[PDF] ANALYSE MATHEMATIQUE Jean SCHMETS

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UNIVERSITE DE LIEGE

Facult´e des Sciences

ANALYSE MATHEMATIQUE

Notes du cours des premiers Bacheliers

en sciences math´ematiques ou en sciences physiques

Jean SCHMETS

Ann´ee acad´emique 2004-2005

ii

Introduction

Ce livre contient la premi`ere partie du cours d"analyse math´ematique que j"enseigne en premi`ere candidature en sciences math´ematiques ou en sciences physiques. La deuxi`eme partie concerne le calcul int´egral et fait l"objet d"un volume s´epar´e. Comme tout cours d"initiation `a l"analyse, il d´eveloppe essentiellement une de- scription de l"espace euclidienRnde dimensionnainsi qu"une ´etude de la continuit´e, de la d´erivabilit´e et de la primitivabilit´e des fonctions, et se termine avec la con-

sid´eration des ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants et de quelques

´equations diff´erentielles ordinaires.

En r´edigeant ces notes, j"ai d´esir´e rencontrer le souhait ´emis par les ´etudiants de

disposer d"un texte proche de la mati`ere enseign´ee. Je n"ai pu cependant m"empˆecher d"y inclure quelques compl´ements th´eoriques (parfois pr´esent´es sous la forme d"exe- rcices). Ces notes sont compl´et´ees par unCahier d"Exercices. C"est la raison pour laquelle elles ne contiennent pas beaucoup d"exemples et exercices, malgr´e l"impor- tance que je leur accorde. Les textes plac´es entre les symboles "? →" et "← ?" font appel `a de la mati`ere ult´erieure et sont `a r´eserver pour une deuxi`eme lecture.

J. Schmets

iv 0. Introduction Quelques rep`eres chronologiques de math´ematiciens cit´es

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900PascalBlaise (1623-1662)

NewtonIsaac (1642-1727)

LeibnizGottfried Wilhelm (1646-1716)

RolleMichel (1652-1719)

BernoulliJacques (1654-1705)

HospitalGuillaume de L" (1661-1704)

De MoivreAbraham (1667-1754)

TaylorBrook (1685-1731)

MaclaurinColin (1698-1746)

EulerLeonhard (1707-1783)

ClairautHermann (1713-1765)

LagrangeJoseph (1736-1813)

LaplacePierre de (1749-1827)

LegendreAdrien-Marie (1752-1833)

GaussCarl-Friedrich (1777-1855)

BolzanoBernhard (1781-1848)

CauchyAugustin (1789-1857)

v

1800 1850 1900 1950 2000AbelNiels (1802-1829)

JacobiCarl (1804-1851)

MorganAugustus De (1806-1871)

HesseOtto (1811-1874)

WeierstrassKarl (1815-1897)

HeineEduard (1821-1881)

RiemannBernhard (1826-1866)

HermiteCharles (1822-1901)

LevyMaurice (1838-1910)

SchroederErnst (1841-1902)

SchwarzHerman (1843-1921)

CantorGeorg (1845-1918)

LorentzHendrick (1853-1928)

PicardEmile (1856-1941)

CesaroE. (1859-1906)

JensenJohann (1859-1925)

H olderLudwig (1859-1937)

MinkowskiHermann (1864-1909)

SteinitzErnst (1871-1928)

BorelEmile (1871-1956)

BernsteinFelix (1878-1956)

HalmosPaul (1914-)

vi 0. Introduction

Chapitre 1

Th´eorie na¨ıve des ensembles

1.1 Introduction

Les processus fondamentaux des math´ematiques sont a) introduire desobjetsditsmath´ematiques, b) d´emontrer que certainesrelationsentre ces objets sont vraies; on dit que ce sont desth´eor`emes. Les objets math´ematiques sont les nombres, les fonctions, les fonctions con- tinues, les fonctions d´erivables, les fonctions int´egrables, ... Les relations sont les assertions (qui peuvent donc ˆetre vraies ou fausses) qu"on peut formuler sur ces objets. Les vraies outh´eor`emessont celles qu"ond´emontre, c"est-`a-dire qu"on peut d´eduire logiquement d"un certain nombre d"axiomes. Les axiomes sont la formula-

tion math´ematique des propri´et´es "´evidentes" des ˆetres auxquels on d´esire appliquer

les math´ematiques. Il ne faut pas voir dans ce qui pr´ec`ede des d´efinitions correctes du point de vue logique mais seulement une introduction imag´ee qui se pr´ecisera au fur et `a mesure des ´etudes. En fait, la logique math´ematique et la th´eorie formelle des ensembles constituent des domaines fort abstraits et demandent de longs d´eveloppements. Il n"est donc pas possible de les voir, en premi`ere candidature, comme introduction `a un cours d"analyse math´ematique. Cependant la logique math´ematique et les propri´et´es de la th´eorie des ensembles sont fondamentales en math´ematiques et tout au long de ce cours, nous allons les utiliser. La m´ethode utilis´ee consiste, si cela est possible, `a introduire les notions de mani`ere d´efinitive et d"en ´etudier les propri´et´es de mani`ere rigoureuse. En cas d"impossibilit´e, le fait est mentionn´e clairement, le vocabulaire correct est intro-

duit et les r`egles d"utilisation sont pr´ecis´ees, r´eservant la justification `a une ´etude

ult´erieure.

2 1. Th´eorie na¨ıve des ensembles

1.2 Quelques locutions et symboles

En ce qui concerne la logique math´ematique, nous allons nous limiter `a introduire un vocabulaire correct et les r`egles d"utilisation de ce vocabulaire.

Soient des relationsR,S.

a) La "n´egation deR" est d´esign´ee g´en´eralement par l"assemblage "/R", c"est-`a- dire "Rsuperpos´e de/". On recourt aussi souvent `a des notations diff´erentes telle que "nonR", "¬R". Une relation est fausse si sa n´egation est vraie; elle est vraie si sa n´egation est fausse. b) "RouS" est une relation qui est vraie si l"une au moins des relationsR,S est vraie. Par exemple, siRest la relation "5 est strictement inf´erieur `a 6" et siSest la relation "5 est ´egal `a 6", la relation "RouS" est la relation "5 est inf´erieur ou ´egal `a 6" et est donc vraie. En logique et en math´ematique, le motouest toujours pris au sens non disjonctif. Il faut donc recourir `a une p´eriphrase pour traduire le ou disjonctif de la langue fran¸caise. Ces m´ethodes fondamentales de construction de relations permettent d"en intro- duire d"autres qui jouent un rˆole tout aussi important. a) "RetS" est une relation qui est vraie si les deux relationsR,Ssont vraies. En fait, "RetS" est d´efini comme ´etant la relation "RetS" = "¬(¬Rou¬S)". Par exemple, siRest la relation "rest un multiple de 2" et siSest la relation "rest un multiple de 3", la relation "RetS" est vraie si "rest un multiple de 6".

Cela ´etant, on a

"¬(RetS)" = "¬Rou¬S" et "¬(RouS)" = "¬Ret¬S". b) "R?S" qui se lit "RimpliqueS" est la relation "R?S" = "Sou¬R".

Elle exprime que siRest vrai, alorsSest vrai.

c) "R?S" qui se lit "Rsi et seulement siS" est la relation "R?S" = "R?SetS?R".

1.3. Ensembles 3

1.3 Ensembles

1.3.1 D´efinition

En ce qui concerne les ensembles, nous allons recourir `a la "th´eorie na¨ıve des ensembles". Le point de vue na¨ıf consiste `a introduire la notion d"ensemble de mani`ere vague, puis d"en donner les propri´et´es sans d´emonstration. Cette mani`ere vague peut d´efinir un ensemble comme ´etant une notion fondamentale qui jouit

de propri´et´es particuli`eres ou comme ´etant la collection des ˆetres math´ematiques

qui v´erifient une propri´et´e. (Remarquons de suite que cette deuxi`eme mani`ere de proc´eder n"est en aucune sorte une d´efinition: elle d´efinirait la notion "ensemble" par une autre "collection" qui n"a pas ´et´e d´efinie auparavant.) Cependant cette notion d"ensemble n"est pas que formelle; elle proc`ede en fait d"une base intuitive. Pour s"en assurer, il suffit de consid´erer l"ensemble des nombres r´eels, l"ensemble des nombres complexes, ... Un ensemble est d´etermin´e par ses ´el´ements qui sont donn´es indiff´eremment a) d"une mani`ere explicite, c"est-`a-dire par un symbole individuel tel que 1, 2, 3, ... b) par un symbole g´en´erique affect´e d"indices variant dans des ensembles: on trouve par exemplexj,xj,k, ... c) par un symbole g´en´erique seulement s"il n"est pas n´ecessaire de les distinguer.

Un ensemble est donn´e indiff´eremment

a) de mani`ere explicite en donnant la liste compl`ete de ses ´el´ements plac´es entre ac- colades et s´epar´es par un symbole appropri´e (tr`es souvent une virgule): par exemple {1,2,3}. Bien sˆur, cette mani`ere explicite ne peutˆetre utilis´ee que pour les ensembles

"finis"; aussi on accepte ´egalement de sugg´erer la liste des ´el´ements de l"ensemble en

recourant aux trois points de suspension. Ainsi,{a,b,...,z}repr´esente l"ensemble des lettres de l"alphabet et{1,2,3,...}repr´esente l"ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1. (Les trois points de suspension doivent ´evidemment avoir une signification claire.) Unsingletonest un ensemble contenant un et un seul ´el´ement. Siaest cet ´el´ement, le singleton peut donc ˆetre not´e{a}. b) en pla¸cant entre accolades le symbole g´en´erique suivi d"un symbole appropri´e

(tr`es souvent ":") puis la propri´et´e qui caract´erise ses ´el´ements. On obtient de la

sorte une formule du genre{x:P}qui se lit "ensemble desxtels queP"; c) par un symbole (g´en´eralement une lettre majuscule) s"il n"est pas n´ecessaire d"en d´etailler les ´el´ements. En particulier, certains symboles r´ef`erent `a des ensembles pr´ecis; on trouve notamment: N= ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 0, N

0= ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1,

4 1. Th´eorie na¨ıve des ensembles

Z= ensemble des nombres entiers positifs, nul ou n´egatifs,

R= ensemble des nombres r´eels,

Q= ensemble des nombres r´eels rationnels,

C= ensemble des nombres complexes.

1.3.2 Relations entre ´el´ements et parties d"un ensemble

SoitAun ensemble.

a)Appartenance.Nous ´ecrivonsa?Apour signaler queaest un ´el´ement de A. La formulea?Ase lit "aest un ´el´ement deA" ou "aappartient `aA". On trouve aussi l"´ecritureA?aqui se lit "Acontienta". Sian"est pas ´el´ement deA, nous ´ecrivonsa??A, ce qui se lit "an"est pas ´el´ement deA" ou "an"appartient pas `aA". On trouve aussiA??aqui se lit "Ane contient pasa". b)Inclusion.SiBest un ensemble, nous ´ecrivonsB?Apour signaler que tout ´el´ement deBappartient `aA. La formuleB?Ase lit "Best inclus dansA" ou "Best un sous-ensemble deA" ou "Best une partie deA". On trouve aussi la notationA?Bqui se lit "AcontientB". Sinon nous ´ecrivonsB??A, ce qui se lit "Bn"est pas inclus dansA". c)Egalit´e.Siaetbsont deux ´el´ements deA, nous ´ecrivonsa=bpour signaler qu"il s"agit du mˆeme ´el´ement. La formulea=bse lit "aest ´egal `ab". De mˆeme, si AetBsont des ensembles, nous ´ecrivonsA=Bsi tout ´el´ement deAest ´el´ement deBet inversement. Cette notationA=Bse lit "Aest ´egal `aB". Elle a donc lieu si et seulement si on aA?BetB?A. Sia,bd´esignent deux ´el´ements distincts deA, nous ´ecrivonsa?=b, ce qui se lit "adiff`ere deb". Si les ensemblesA,Bne sont pas ´egaux, nous ´ecrivonsA?=B, ce qui se lit "Adiff`ere deB" ou "An"est pas ´egal `aB". d)Ensemble vide.Tout ensembleAcontient trivialement deux parties, `a savoir Alui-mˆeme et l"ensemble vide, not´e∅, ensemble conventionnel qui ne contient pas d"´el´ement. e)Ensemble des parties.Etant donn´e un ensembleA,?(A) d´esigne l"ensemble des parties deA.

1.3.3 Ensembles associ´es `a des ensembles

A des partiesAetBde l"ensembleX, on associe les parties suivantes deX. a)Union.L"unionA?BdeAetBest l"ensemble des´el´ements qui appartiennent `aAou `aB, c"est-`a-dire `a l"un au moins des ensemblesA,B. La notationA?Bse lit "AunionB".

1.3. Ensembles 5

b)Intersection.L"intersectionA∩BdeAetBest l"ensemble des ´el´ements qui appartiennent `aAet `aB. La notationA∩Bse lit "AinterB". c)Diff´erence, compl´ementaire.Ladiff´erenceA\BdeAetBest l"ensemble des ´el´ements deAqui n"appartiennent pas `aB. La notationA\Bse lit "Amoins B". SiBest inclus dansA, on ´ecrit parfoisCAB`a la place deA\B. La notation C

ABse lit "compl´ementaire deBdansA".

d)Diff´erence sym´etrique.Ladiff´erence sym´etriqueA?BdeAetBest l"ensemble des ´el´ements deA?Bqui n"appartiennent pas `aA∩B. On a donc

A?B=B?A= (A\B)?(B\A).

1.3.4 Inclusions et identit´es remarquables

Les op´erations?,∩,\,Cet?se combinent entre elles pour donner lieu `a un v´eritable calcul entre ensembles. Certaines de ces op´erations constituent des inclusions et identit´es remarquables qui permettent souvent d"all´eger les autres op´erations. Voici les plus importantes d"entre elles. Proposition 1.3.4.1SiA,B,Csont des parties de l"ensembleX, on a les propri´et´es suivantes: a)CXX=∅,CX∅=X, b)CXCXA=A, c)A?CXA=X,A∩CXA=∅, d)A?B?(A?C?B?C),

A?B?(A∩C?B∩C),

(A?B,B?C)?A?C, e)A∩B?A?A?B, f)A?B?(A?B=B)?(A∩B=A) ?CXA?CXB ?(A∩CXB=∅)?((CXA)?B=X). En particulier, on aA?A=A,A∩A=A,∅ ?A=A,∅ ∩A=∅,A?X=X etA∩X=A. g) (C?A,C?B)?(C?A∩B), (A?C,B?C)?(A?B?C), h)A?B=B?A, A?(B?C) = (A?B)?C, A∩B=B∩A, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C, i)A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C),

A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C),

6 1. Th´eorie na¨ıve des ensembles

j)CX(A?B) = (CXA)∩(CXB), C X(A∩B) = (CXA)?(CXB).Quelques remarques s"imposent. a) Les formules h) permettent de donner un sens aux notationsA?B?Cet

A∩B∩C, `a savoir

A?B?C=A?(B?C) = (A?B)?C

et A∩B∩C=A∩(B∩C) = (A∩B)∩C. b) Par contre, les formules i) ´etablissent clairement que des notations telles que A?B∩CetA∩B?Csont totalement d´enu´ees de sens et doivent ˆetre proscrites. c) Ces propri´et´es donnent lieu `a laloi de dualit´eouloi de Morgan: si on a une relationA?(resp. =;?)E1o`uAest une partie de l"ensembleXet o`uE1est une expression qui ne fait intervenir que des parties deXet les symboles?et∩, on a ´egalementX\A?(resp. =;?)E2o`uE2d´esigne l"expression qu"on obtient `a partir deE1en rempla¸cant chaque partie deXpar son compl´ementaire dansX,?par∩ et∩par?respectivement.

Exercice.V´erifier que

a)A?B=B?A b)A? ∅=A c)A?X=X\A d)A?A=∅ e)A?(X\A) =X f) (A?B)?C= (B?C)?A= (C?A)?Bet cet ensemble est ´egal `a

A\(B?C)???

B\(C?A)???

C\(A?B)???

A∩B∩C?

1.3.5 Union et intersection de plusieurs ensembles

SoitXun ensemble.

Nous venons de donner un sens `a des notations telles queA?B?CetA∩B∩C, siA,B,Csont des parties deX. Plus g´en´eralement, siJest un ensemble et si, pour toutj?J,Ajest une partie deX, on introduit a) l"union?j?JAjdesAjcomme ´etant l"ensemble des ´el´ements qui appartiennent `a l"un au moins des ensemblesAj,

1.4. Quantificateurs 7

b) l"intersection∩j?JAjdesAjcomme ´etant l"ensemble des ´el´ements qui appartien- nent `a chacun des ensemblesAj. En particulier (et ce sera souvent ce cas qui arrivera dans la suite),Jpeut ˆetre une partie deN. Nous utilisons alors les notations suivantes: sipetqsont des q j=pA j, Ap?...?Aq d´esigne l"union des ensemblesAp, ...,Aqtandis que chacune des notations q j=pA j, Ap∩...∩Aq d´esigne leur intersection. Sipest un entier,?∞j=pAjd´esigne l"union des ensembles A p,Ap+1, ... et∩∞j=pAjleur intersection. Deux partiesA,Bd"un mˆeme ensembleXsontdisjointessi leur intersection est vide. Plus g´en´eralement, des parties (Aj)j?Jd"un mˆeme ensembleXsontdisjointes deux `a deuxsiAk∩Al=∅pour tousk,l?Jtels quek?=l. Cela ´etant, des parties (Aj)j?Jd"un mˆeme ensembleXconstituent unepartition deXsi elles sont disjointes deux `a deux et constituent unrecouvrement deX(c"est- `a-dire que leur union contientX).

1.3.6 Produits finis d"ensembles

SiA1, ...,AJsont des ensembles en nombre fini, leurproduit, not´e indiff´erem- ment A

1× ··· ×AJouJ?

j=1A j est l"ensemble dont les ´el´ements sont lesJ-uples ordonn´es (a1,...,aJ) tels quea1? A

1, ...,aJ?AJ.

Si on aA1=...=AJ=A, il est plutˆot not´eAJ.

1.4 Quantificateurs

Signalons `a pr´esent deux quantificateurs qui sont introduits en logique math´e- matique: a)?qui se lit "pour tout",

8 1. Th´eorie na¨ıve des ensembles

b)?qui se lit "il existe". Ils sont `a la base de la plupart des raisonnements et apparaissent le plus souvent dans des assertions telles que "?x?A,on aR" et "?x?Atel queR". Ces deux assertions ne sont pas ind´ependantes car la n´egation de la premi`ere est "?x?Atel que¬R" et celle de la seconde "?x?A, on a¬R". D`es lors, par exemple, la n´egation de l"assertion "?x?A,?y?Btel queR" est "?x?Atel que,?y?B,on a¬R".

1.5 Applications

1.5.1 D´efinition

D´efinitions.SoientA,Bdeux ensembles. UneapplicationfdeAdansBquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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