[PDF] Chapitre 19. Echantillonnage. Estimation

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Chapitre 19. Echantillonnage. Estimation

• Ce chapitre ne peut en aucun cas être étudié si on n"a pas d"abord étudié le chapitre 16 sur la loi binomiale et

le chapitre 18 sur la loi normale.

• Les différentes expressions mathématiques écrites dans cechapitre ont un aspect très rebutant. On ne doit

cependant pas s"effrayer du contenu. Au bout du compte, commele signale le programme officiel, " les attendus de

ce chapitre sont modestes » et ce que doit savoir faire un élève est très simple. I. Intervalles de fluctuation associés à une loi binomiale

1) La variable aléatoire fréquence associée à une loi binomiale

On étudie une certaine population où chaque individu de la population possède un certain caractèreCavec une

probabilitépou ne possède pas le caractèreCavec une probabilité1-p. La probabilitépest donc la proportion

de la population qui est constituée de personnes possédant le caractèreC.

Par exemple, dans un pays, chaque individu vote ou ne vote paspour un candidat donné, dans une urne contenant

un grand nombre de boules blanches et noires, chaque boule est blanche ou pas, dans une population de vaches,

chaque vache a ou n"a pas une certaine maladie, dans une population de télévisions, chaque appareil peut

tomber en panne ou pas ... Le mot " individu » a donc un sens trèsgénéral.

Par la suite, on supposera quep?]0,1[car sip=1(oup=0), tout le monde possède la caractèreC(ou personne

ne le possède) et il n"y a pas besoin de faire des calculs de probabilités.

On prélève maintenant unéchantillonde cette population de taillenet on compte dans cet échantillon le nombre

d"individus possédant le caractèreC. On fait donc de l"échantillonnage.

On noteXnla variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taillenassocie le nombre de personnes possédant le

caractèreC. Si la taillend"un échantillon est petit devant la taille de la population, on peut assimiler un échantillon

(qui est un tirage successif sans remise denindividus dans la population) à un tirage successif avec remise den

individus dans la population. En effet, sinest petit devant la population, après avoir tiré un individusans le

remettre dans la population, la probabilité que l"individusuivant possède le caractèreCn"a quasiment pas varié.

On sait que la variable aléatoireXnsuit la loi binomialeB(n,p)de paramètresnetp. On définit alors lavariable

aléatoire fréquenceassociée à la variableXn: F n=Xn n.

Le caractèreCpeut apparaître,0fois, une fois, deux fois, ...,nfois dans l"échantillon de taillenet ceci avec une

fréquence égale à0 n=0,1n,2n, ...,kn, ...,n-1n,nn=1suivant le cas. Les valeurs prises par la variableFnsont

ces fréquences et chaque fréquence est une réalisation de lavariableFnet a une certaine probabilité d"être obtenue.

La variable aléatoireFnne prend pas des valeurs entières contrairement àXn. Par contre, les probabilités sont les

mêmes : pour tout entier naturelktel que0⩽k⩽n,P?Fn=k n?=P(Xn=k)=?n k?×pk×(1-p)n-k.

On note que l"espérance deFnest

E(Fn)=E?Xn

n?=1nE(Xn)=1n×np=p et l"écart-type deFnest

σ(Fn)=σ?Xn

n?=1nσ(Xn)=1n×?np(1-p)=?np(1-p) n2=? p(1-p) n.

Par exemple, en France, la probabilité qu"un individu donnéregarde une certaine émission de télé estp=1

8.

On demande à chaque personne d"un échantillon de500personnes si cette personne a ou n"a pas regardé l"émission.

Si on noteF500la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant effectivement regardé l"émission, la loi

de probabilité deF500est pour tout entier naturelktel que0⩽k⩽500,p?F500=k

500?=?500

k??18?k ?78?500-k © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr

Ainsi, la probabilité qu"exactement100personnes de l"échantillon aient regardé l"émission est environ6×10-7, la

probabilité que moins de60personnes de l"échantillon aient regardé l"émission est environ0,4(ces valeurs ont été

obtenues avec Excel). Enfin, dire que l"espérance deF500est égale à1

8=0,125revient à dire que, en répétant un grand nombre de fois

l"expérience qui consiste à choisir un échantillon de taille500, en moyenne, sur l"ensemble des échantillons de taille

500, une personne sur8d"un échantillon regarde l"émission.

2) Intervalles de fluctuation associés à une loi binomiale

a) Intervalles de fluctuation. Intervalles de fluctuation asymptotique Notations.SoitXnune variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresn?N?etp?]0,1[.

On noteFn=Xn

nla variable fréquence associée,Zn=Xn-np?np(1-p)la loi centrée réduite associée àXnetZune

variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Dans ce paragraphe,on suppose connue la proportionp.On choisit un échantillon de taillendans la population

et on s"intéresse aux probabilités du typeP(a⩽Fn⩽b)ou encoreP(Fn?[a,b]).

L"intervalle[a,b]est un intervalle dans lequelfluctuela variable fréquenceFnavec une certaine probabilité

calculée à partir de la fonction de répartition de la loi binomiale. De manière générale, on peut définir la notion

d"intervalle de fluctuation à un certain seuil :

Définition 1.Soitαun réel de]0,1[.

On dit que l"intervalle[a,b]est un intervalle de fluctuation deFn=Xn nau seuil1-αsi et seulement si p(Fn?[a,b])⩾1-α.

On va maintenant s"intéresser à un intervalle qui est une approximation d"un intervalle de fluctuation. C"est la

notion d"intervalle de fluctuation asymptotique.

On revient sur le théorème deMoivre-Laplace(théorème 1 du chapitre 18). Celui-ci a la conséquence suivante :

Théorème 1.Soitα?]0,1[. SoitIn=⎡⎢⎢⎢⎣p-uα?p(1-p)⎷n,p+uα? lim n→+∞P(Fn?In)=1-α.

Commentaire.Le fractileuαa été défini dans le théorème 4 du chapitre 18 :uαest l"unique réel strictement

positif tel queP(-uα⩽Z⩽uα)=1-α. Démonstration.Soitαun réel élément de]0,1[. F n?In?Xn n?In?p-uα? p(1-p)⎷n⩽Xnn⩽p+uα? p(1-p)⎷n ?np-uαn? p(1-p)⎷n⩽Xn⩽np+uαn? p(1-p)⎷n ?np-uα? np(1-p)⩽Xn⩽np+uα?np(1-p) (carn⎷n=⎷ n×⎷n⎷n=⎷n) ?-uα? np(1-p)⩽Xn-np⩽uα?np(1-p) ?-uα⩽Xn-np ?np(1-p)⩽uα ?-uα⩽Zn⩽uα.

Puisque les événementsFn?Inet-uα⩽Zn⩽uαse produisent simultanément, on en déduit qu"ils ont la même

probabilité :

P(Fn?In)=P(-uα⩽Zn⩽uα).

• Le théorème deMoivre-Laplaceaffirme quelimn→+∞P(-uα⩽Zn⩽uα)=P(-uα⩽Z⩽uα)(oùZsuit une loi

normale centrée réduite). • D"autre part,P(-uα⩽Z⩽uα)=1-αpar définition du fractileuα.

Donclimn→+∞P(Fn?In)=1-α.

© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr

probabilité queFnappartienne àInvaut environ1-α. Ce n"est pas un intervalle de fluctuation au seuil1-αau

sens de la définition 1 car la probabilité queFnappartienne àInpeut être strictement plus petite que1-α.

Néanmoins, l"intervalleIn" approche » un intervalle de fluctuation au seuil1-α. On dit queInest unintervalle

de fluctuation asymptotiqueau seuil1-α.

Le programme officiel de Terminale S donne la définition suivante d"un intervalle de fluctuation asymptotique :

Définition 2.Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoireFnau seuil1-αest un

intervalle déterminé à partir depet denet qui contientFnavec une probabilité d"autant plus proche de

1-αquenest grand.

On analyse maintenant un cas particulier d"intervalle de fluctuation asymptotique. Dans le chapitre précédent, on

a donné la valeur deuαquandα=0,05de sorte que1-α=0,95: u

0,05=1,959...

En particulier,u0,05<1,96. Par suite, l"intervalle⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? I n=⎡⎢⎢⎢⎣p-u0,05? p(1-p)⎷n,p+u0,05? P ⎝X n n?⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? ⩾P⎛⎝X p(1-p)⎷n,p+u0,05?

Commelimn→+∞P⎛⎝X

n n?⎡⎢⎢⎢⎣p-u0,05? p(1-p)⎷n,p+u0,05? =0,95, on a donc lim n→+∞P⎛⎝X n n?⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? ⩾0,95. On peut même être plus précis. La calculatrice donne lim n→+∞P⎛⎝X n n?⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? =P(-1,96⩽Z⩽1,96)=0,950004...

Donc,limn→+∞P⎛⎝X

n n?⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? >0,95. Par suite, en appliquant la définition de la limite d"une suite, à partir d"un certain rang, on aP⎛⎝X n n?⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? ⩾0,95 et on peut donc énoncer :

Théorème 2.Pour tout réelp?]0,1[, il existe un entier naturel non nuln0tel que, pour tout entier naturel

nsupérieur ou égal àn0, P p(1-p)⎷n;p+1,96? ⩾0,95.

Commentaire.L"entiern0dépend du réelp. Par exemple, on peut montrer que sipest proche de0ou proche

de1, l"entiern0est bien plus grand que sipest proche de1 2. Ainsi, l"intervalle⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96?p(1-p)⎷n;p+1,96?

seuil0,95quandnest grand ce qui motive une fois de plus l"appellation " intervalle de fluctuation asymptotique ».

Dans la pratique, on a l"habitude d"utiliser cet intervallequandn⩾30,np⩾5,n(1-p)⩾5(ces conditions sont

établies grâce à des calculs dépassant largement le niveau d"une classe de terminale ).

Résumons tout ce qui précède. Ce que l"on doit retenir et qui est l"essentiel du cours est :

© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr

1)L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil95%est

⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96?

2)sin⩾30,np⩾5etn(1-p)⩾5,

P p(1-p)⎷n;p+1,96? est environ égale à0,95.

3)pour tout réelp?]0,1[, il existe un entiern0dépendant deptel que sin⩾n0

P p(1-p)⎷n;p+1,96? ⩾0,95.

Commentaire.Attention, l"entier30du 2) n"est pas l"entiern0du 3) car même si on est dans les conditions

de validitén⩾30,np⩾5etn(1-p)⩾5, il est possible que la probabilitéP(Fn?In)soit strictement plus petite

que0,95bien que proche de0,95. b) L"intervalle de fluctuation de la classe de seconde

On va voir que l"" intervalle de la classe de seconde »Jn=?p-1⎷n,p+1⎷n?contient l"" intervalle de

Terminale »In=⎡⎢⎢⎢⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96?

Il s"agit pour cela de vérifier quep-1

⎷n⩽p-1,96? p(1-p)⎷n⩽p+1,96? p(1-p)⎷n⩽p+1⎷nce qui revient

à vérifier que1,96?

p(1-p)⩽1.

La fonctionf?x↦x(1-x)=-x2+xest un polynôme du second degré s"annulant en0et1. Puisque le coefficient

dex2est strictement négatif, la fonctionfadmet un maximum en1

2qui est le milieu de[0,1]. Ce maximum est

égal à

f?1

2?=12?1-12?=14.

1 1 1 21
4 y=x(1-x) Par suite, pour tout réelpde]0,1[,p(1-p)⩽14puis 1,96? p(1-p)⩽2×?1 4=1.

On peut donc énoncer :

Théorème 3.1)Pour tout réelp?]0,1[et tout entier naturel non nuln, ⎣p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96?

2)Il existe un entier naturel non nuln0tel que pourn⩾n0,P?Fn??p-1

⎷n,p+1⎷n??⩾0,95. ⎷n,p+1⎷n??est environ égale à0,95. © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.fr

3) Prise de décision au seuil de5%

Dans ce paragraphe,pn"est pas connuemais on fait une hypothèse surp: on suppose quepest égale à une

certaine valeur précisep0. On se demande alors si notre hypothèse est cohérente à partir de la connaissance d"un

échantillon de taillen.

On adopte la démarche suivante :

• On calcule la fréquencefd"appartion du caractère C dans l"échantillon. • On calcule l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil0,95:

I=⎡⎢⎢⎢⎣p

0-1,96?

p0(1-p0)⎷n,p0+1,96? • On applique larègle de décisionsuivante :

Sifn"appartient pas à l"intervalle de fluctuationI, on rejette l"hypothèse quep=p0au risque de se tromper de

5%et sifappartient à l"intervalleI, on peut accepter l"hypothèse faite surpmais on ne connait pas le rsique

de se tromper. Exercice 1.Dans un site sur Internet, on trouve le tableau ci-dessous qui donne la répartition des groupes sanguins en France :

OABABTotal

Rhésus positif37%39%7%2%85%

Rhésus négatif6%6%2%1%15%

Total43%45%9%3%100%

RhésusGroupe sanguin

Nous allons tester si ce tableau peut être considéré comme correct à partir d"un sondage effectué dans

une classe de Terminale S constituée de36élèves.

1) a)Quelle hypothèse peut-on faire sur la proportion de personnes ayant un rhésus négatif en France?

b)Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil95%correspondant. c)Enoncer la règle de décision que l"on va appliquer. d)Dans la classe,6élèves ont un rhésus négatif. Que peut-on en conclure?

2) a)Quelle hypothèse peut-on faire sur la proportion de personnes étant du groupe O en France?

b)Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil95%correspondant. c)Dans la classe,9élèves sont du groupe O. Que peut-on en conclure?

3)Quelle conséquence peut-on en tirer sur les données du tableau?

Solution.

1) a)On peut supposer qu"en France, la proportion des personnes ayant un Rhésus négatif estp0=0,15.

b)Ici,n=36etp=0,15. On note quen⩾30puisnp=5,4et doncnp⩾5et enfinn(1-p)=30,6et doncn(1-p)⩾5. L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil95%correspondant est ?0,15-1,96⎷

0,15×0,85⎷36;0,15+1,96⎷

0,15×0,85⎷36?.

En arrondissant les bornes de cet intervalle de manière à l"élargir un peu, on trouve l"intervalle[0,033;0,267].

c)La règle de décision est : " si la fréquence observée dans la classe n"appartient pas à cet intervalle, on rejette

l"hypothèse quep0=0,15avec un risque de5%de se tromper et si la fréquence observée appartient à cet intervalle,

on accepte l"hypothèse quep0=0,15mais on ne connait pas le risque de se tromper dans ce cas ». d)La fréquence des élèves ayant un rhésus négatif dans la classe est6

36=0,166...Cette fréquence appartient

à l"intervalle de fluctuation et on peut donc accepter l"hypothèse que15%des personnes ont un rhésus négatif mais

on ne connaît pas le risque de se tromper.

2) a)On peut supposer qu"en France, la proportion des personnes étant du groupe O estp0=0,43.

© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.5 http ://www.maths-france.fr b)Doncn=36etp=0,43. Donc,n⩾30,np⩾5etn(1-p)⩾5. L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil95%correspondant est ?0,43-1,96⎷

0,43×0,57⎷36;0,43+1,96⎷

0,43×0,57⎷36?.

En arrondissant les bornes de cet intervalle de manière à l"élargir un peu, on trouve l"intervalle[0,268;0,592].

c)La fréquence des élèves étant du groupe O dans la classe est9

36=0,25...Cette fréquence n"appartient pas

à l"intervalle de fluctuation et on peut donc rejeter l"hypothèse que43%des personnes sont du groupe O avec un

risque de se tromper de5%.

3)Si le pourcentage des rhésus négatifs est (peut-être) correct et le pourcentage des groupes O est (peut-être)

incorrect, il est possible que le pourcentage des personnesdu groupe O+donnée dans le tableau, à savoir37%, soit

un peu faux (peut-être).

II. Estimation

Dans le paragraphe précédent, on connaissait la proportionpou on faisait une hypothèse sur cette proportion.

Dans ce paragraphe, nous allons faire l"inverse.On connaît la fréquencefd"apparition du caractère C dans un

certain échantillon de tailleneton ne connaît pas la proportionpde la population possédant le caractère C.

On veut alors évaluer la proportionp. On note que la fréquencefest une réalisation de la variable aléatoireFn.

Cette situation est par exemple celle des sondages d"opinion avant une élection. On connaît, dans un " échantillon

représentatif » de la population, le pourcentage de gens votant pour tel candidat ou encore la fréquencefde

personnes de l"échantillon votant pour ce candidat, et on cherche à évaluer la proportionpde personnes votant

pour ce candidat dans la population toute entière. La réponse apportée ne sera pas pas la valeur exacte depbien

sûr, mais une fourchette dans laquelle se situepavec un certain niveau de confiance. Cette fourchette est un

intervalle associé à un certain niveau de confiance1-α, intervalle appeléintervalle de confiance au niveau

1-α. Par la suite, nous n"envisagerons que le niveau de confiance0,95.

Il s"agit d"inverser les rôles defetpà partir de l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil0,95de la classe

de seconde. Ceci se fait de la façon suivante : p-1 ?p⩽Fn+1 ⎷netFn-1⎷n⩽p ?Fn-1 ⎷n⩽p⩽Fn+1⎷n

En particulier,P?p-1

⎷n⩽Fn⩽p+1⎷n?=P?Fn-1⎷n⩽p⩽Fn+1⎷n?. Le théorème 3 peut alors se réénoncer

de la façon suivante :

Théorème 4.1)Il existe un entier naturel non nuln0tel que pourn⩾n0, l"intervalle aléatoire

?Fn-1 ⎷n,Fn+1⎷n?contientpavec une probabilité supérieure ou égale à0,95.

2)Pourn⩾30,nf⩾5,n(1-f)⩾5, l"intervalle aléatoire?Fn-1

⎷n,Fn+1⎷n?contientpavec une probabilité environ égale à0,95.

Revenons à notre problème : on se place dans la situation où onconnaît la fréquencefd"apparition du caractère

C dans un échantillon de taillen.

L"intervalle?f-1

⎷n,f+1⎷n?est alors une réalisation de l"intervalle aléatoire?Fn-1⎷n,Fn+1⎷n?.

Sinest suffisament grand, on peut affirmer avec un certain niveau deconfiance quepappartient à cet intervalle.

Plus précisément,

Définition 3.Sin⩾30,np⩾5etn(1-p)⩾5, l"intervalle?f-1⎷n,f+1⎷n?est appeléintervalle de

confiance de la proportionpau niveau de confiance95%. © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.6 http ://www.maths-france.fr

Commentaire 1.Chaque choix d"un échantillon fournit une fréquencefet donc chaque choix d"un échantillon

fournit un intervalle de confiance. Deux échantillons différents fourniront éventuellement deux intervalles de confiance

différents.

Commentaire 2.L"intervalle?f-1⎷n,f+1⎷n?contientpavec un niveau de confiance environ égal à95%si

n⩾30,np⩾5etn(1-p)⩾5et avec un niveau de confiance supérieur ou égal à95%sindépasse un certain

entiern0. Exercice 2.Une élection est organisée. Il y a deux candidatsC1etC2.

1)Un sondage est effectué auprès d"un échantillon représentatif de600personnes.

342personnes de l"échantillon ont l"intention de voter pour lecandidatC1.

Déterminer une fourchette dans laquelle se trouvera le pourcentage de personnes votant pour le candidatC1lors de l"élection avec un niveau de confiance de95%.

2)Déterminer la taille minimale que doit avoir l"échantillonpour que l"amplitude de l"intervalle

de confiance soit au maximum de2%.

Solution.

1)La fréquence de personnes de l"échantillon votant pour le candidatC1est

f=342

600=0,57.

L"intervalle de confiance au niveau de confiance95%est

I=?0,57-1

En arrondissant les bornes de manière à élargir légèrement cet intervalle, on obtient l"intervalle[0,529;0,611].

Donc, au niveau de confiance95%, on peut affirmer que le candidatC1aura entre52,9%et61%des suffrages lors

de l"élection.

2)Soitn(n?N?) la taille de l"échantillon etfla fréquence des personnes qui vote pour le candidatC1.

L"intervalle de confiance au niveau de confiance95%est

I=?f-1

⎷n,f+1⎷n?=[0,529...,0,610...].

L"amplitude de cet intervalle est

2 ⎷n. On veut donc que2⎷n⩽0,02. Or 2 Un échantillon de10000personnes donnera une fourchette d"amplitude2%au niveau de confiance95%.

Commentaire.Comme on l"a dit au début du chapitre, le cours est compliqué mais ce qu"il faut savoir faire

est simple. © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.7 http ://www.maths-france.frquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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