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Sujets et corrigés des DS
de mathématiques et d"informatiqueBCPST1A lycée Hoche 2014-2015
Sébastien Godillon
Table des matières
Sujet du DS n
o1 (mathématiques, 3h) 3Corrigé du DS n
o15Exercice 1 (logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Exercice 2 (nombres réels, sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6Exercice 3 (nombres réels, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9Exercice 4 (nombres réels, équations, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11Sujet du DS n
o2 (mathématiques, 3h) 13Corrigé du DS n
o215 Exercice 1 (nombres complexes, équations, sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18Exercice 3 (nombres complexes, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21Exercice 4 (sommes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22Exercice 5 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24Sujet du DS n
o3 (mathématiques, 3h) 25Corrigé du DS n
o327Exercice 1 (suites, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27Exercice 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28Exercice 3 (dénombrement, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30Exercice 4 (équivalents, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33Sujet du DS n
o4 (mathématiques, 3h) 35Corrigé du DS n
o437Exercice 1 (équations différentielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37Exercice 2 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39Problème (dénombrement, suites, sommes, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 1 sur 109 Sébastien Godillon
Sujet du DS n
o5 (mathématiques, 3h) 47Corrigé du DS n
o549Exercice 1 (polynômes, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49Exercice 2 (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49Exercice 3 (polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52Exercice 4 (géométrie, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55Sujet du DS n
o6 (mathématiques, 3h) 63Corrigé du DS n
o665Exercice 1 (probabilités, matrices, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65Exercice 2 (statistiques, fonctions de deux variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69Exercice 3 (polynômes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72Sujet du DS n
o7 (mathématiques, 3h) 76Corrigé du DS n
o778Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78Exercice 2 (logique, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79Exercice 3 (étude de fonctions, continuité, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79Exercice 4 (probabilités, sommes, suites, matrices, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81Sujet du DS n
o8 (mathématiques, 3h) 86Corrigé du DS n
o888Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, applications, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . .
88Exercice 2 (étude de fonctions, dérivabilité, développements limités, suites, limites) . . . . . . .
92Exercice 3 (développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97Sujet du DS n
o9 (mathématiques, 3h) 99Corrigé du DS n
o9101Problème (variables aléatoires, probabilités, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101Exercice 1 (dérivabilité, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105Exercice 2 (sous-espaces vectoriels, applications linéaires, familles de vecteurs) . . . . . . . . . .
1 07BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 2 sur 109 Sébastien Godillon
DS n o1 de mathématiques durée : 3 heuresExercice 1
Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les chevaux
de trait de deux races différentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes :
P: "Il existe un percheron dont l"échantillon d"ADN est porteur du gène noir.» Q: "Si l"analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On noteHl"ensemble des chevaux analysés du haras;A,BetNles sous-ensembles de chevaux dontles échantillons d"ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement); et enfinCetPles
sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre
hpour désigner un cheval analysé (c"est-à-dire un élément générique deH). 1.Réécrire les prop ositionsPetQen langage mathématique à l"aide de quantificateurs et d"opérateurs
logiques. 2.Réécrire la prop ositionQen langage mathématique à l"aide d"opérations sur des ensembles.
3. Donner, en français, la négation de Pet la négation deQ. 4. Donner, en français, la con traposéeet la récipro quede Q. 5.P ourc hacunedes prop ositionssuiv antes,dire si elle est vraie ou fausse (les justifications ne son t
pas demandées) : (a) P ourprouv erque Pest vraie, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN du haras sont porteurs du gène noir. (b) P ourprouv erque Pest fausse, il est nécessaire de prouver l"existence d"un percheron dont l"échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène noir. (c) P ourprouv erque Qest fausse, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN des comtois sont porteurs du gène noir. (d) P ourprouv erque Qest vraie, il est nécessaire de prouver que tous les échantillons d"ADNneutres (c"est-à-dire porteurs d"aucun gène : ni alezan, ni bai, ni noir) ont été prélevés sur des
percherons.Exercice 2
On considère la série harmonique(Hm)m>1définie pour tout nombre entierm>1par : H m= 1 +12 +13 +14 +15 ++1m1+1m =mX k=11k On propose de démontrer que la suite(Hm)m>1diverge vers+1. 1. Démon trerque la suite (Hm)m>1est strictement croissante. 2. P ourtout nom breen tierm>1, on pose l"entierNm=jln(m)ln(2) k (a)Mo ntrerque limm!+1Nm= +1.
(b)Mon trerque 8m>1;m2
<2Nm6met en déduire que8m>1; Hm>H2Nm. (c) Démo ntrerqu"il est suffisan tde p rouverque la suite (H2n)n>0tend vers+1pour prouver que la suite(Hm)m>1tend vers+1. 3.P ourcette question, on fixe un nom breen tiern>0.BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 3 sur 109 Sébastien Godillon
(a)Do nnerle nom bred"élémen tsd el"ensem bleEn=fk2N= k>2n+ 1etk62n+1g. (b)Mon trerque 8k2En;1k
>2(n+1). (c)En déduire que :
2 n+1X k=2n+11k >12 4.Démon trerque 8n>0; H2n>1 +n2
5.Conclure.
Exercice 3
On considère les nombres réels=3p2 +
p5et=3p2p5(on rappelle que pour tout nombre réely, on note3pyl"unique solution de l"équationx3=yd"inconnuex2R). On propose de simplifier l"expression
deet. 1. (a)Calculer et3+3.
(b) Vérifier que 8(a;b)2R2;(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3. (c) En déduire une expression simple d e(+)3en fonction deet. 2. On p oseu=+et on considère la fonction polynomialeP:x7!P(x) =x3+ 3x4. (a)A l"aide de la question précéden te,mon trerque uest une racine deP, c"est-à-dire queP(u) = 0.
(b)T rouverune racine éviden tede P.
(c) T rouvertrois nom bresréels a,betctels que8x2R; P(x) = (x1)(ax2+bx+c). (d)Résoudre l"équation P(x) = 0d"inconnuex2R.
(e)En déduire la v aleurde u.
3. On considère la fonction p olynomialeQ:x7!Q(x) = (x)(x). (a) A l"aide des questions précéden tes,dév elopperet simplifier Q(x)pour tout nombre réelx. (b) En déduire que etsont solutions de l"équationx2x1 = 0d"inconnuex2R. (c)Déterm inerdes expressions plus simples de et.
Exercice 4
On considère l"équation (E) d"inconnuex2[0;2 ]définie par : pcos(x) +psin(x) = 1:(E)On propose de résoudre cette équation de deux manières différentes. Les questionsA)etB)suivantes sont
donc totalement indépendantes.A)Première méthode :
1. Vérifier que 8(a;b)2R2;(a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4. 2. Démon trerque l"équation (E) est équiv alenteà l"équation (E") suiv ante: pcos(x)sin(x)2cos(x) + 3pcos(x)sin(x) + 2sin(x)
= 0:(E") 3.Justifier que 8x2[0;2
];2cos(x) + 3pcos(x)sin(x) + 2sin(x)>0. 4.En déduire les solutions de l"éq uation(E).
B)Deuxième méthode :
1.Démon trerque 8a2]0;1[;pa > a
2. 2.En déduire que 8x2]0;2
[;pcos(x) +psin(x)>1. 3.Retrouv erles solutions de l"équation (E). BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 4 sur 109 Sébastien Godillon
Corrigé du DS n
o1 de mathématiquesExercice 1
Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les chevaux
de trait de deux races différentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes :
P: "Il existe un percheron dont l"échantillon d"ADN est porteur du gène noir.» Q: "Si l"analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On noteHl"ensemble des chevaux analysés du haras;A,BetNles sous-ensembles de chevaux dontles échantillons d"ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement); et enfinCetPles
sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre
hpour désigner un cheval analysé (c"est-à-dire un élément générique deH). 1.R éécrireles pr opositionsPetQen langage mathématique à l"aide de quantificateurs et d"opérateurs
logiques. IOn a en langage mathématique avec des quantificateurs et des opérateurs logiques :P () 9h2P; h2N
() 9h2H; h2Peth2NQ () 8h2H; h2C=)(h2Aeth2B)
() 8h2C; h2Aeth2B Attention : la proposition "h2A\B» est équivalente à "h2Aeth2B» mais elle utilise une opération sur des ensembles (l"intersection\) et non un opérateur logique (le "et»)comme demandé par l"énoncé.2.R éécrirela pr opositionQen langage mathématique à l"aide d"opérations sur des ensembles.
IOn a en langage mathématique avec des opérations sur des ensembles : Q () 8h2C; h2A\B ()CA\B3.Donner, en fr ançais,la né gationde Pet la négation deQ.IOn a en langage mathématique :
non(P)() 8h2P;non(h2N) () 8h2P; h =2N () 8h2H; h =2Pouh =2N non(Q)() 9h2H;non(h2C=)(h2Aeth2B)) () 9h2H; h2Cet non(h2Aeth2B) () 9h2H; h2Cet(h =2Aouh =2B) () 9h2C; h =2Aouh =2B Ecrire les négations dePetQen langage mathématique n"est pas demandé, mais ça aidepour les traduire ensuite en français.On en déduit donc en français que la négation dePest "Aucun échantillon d"ADN des percheronsn"est porteur du gène noir.», et la négation deQest "Il existe un échantillon d"ADN qui, d"unepart, a été prélevé sur un comtois et, d"autre part, n"est pas porteur du gène alezan ou n"est pas
porteur du gène bai (ou n"est pas porteur des deux gènes).». BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 5 sur 109 Sébastien Godillon4.Donner, en fr ançais,la c ontraposéeet la r éciproquede Q.
ILa contraposée deQest donnée en langage mathématique par :8h2H;non(h2Aeth2B) =)non(h2C)
() 8h2H;(h =2Aouh =2B) =)h =2Cce qui donne en français : "Si un échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène alezan ou n"est pasporteur du gène bai (ou n"est pas porteur des deux gènes), alors l"analyse n"a pas été pratiquée
sur un comtois.». La réciproque deQest donnée en langage mathématique par :8h2H;(h2Aeth2B) =)h2C
ce qui donne en français : "Si un échantillon d"ADN est porteur du gène alezan et du gène bai,alors l"analyse a été pratiquée sur un comtois.»
5.Pou rchacune des pr opositionssuivantes, dir esi el leest vr aieou fausse (les justific ationsne sont
pas demandées) : (a) Po urpr ouverque Pest vraie, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN du haras sont porteurs du gène noir.IVraie.
(b) P ourpr ouverqu ePest fausse, il est nécessaire de prouver l"existence d"un percheron dont l"échantillon d"ADN n"est pas porteur du gène noir.IVraie.
En toute rigueur, les propositions 5(a) et 5(b) sont fausses si l"ensemble des percherons est vide (dans ce cas, la propositionPest toujours fausse). Mais la première phrase del"énoncé sous-entend qu"il existe au moins un percheron.(c)P ourpr ouverque Qest fausse, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d"ADN des
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