[PDF] Leçon M2/M3 – Méthodes Comment déterminer les composantes

View - Download Leçon M2/M3 – Méthodes

Previous PDF

Next PDF

Le¸con M2/M3 - M´ethodes

?Comment d´emarrer un probl`eme de m´ecanique? oM´ethode 1.-Toujours commencer, dans l"ordre, par :

•Recopier le sch´ema de l"´enonc´e pour y faire apparaˆıtre les donn´ees du probl`eme.

•D´efinir le syst`emeS(assimil´e `a un point mat´erielMde massem:S={M, m})

•Choisir un r´ef´erentiel d"´etudeR, bien pr´eciser le caract`ere galil´een ou non de

R •Choisir la base de projection adapt´ee au probl`eme (base qui facilite la descrip- tion du mouvement;ÜCfM´ethode 2) •Faire un bilan complet des forces qui s"exercent surS: - forces de contact et interactions `a distances (" forces vraies ») - si le référentiel est non galiléen, ajouter les forces d"inertie d"entraînement et de

Coriolis (ÜCf CoursM8).

Attention!Le poids d"un corps n"existe que dans le r´ef´erentiel terrestre pour lequel la verticale

associ´ee au sol terrestre a un sens.

Il est donc interdit d"introduire le poids dans un autre r´ef´erentiel que le r´ef´erentiel terrestre.

Pour ´eviter cette horrible erreur, il suffit de respecter la d´emarche suivante :

1?Toujours commencer `a d´efinir le r´ef´erentiel dans lequelon ´etudie le syst`emeS

2?Lorsqu"il s"agit du r´ef´erentiel terrestre, faire imm´ediatement le sch´ema du rep`ere cart´esien

(Oxyz) associ´e `aRet y placer le vecteur champ de pesanteur-→g

3?Ce n"est que lorsque-→gapparaˆıt sur le sch´ema `a la suite des ´etapes1?et2?qu"on peut

introduire le poids-→P=m-→gdeS. Sinon, cela n"a pas de sens! ?Comment choisir la base adapt´ee? oM´ethode 2.-Pour choisir une base adapt´ee au probl`eme il faut consid´erer la nature du mouvement ou le point de vue" naturel » du problème; on choisira : • une base cartésienne pour un mouvement rectiligne (cf.Ex-M2.2-3, 6-7, 9) ou balistique (cf.Ex-M2.13-14) • la base polaire pour un mouvement circulaire (cf.Ex-M2.4, 10, DM2, Ex-M3.6,

9, 11)

• la base cylindrique pour un mouvement qui privilégie un axeOz(cf.Ex-M2.12, DL6) Ex1 :Soit un palet assimil´e `a un point mat´erielM de massemdescendant sans vitesse initiale depuis le pointOsur une pente faisant l"angleαavec l"horizontale. On n´eglige les frottements et le r´ef´erentiel li´e au sol (= r´ef´erentiel terrestre) est suppos´e galil´een. On notegl"in- tensit´e du champ de pesanteur terrestre. ©Q :D´eterminerv(t), l"´evolution de sa vitesse au cours du temps. R´ep :•Le syst`emeS={M, m}est ´etudi´e dans le r´ef´erentielRterrestre suppos´e galil´een. ex O A H a xz 0 x 0y M, m R P g a ey

•Il est soumis `a son poids-→P=m-→get `a la r´eaction-→Rde la piste. Comme il n"y a pas de

frottements,-→Rest orthogonale `a la vitesse, donc au mouvement qui a lieu selon l"axeOx.

M2-M3M´ethodes et applications2008-2009

•Puisque-→vM/R=vx-→exet que-→R=Ry-→eyon devine qu"il sera plus facile de travailler dans le

rep`ere (Oxy) que dans le rep`ere (Ox0z0). ÜOn projette donc les forces et leP.F.D.dans la base (-→ex,-→ey).

Comme la verticaleOz0donne la direction de-→Pet queOx0fait un angleαavec-→ex,-→Pfait un

Par ailleurs :-→R=Ry-→ey

•La seconde loi de Newton (P.F.D.) s"´ecrit :m

¨x=mgsinα+0

¨y-mgcosαRy

En projetant cette ´equation vectorielle selon-→ex, et en remarquant que ¨x= vx, on obtient :

mvx=mgsinαd"o`uv(t) =vx(t) =gsinα.t ?Comment d´eterminer les composantes de la r´eaction d"un support solide sur un point mat´eriel? oM´ethode 3.-Apr`es avoir appliqu´e laM´ethode 1: - on projette leP.F.D.dans la base adapt´ee au probl`eme et - on applique les lois deCoulomblorsqu"il y a des frottements solide/solide. zRappel des lois de Coulomb :•Lorsqu"on ´ecrit-→R=-→RN+-→RTavec : RN: lacomposante normale(au support) de la r´eaction-→Rdu support solide sur le point mat´erielM --→RT: lacomposante tangentielle(au support et au vecteur vitesse) de la r´eaction-→R

•Tant que le solide mod´elis´e par le point mat´erielMne glisse pas par rapport au sup-

port : solide/support ´etudi´e. •Lorsque le solideMglisse par rapport au support : ?-→RT?=μD?-→RN?o`uμD=μest le coefficient de frottementdynamique pour le contact solide/support ´etudi´e.

Rq :en toute rigueurμS> μD, mais lorsqu"un ´enonc´e parle d"un seul coefficient de frottement

μ, il s"agit du coefficient de frottement dynamique :μ=μD. Ex2 :On modifie l"exemple pr´ec´edent en supposant, cette fois, que le coefficient de frottementμdu palet contre le plan inclin´e n"est pas nul. ©Q :D´eterminer la r´eaction-→Rdu support en fonction dem,g,μetα. R´ep :On commence par modifier et compl´eter le sch´ema.

CommeRx=- ?-→RT?=-RTetRy=?-→RN?=RN:

O A H a xz 0 x 0y M R P g a RT RN vM La seconde loi de Newton (P.F.D.) s"´ecrit :m¨x=mgsinα+-RT

¨y-mgcosαRN

La projection de cette ´equation vectorielle selon -→exet-→eydonne, puisquey= Cste (soit : ¨y= 0) :?m¨x=mgsinα-RT1?

0 =-mgcosα+RN2?Soit :RN=mgcosα

etRT=μ.RN=μ.mgcosα

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009M´ethodes et applicationsM2-M3

?Comment utiliser les conditions initiales pour d´eterminer les constantes d"int´egration de l"´equation horaires du mouvement? Ex3 :On suppose que dans l"exemple pr´ec´edent,Mest propuls´e, `at= 0, depuis un pointM0 d"abscisseOM0=x0avec la vitesse initialev0. ©Q :En d´eduire la positionOM=x(t) au cours du temps. R´ep :•L"´equation1?devient, apr`es simplification parmet factorisation parg:

¨x=g(sinα-μcosα)

(=Cste : mouvement uniform´ement acc´el´er´e) •L"int´egration de l"acc´el´eration donne la vitesse : v(t) = x(t) =g(sinα-μcosα)t+A(o`uAest une constante `a d´eterminer) Comme x(0) =?v0d"apr`es la 2eConditionInitiale de l"´enonc´e Ad"apr`es le calcul litt´eralon en d´eduitA=v0, soit :v(t) = x(t) =g(sinα-μcosα)t+v0 •L"int´egration de la vitesse donne la position : x(t) =g(sinα-μcosα)t2

2+v0.t+B(o`uBest une constante `a d´eterminer)

Commex(0) =?x0d"apr`es la 1eConditionInitiale de l"´enonc´e Bd"apr`es le calcul litt´eralon en d´eduitB=x0, soit :x(t) =g(sinα-μcosα)t2

2+v0.t+x0

?Comment d´eterminer un coefficient de frottement? oM´ethode 4.-On se place `a la limite de glissement pour laquelle : - le solide est sur le point de quitter sa position d"´equilibre on a encore--→Fext≂=-→0 - le solide commence tout juste de glisser :RT=μ.RN Ex4 :Dans le cas de l"exempleEx2, on suppose que le palet commence `a glisser pourα0= 30◦.

Q :En d´eduire la valeur deμ.

R´ep :S={M, m}est ´etudi´e dans le r´ef´erentielRterrestre suppos´e galil´een n"est soumis qu"`a

son poids et `a la r´eaction du support.

- Au moment o`uMest sur le point que quitter sa position d"´equilibre, on a encore---→aM/R=-→0 .

La 2 eloi de Newton s"´ecrit : -→P+-→R=-→0??mgsinα-RT= 0 -mgcosα+RN= 0??RT=mgsinα R

N=mgcosα

- Comme par ailleurs, le palet commence tout juste de glisser:RT=μ.RN

Soit :μ=RT

RN= tanα0?A.N. :μ= tanπ6= 0,58

?Comment calculer le travail d"une force conservative/d´erivant d"uneEpconnue? oM´ethode 5.-On revient `a la d´efinition d"une force conservative :

δW(-→FC) =-dEp?

WA→B(-→FC) =-ΔEp?WA→B(-→FC) =Ep(A)-Ep(B) Ex5 :Si on reprendEx2avecMse d´epla¸cant deOversA, le travail du poids est : W(-→P) =-ΔEp,g=-(mgz0,A-mgz0,O) soitW(-→P) =mgH (>0 : travail moteur) Rq :Ici,Ep,g(M) = +mgz0,Mcar la verticaleOz0est ascendante (cf. sch´ema, p. 2!) qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

M2-M3M´ethodes et applications2008-2009

?Comment calculer le travail d"une force quelconque? oM´ethode 6.-Pour calculer le travail d"une force quelconque, on revient`a la d´efinition :

WA→B(-→F) =?

B A

δW=?

B

A-→F?d--→OM

(l"expression de la force -→Fou la nature de la trajectoire entreAetBpermettant de savoir dans quelle base exprimer le d´eplacement ´el´ementaire) Ex6 :Si on reprendEx2avecMse d´epla¸cant deOversA, le travail de la r´eaction-→Rest :

W(-→R) =W(-→RN) +W(-→RT) =?

A O R

N-→ey?d--→OM?

=0 car--→RN?d--→OM+? A O -RT-→ex?d--→OM

Soit :W(-→R) =?

A O -μ.mgcosα-→ex?dx.-→ex=? xA

0-μ.mgcosαdx=-μ.mg.xAcosα

CommexA=OA=H

sinα, on peut aussi ´ecrire :W(-→R) =-μ.mg.Hcotanα. ?Quand utiliser le th´eor`eme de l"´energie cin´etique? oM´ethode 7.-On peut appliquer leThm de l"Ek: - lorsque, connaissant la norme de la vitesse d"un point en une positionA, on cherche la norme de sa vitesse enB - lorsqu"on le travail de chacune des forces ext´erieures est facilement calculable. Ex7 :Si on reprendEx2, on peut facilement exprimer la vitesse deMenAen appliquant le

Thm de l"Ekcar :

- la vitesse initiale enOest connue (vO= 0),

- on peut facilement calculer le travail du poids (cf.Ex5) et celui de la r´eaction du support (cf.

Ex6). D"o`u :

ΔEk,O→A=W(--→Fext)?1

2mv2A-12m??v2O=W(-→P) +W(-→R)

On en d´eduit :vA=?

2gH(1-μcotanα)

Rq :Pour quevAexiste, il faut que tanα > μ, soit, d"apr`esEx4:α > α0= 30◦.

?Quand est-il pr´ef´erable d"utiliser plutˆot le th´eor`eme de l"´energie m´ecanique?

oM´ethode 8.-LeThm de l"Emest tr`es utile lorsqu"il n"y a pas de forces dissipatives (pas de frottements). L"application duThm de l"Emconduit alors `a :

δEm=δWNC= 0?

Em= Cte

?L"´energie m´ecanique est uneconstantedu mouvement et le syst`eme est qualifi´e deconservatif. ?La d´erivation temporelle de l"´equationEm= Cte (avecEm=Ek+Ep) donne alors acc`es `a l"´equation du mouvement.

ΔEm,A→B=WNC= 0

?Em(A) =Em(B)?

Ek(A) +Ep(A) =Ek(B) +Ep(B)

Rq :Pour appliquer leThm de l"Emou bien leThm de l"Ekpour un pointM´evoluant entre

un ´etatAet un ´etatB, il faut prendre soin de correctement d´efinir l"´etat initial (position deA,

vitesse deA) et l"´etat final (position deB, vitesse deB).

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009M´ethodes et applicationsM2-M3

Ex8 :On lˆache un point mat´eriel{M,m}de la hauteurhdans le r´ef´erentiel terrestre. On n´eglige

les frottements dˆus `a l"air. ?Comment utiliser le th´eor`eme de l"´energie m´ecanique?

ΔEm=WNCavecWNC=W(-→R)

Comme-→R?-→vM/R(aucun frottements) on a :δW(-→R) =-→R?d--→OM=-→R?---→vM/Rdt= 0, donc :

W

NC= 0.

On en conclut : ΔEm= 0 soit :Em(M) =Em(A) (en l"absence de frottements, l"´energie m´ecanique est constante et le syst`eme est conservatif).

Avec :?????E

m(A) =1

2mv2A+mgzA= 0 +mgh

E m(M) =1

2mv2M+mgzM=12mv2+mga(1-cosθ)

Donc :Em(M) =Em(A)?1

2??mv2+??mga(1-cosθ) =??mgh?v=?2g(h-a(1-cosθ))

qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] réaction du support formule

[PDF] réaction nucléaire uranium

[PDF] réaction nucléaire exercice

[PDF] mots croisés ce1 pdf

[PDF] réaction nucléaire cours

[PDF] hachette

[PDF] mots croisés métiers ? imprimer

[PDF] mots croisés pour débutants

[PDF] mots croisés pour débutants ? imprimer

[PDF] mots croisés faciles québécois

[PDF] mots cachés junior ? imprimer

[PDF] mots croisés 8 ans

[PDF] mots croisés ce2 ? imprimer

[PDF] oxydant définition

[PDF] oxydation définition chimie