[PDF] Cours dAutomatique 28 juin 2017 un enseignement

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2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE

Cours d"Automatique

Repr

´esentations d"´etat lin´eaires

des syst `emes monovariables

Olivier BACHELIER

Courriel :

Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34

2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE

Cours d"Automatique

Repr

´esentations d"´etat lin´eaires

des syst `emes monovariables

Olivier BACHELIER

Courriel :

Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79 ; Fax : 05-49-45-40-34

28 juin 2017

R´esum´e

Ce cours d"Automatique s"inscrit dans le cadre de la deuxi`eme ann´ee de?cycle ing´enieur?de l"´EcoleNationaleSup´erieure d"Ing´enieurs dePoitiers (

ENSIP) et s"adresse aux ´etudiants de

la fili`ere´Energie, parcoursMaˆıtrise de´Energie´Electrique (

MEE). Ces derniers ont d´ej`a suivi

un enseignement relatif `a l"´etude des syst`emes lin´eaires mod´elis´es par une fonction de transfert

(approche fr´equentielle). Ce cours s"int´eresse aux mˆemes syst`emes mais propose une ´etude via un

mod`ele diff´erent, appel´e repr´esentation d"´etat lin´eaire (approche temporelle).

Connaissances pr

´ealables souhait´ees :

notions de syst`emes lin´eaires, ´equations diff´erentielles, fonction de transfert enp(voire enz), analyse et commande des syst`emes lin´eaires par approche fr´equentielle, quelques bases d"alg`ebre lin´eaire. ii

Table des mati`eres

1Introduction1

1.1Notion de syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2Notion de mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3Grandes lignes du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2Rappel sur la fonction de transfert5

2.1´Equations pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Mod`ele entr´ee/sortie : l"´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Transform´ee de Laplace : de l"´equation diff´erentielle `a la fonction de transfert. . . . . . . 6

2.2Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Int´erˆet de la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3La repr´esentation d"´etat11

3.1Principe g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2De la non-lin´earit´e `a la lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3Historique de la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4Comment obtenir un mod`ele d"´etat?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Par le jeu d"´equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.2 Par l"´equation diff´erentielle unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5De la fonction de transfert `a la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1 Cas d"une fonction de transfert strictement propre (m < n). . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1.1R´ealisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1.2R´ealisation de forme compagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5.2 Cas d"une fonction de transfert non strictement propre (m=n). . . . . . . . . . . . . . 20

3.6De la repr´esentation d"´etat `a la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7.1 Changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7.2 Obtention d"une forme compagne (horizontale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7.3 Obtention d"une forme de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7.3.1Les valeurs propresλideAsont distinctes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7.3.2Les valeurs propresλideAsont multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4R´eponse d"un mod`ele d"´etat25

4.1Solution du syst`eme autonome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Matrice de transition d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2 Solution de l"´equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2Solution de l"´equation d"´etat compl`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3Calcul deeAt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.1 M´ethode des s´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.2 Par la transformation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.3 M´ethodes des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iii

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

4.4R´egime transitoire : influence des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5R´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.6R´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7R´eponse harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5Stabilit´e des mod`eles d"´etat35

5.1Une approche quasi intuitive : la stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2Stabilit´e d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1 D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.2 Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3Crit`eres de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3.1 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1.1rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1.2rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.1.3rang(A)< n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.1.4En r´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.1.5Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.1.6Les marges de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3.2 Crit`ere de Routh/Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3.3 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6Commandabilit´e et observabilit´e43

6.1D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Commandabilit´e ou gouvernabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.1 Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.3 Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3.1Adiagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3.2Anon diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.4Grammiens de commandabilit´e et d"observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.1 D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.2 Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.3 Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5.1 Diff´erence entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5.2 Syst`emes composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.6R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.2 R´ealisation minimale et notion de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.3 R´ealisation minimale et stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7Commande par retour d"´etat55

7.1Notion de retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2Retour d"´etat et performances transitoires : le placementde pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.1 Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.2 Placement de pˆoles sur une r´ealisation canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.3 Placement de pˆoles sur une r´ealisation quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2.3.1Obtention de la forme canonique `a partir de la fonction de transfert. . . . . . . 58

7.2.3.2Obtention de la forme canonique `a partir d"une autre r´ealisation. . . . . . . . . 58

7.2.3.3Algorithme de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3Performances statiques et retour d"´etat : la pr´ecommande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4Rejet de perturbation et retour d"´etat : adjonction d"int´egrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iv

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

7.4.1 Premi`ere approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4.2 Seconde approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8Commande par retour de sortie : les observateurs69

8.1Notions pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1.2 Principe de l"observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.1.3 Propri´et´e d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.1.4 Condition d"existence d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1.5`A propos de la transmission directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2Synth`ese d"un observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2.1 Observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2.2 Proc´edure de Luenberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3Synth`ese d"un observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3.1 Observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3.2 Proc´edure de synth`ese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.4Commande par retour d"´etat observ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9Introduction`a la repr´esentation d"´etat discr`ete81

9.1Rappels sur les signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.1.1 Signaux continus, discrets, quantifi´es, non quantifi´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.1.2 Transformation de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.1.2.1´Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.1.2.2Quantification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.1.2.3Blocage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.2Syst`emes discrets lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.2 Mod`eles externes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.2.1´Equation r´ecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2.2.2Transformation enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2.2.3Fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2.3 Repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2.4 Lien entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4.1D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4.2De l"´equation d"´etat `a la fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4.3De la fonction de transfert enz`a l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3Syst`emes ´echantillonn´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3.1 Pourquoi ´etudier les mod`eles discrets? (notion de syst`eme ´echantillonn´e). . . . . . . . . 88

9.3.2 La commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.3.3´Echantillonnage et th´eor`eme de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.4 Obtention d"un mod`ele ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.4.1Calcul deG(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.4.2Mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.4R´eponse d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1 R´eponse du mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1.1R´eponse par r´esolution de l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1.2Calcul deAk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1.3R´eponse d"un syst`eme ´echantillonn´e.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.4.2 Analyse de la r´eponse : ´etude des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.5Stabilit´e d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.1 Stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2 Stabilit´e interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2.1D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2.2Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.3 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

v

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

9.5.3.1R´esultat g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.5.3.2Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.3.3Marge de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.4 Crit`ere de Jury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.5 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.6 Stabilit´e d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.5.6.1´Echantilonnage d"une boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.5.6.2Bouclage d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.6Commandabilit´e/observabilit´ed"un mod`ele discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.6.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.1.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.1.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2 Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2.3Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.3 Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.4 Grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.4.1D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.4.2Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6.4.3Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6.5 Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6.6 R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.7Commande par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7.1 Les diff´erentes approches de la commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7.2 Retour d"´etat discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7.3 Placement de pˆoles par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.7.3.1Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.7.3.2Technique de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.8Commande par retour de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10Conclusion107

10.1R´esum´e du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.2Perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Annexes109

ARappels d"alg`ebre et d"analyse111

A.1`A propos des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.1.1 Transposition et conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.1.2 Matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.1.3 Op´erations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.1.3.1Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 A.1.3.2Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.1.4 D´eterminant d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A.1.4.1D´eterminant d"une matrice carr´ee d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.1.4.2D´eterminant d"une matrice carr´e d"ordre 3 ou plus. . . . . . . . . . . . . . . . 114

A.1.4.3Quelques propri´et´es du d´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.5 Cofacteurs et matrice adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.6 Polynˆome caract´eristique d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.7 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.8 Matrices inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.8.1D´efinition et calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.8.2Propri´et´es des inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.1.9 Valeurs propres d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

vi

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

A.1.9.1Structure propre d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.1.9.2Propri´et´es des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.1.9.3Propri´et´es des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.1.10 Rang d"une matrice carr´ee, d´eterminant et valeurspropres. . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.1.11 Trace d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2`A propos de la d´efinition positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2.1 Fonction d´efinie positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2.2 Matrices Hermitiennes d´efinies en signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B`A propos du r´egime transitoire121

B.1Influence du spectre de la matrice d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B.2Influence des vecteurs propres deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.2.1 Couplage modes/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.2.2 couplage modes/commandes en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.2.3 Couplage modes/consigne en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.2.4 En r´esum´e sur les vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.3Influence des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.3.1 Les z´eros d"un mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.3.2 Contribution des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

CFormule d"Ackermann pour le placement de pˆoles par retour d"´etat127

C.1Rappel du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

C.2R´esolution selon Ackermann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

D`A propos deZ129

D.1Propri´et´es deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

D.2Tableau de transform´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

ELyapunov et les syst`emes lin´eaires131

E.1Le cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

E.2Le cas discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

E.3Le cas ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

F`A propos des grammiens135

F.1Signification des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

F.2Invariance des valeurs propres deWcWo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

GMATLABet la repr´esentation d"´etat139

G.1Fonctions math´ematiques de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

G.2Fonctions li´ees au mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

G.3Fonctions li´ees aux mod`eles discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

HBiographies153

H.1Alexandr Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

H.2Rudolf Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

R´ef´erences bibliographiques159

vii

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

viii

Chapitre 1

Introduction

L"Automatique est une discipline scientifique qui vise `a conf´erer `a un dispositif donn´e, appel´e syst`eme, des

propri´et´es souhait´ees et ce, sans n´ecessit´e d"une intervention humaine. Une telle discipline requiert d"attribuer

un mod`ele au comportement du dit syst`eme (phase de mod´elisation) et de l"utiliser afin, d"une part, de mieux

comprendre ce comportement (phase d"analyse) et d"autre part, d"agir sur le syst`eme dans le but d"am´eliorer ses

propri´et´es (phase de commande).

Sans revenir trop longuement dans cette introduction sur des concepts ´etudi´es lors des cours relatifs `a l"approche

dite fr´equentielle, il convient de rappeler quelques notions de base. 1.1

Notion de syst`eme

Un syst`emeest unecombinaisonde composantsinterconnect´espouratteindreun objectif,rendreunservice `a unou

plusieurs op´erateurs humains.Le ?composant?est un organefonctionnelqui ne se limite pas `a un objet physique

mais peut correspondre `a un objet plus abstrait de telle sorte qu"un syst`eme peut ˆetre ´economique, financier,

d´emographique mˆeme si, dans le cadre de cet enseignement,seront plutˆot rencontr´es des syst`emes physiques,

c"est-`a-dire m´ecaniques, ´electriques, ´electroniques, hydrauliques, pneumatiques, chimiques, m´ecatroniques voire

biologiques.

Parmi les grandeurs, ´eventuellement physiques, mises en jeu dans le fonctionnement d"un syst`eme, l"on peut

distinguercelles qui,g´en´er´eesparl"environnementext´erieurau syst`eme,agissent sur ce dernier.Ce sont les entr´ees

parmi lesquelles figurent celles dont l"homme a la maˆıtrise(les entr´ees de commande ou simplement entr´ees) et

celles qui ´echappent `a son contrˆole (les perturbations).L"on distingue aussi les grandeurs par lesquelles le syst`eme

agit sur l"environnement ext´erieur, `a savoir les sorties. L"on note souvent par les lettresu,dety, respectivement

les entr´ees, les perturbations et les sorties, de sorte qu"un syst`eme peut-ˆetre repr´esent´e par le sch´ema de la figure

1.1.

Syst`emeu

1 u

2...umy

1 y

2...ypd

1dr FIGURE1.1 - Syst`eme comportantmentr´ees,psorties etrperturbations

Dans le cadre de ce cours, seuls seront ´etudi´es les syst`emes monovariables pour lesquelsm=p= 1, c"est-`a-dire

ne comportant qu"une seule entr´ee et une seule sortie. 1

Notion de mod`ele

Il est rappel´e que l"automaticien est souvent amen´e `a r´eintroduire l"information pr´esente au niveau de la sortie

sur l"entr´ee afin de modifier les performancesdu syst`eme. Ce dernier est alors dit boucl´e.La notion de boucle ´etant

d´ej`a connue des ´etudiants, elle n"est pas d´etaill´ee dans cette introduction. Une partie de ce cours consacr´ee `a la

commande y reviendra. Il va de soi que les performances attendues sont les mˆemes que celles envisag´ees lors de

l"´etude de l"approche fr´equentielle, `a savoir la stabilit´e, la forme des r´egimes transitoires, la pr´ecision et le rejet de

perturbations. 1.2

Notion de mod`ele

Comme le sous-entend le pr´eambule de cette introduction, l"analyse d"un syst`eme eta fortiorisa commande font

appel `a un mod`ele du comportement du syst`eme. De cette description math´ematique du comportement peuvent

naˆıtre des outils d"analyse et de commande qui sont utilis´es par la suite. L"on distingue plusieurs automatiques

selon la nature des signaux et des mod`eles consid´er´es.

?Ainsi les signaux continus peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donn´e alors que d"autres signaux

sont susceptibles de prendre uniquement certaines valeursbien d´etermin´ees. Sur la base de cette diff´erence, l"on

distingue l"automatiquedes syst`emes `a ´ev´enements continusde l"automatiquedes syst`emes `a ´ev´enements discrets. Seul le cas des ´ev´enements continus sera envisag´e dans cecours.

?Une autre distinction tout aussi fondamentale se fait sur letemps. En effet, les signaux peuvent ˆetre d´efinis `a

tout instant du temps ou simplement connus `a des instants donn´es (l"on parle de signaux discrets, discr´etis´es, ou

´echantillonn´es). Les signaux de sortie sont ainsi mesur´es, et donc connus, uniquement `a certains instants, et la

s´equence des ´echantillons est obtenue sous forme num´erique en sortie d"un convertisseur analogique num´erique.

Elle est transmise `a un calculateur qui en d´eduit une s´equence de signaux de commande. Celle-ci est transform´ee

par un convertisseur num´erique analogique qui restitue unsignal `a temps continu sur l"entr´ee du syst`eme. Pour le

calculateur, l"ensemble constitu´e du syst`eme et des convertisseurs est vu comme un syst`eme `a temps discret (ou,

de mani`ere plus g´en´erale, ?syst`eme discret?). Dans ce cours, sera essentiellement consid´er´ee l"automatique des syst

`emes`a temps continu(ou simplement des?syst`emes continus?). Seul le dernier chapitre traitera traitera de

l"automatique des syst`emes discrets.

?Il existe d"autres distinctions qui reposent sur le mod`elemath´ematique utilis´e pour d´ecrire le comportement

du syst`eme. Ce mod`ele est obtenu soit par identification (l"on fait correspondre un mod`ele de structure donn´ee

au comportement entr´ees/sorties du syst`eme) ou, et ce sera le cas ici, par une utilisation judicieuse des ´equations

correspondant aux lois de la physique r´egissant le comportement du syst`eme. La plupart de ces ´equations sont

diff´erentielles et non lin´eaires. Cependant, il est souvent recommand´e de travailler dans une gamme de valeurs

autour d"un point de fonctionnement de telle sorte que les ´equations sont raisonnablement remplac¸ables par des

´equations diff´erentielles dites lin´eaires `a coefficients constants. Cette approximation permet donc de passer d"un

mod`ele non lin´eaire `a un mod`elelin´eaire. Bien que moins fid`ele `a la r´ealit´e, ce dernier facilite l"analyse et la

commande du syst`eme, notamment grˆace `a un principe fondamental, celui desuperposition(ou de s´eparation),

r´esum´e sur la figure 1.2. 1ua1 u

22ay=a1y1+ay2 2Syst`emelin´eaire++

FIGURE1.2 - Principe de s´eparation

Si l"entr´eeu1entraˆıne la sortiey1et si l"entr´eeu2entraˆıne la sortiey2alors une entr´eea1u1+a2u2entraˆıne une

sortiey=a1y1+a2y2. Ce cours est restreint `a l"´etude des syst`emes lin´eaires.

?Enfin, comme il a d´ej`a ´et´e mentionn´e, une derni`ere distinction est essentielle pour ce cours. Les syst`emes sont

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