsi géométriquede raison1 3.On peut donc écrireun=u1×?1
3? n-1 =1×13n-1=13n-1.3) A l"étapenle flocon est composé deCnsegments de longueursun.
On obtient doncPn=Cn×un=3×4n-1×1
3n-1=3×?43?
n-1Ce qui est bien la formule demandée.
4) On nous demande de déterminer,si elle existe, lim
n→+∞Pn.Or (Pn) est une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de premier terme positif par consé-
quent limn→+∞Pn=+∞.3. Etude de l"aire
1) Pour calculerA1il nous faut déterminer la hauteurhdans le triangeéquilatéral de côté 1.
Cettehauteurest aussimédiatricedansce trianglecar il est équilatéral.On peut donc appliquerle
théorèmedePythagoredansletrianglerectangleainsiformé: 12=?1 2? 2 +h2puish2=1-14=34et enfinh=? 3 2.On a ainsiA1=1×h
2=? 3 4.Page 1/3
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2) Par proportionnalité un triangle équilatéral de côtéaa une hauteur de longueura?3
2et donc
comme aire a×a? 3 22=a2×?
3 4.La différenceAn+1-Ancorrespond à l"aire desCntriangleséquilatéraux de côtéun+1par consé-
quent il suit que A n+1-An=Cn×?un+1?2×? 3 4 =3×4n-1×?1 3n? 2 3 4 =3×4n-1×132n×?
3 4 =3×4n-1×?1 32?n 3 4 =3? 3
4×4n-1×19n
3? 34×19×?49?
n-1 312×?49?
n-13) On remarque que la somme (An-An-1)+···+(A2-A1) est une somme télescopique donc on a
3 4. D"après l"expression trouvée deAn+1-Anon voit que la suite?An-An-1?est une suite géomé- trique de raison 49et de premier termeA2-A1=?
3 12. La somme ainsi demandée est donc la somme desn-1 premiers termes de la suite géométrique (An-An-1) :Attention à ne pas se tromper sur les indices, pour être sûr desa valeur on vérifie que pour n=3on
a bien le bon nombre de termes, à savoir 2 qui sont A3-A2et A2-A1, ce qui est le cas.
(An-An-1)+···+(A2-A1)=?312×1-?4
9? n-1 1-49 312×1-?4
9? n-1 5 9 312×95×?
1-?49?
n-1? 3? 3 20?1-?49?
n-1? De ce qui précéde on déduit donc pourn?2 :An-? 3 4=3? 3 20?1-?49?
n-1? et doncAn=? 3 4+3? 3 20?1-?49?
n-1?4) On nous demande de déterminer,si elle existe, lim
n→+∞An.Page 2/3
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Puisque49est compriseentre-1 et 1 on a limn→+∞? 49?n-1 =0 puis,par sommeet produitde limites, limquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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