[PDF] Chapitre 2 : similitude Si on introduit ? la viscosité

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Chapitre2:similitude

Mecanique des

uides

Christophe Ancey

Chapitre2:similitude

Plan du chapitre

Theorie de la similitude

Unites de mesure

Principaux nombres adimensionnels

Methode de Rayleigh

Theoreme de Vaschy-Buckingham

Applications en ingenierie

my headerMecanique des uides 2 o

Unpetitquizpours'échauffer

1.

Sije r ealiseune exp erienced' ecoulement a

l'echelle du 1 : 10 et que je mesure la vitesse, que vaut la vitesse reelle (a l'echelle 1)? le rapport geometrique etant de 10, la vitesse sera 10 fois plus grande que celle mesuree sur le modele reduit? on ne peut pas repondre, il faudrait etudier la relation entre les equations du mouvement aux deux echelles? 2.

Quevaut l'unit eP a(pascal) dans le syst eme

international?

1 Pa = 1 kgm1s2

1 Pa = 1 kgms2?

my headerMecanique des uides 3 o

Théoriedelasimilitude

Une theorie utile pour :

proposer des nombres adimensionnels; simplier les equations; diminuer le nombre de parametres pertinents pour l'etude d'un phenomene; etablir les criteres de similitude entre des phenomenes a dierentes echelles. my headerMecanique des uides 4 o

Exemplespratiques:modèlesréduits

my headerMecanique des uides 5 o Que se passe-t-il quand une avalanche entre dans un lac d'accumulation? my headerMecanique des uides 6 o

Problématique

my headerMecanique des uides 7 o

Les triangles sontsimilairesgeometriquement si :

=a0a =b0b =c0c avecle rapport de similitude, le facteur d'echelle, ou l'echelle. On parle de transformation isomorphe. my headerMecanique des uides 8 o Generalisation : une transformation ane conserve les rapports de longueur, avec des rapports dierents selon les axes x=a0a ety=b0b avecxetyles rapports selon l'horizontale et la verticale. my headerMecanique des uides 9 o

Similitudegéométrique:invariant

Lors d'une transformation ane,

certaines quantites sont conservees. On parle d'invariant. Par exemple le rapport de la surfaceSet du produit des demis axes : s=Sab =S0a 0b0=: d'autres quantites ne le sont pas. Par exemple le perimetre P= 4Z =2 0pa

2cos2+b2sin2d

my headerMecanique des uides 10 o Pourquoi certaines quantites se conservent et d'autres non? On parle deloi d'echellepour denir la relation de proportionnalite entre une certaine grandeur et l'echelle (ici geometrique) du probleme : le perimetreP/`, la surfaceS/`2, le volumeV/`3, avec`uneechelle caracteristiquede l'objet. my headerMecanique des uides 11 o Dans le cas de la transformation cercle (rayona=b)!ellipse P 0= 4Z =2 0pa

02cos2+b02sin2d= 4Z

=2 0qa

22xcos2+a22ysin2d:

En introduitr=y=xetP= 2a, on peut ecrire :

P 0P =f(x;y) =2x Z =2 0pcos

2+r2sin2d=2x

E(1r2);

avecEune fonction speciale dite integrale elliptique complete. Le perimetreP0est donc proportionnel aPvia un coecientfqui depend des deux parametres d'echellexety. La theorie de la similitude cherche a predeterminer les dependances entre variables et echelle(s) du probleme. my headerMecanique des uides 12 o On utilise les unites du systeme international ou systeme metrique decimal. Ce systeme repose sur 7 unites fondamentales : longueur : le metre [m]; masse : le kilogramme [kg]; temps : la seconde [s] intensite electrique : l'ampere [A]; temperature : le kelvin [K]; intensite lumineuse : le candela [cd]; quantite de matiere : la mole [mol]. my headerMecanique des uides 13 o

Symbolesusuelsdesmesures

Chaque mesure est associee a un symbole, dont la typographie a ete xee : force : le newton [N] (1 N = 1 kgm/s2); pression : le pascal [Pa] (1 Pa = 1 kgm1s2); vitesse : [m/s]; masse volumique : [kg/m3]; acceleration : [m/s2]; surface : [m2]; debit : [m3/s]; energie : le joule (1 J = 1 kgm2/s2); puissance : le watt (1 W = 1 kgm2/s3). my headerMecanique des uides 14 o On peut utiliser un petit moyen mnemotechnique pour decomposer une unite physique quelconque en unites fondamentales. Prenons l'exemple du joule; le joule sert comme unite pour l'energie et le travail. Le travail d'une force, c'est une force multipliee par une distance, donc on a : travail=forcelongueur=Nm= (kgm=s2)m=kgm2=s2: my headerMecanique des uides 15 o

Nombresadimensionnels:lenombredeReynolds

Lenombre de Reynoldsest deni comme

Re = %u` avec`une echelle de longueur,uune echelle de vitesse,la viscosite du uide, et %sa masse volumique. Le nombre de Reynolds est le plus souvent interprete comme le rapport des forces d'inertie sur les forces de viscosite. Il sert notamment a classer le regime d'ecoulement en distinguant : les ecoulements laminaires (Re1); les ecoulements turbulents (Re1).

Si on introduitla viscosite cinematique du

uide (==%favec%fla masse volumique du uide), alors on a aussi :Re =u`=. my headerMecanique des uides 16 o

Nombresadimensionnels:lenombredeStokes

Lenombre de Stokesest deni comme

St = tpt f; avectple temps de relaxation de la particule (le temps typique de variation de la vitesse quand on perturbe l'etat d'equilibre de la particule) et le temps caracteristique du uide (l'echelle de temps sur laquelle le uide s'ajuste a tout changement de la particule). Ce nombre sert a quantier le couplage entre phases dans les suspensions : St1: la phase solide est entierement gouvernee par la phase uide;

St1: les deux phases sont decouplees.

my headerMecanique des uides 17 o

Nombresadimensionnels:lenombredeFroude

Lenombre de Froudeest deni comme

Fr = upgh avechune echelle de hauteur,uune echelle de vitesse,gl'acceleration de la gravite. Le nombre de Froude est le plus souvent interprete comme le rapport de l'energie cinetique sur l'energie potentielle. Il sert notamment en hydraulique a classer le regime d'ecoulement en distinguant : Fr>1les ecoulements supercritiques (appeles aussi torrentiels);

Fr<1: les ecoulements subcritiques (appeles aussi

uviaux). my headerMecanique des uides 18 o lenombre de capillariteest deni comme Ca = u avecuune echelle de vitesse,la viscosite du uide, et la tension de surface. Ce nombre sert a evaluer les eets de tension de surface, par exemple lorsqu'on etale un uide ou bien dans un milieu poreux : Ca1, les eets de tension l'emportent sur les forces visqueuses; Ca1, la viscosite est tellement grande que les eets de tension de surface a l'interface sont negligeables. Le nombre de Bond, de Weber, et de Kapitza sont egalement des variantes courantes du nombre de capillarite. my headerMecanique des uides 19 o Tout nombre sans dimension peut ^etre interprete comme un rapport soit dequotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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