Le Mouvement Brownien Plan
LE MOUVEMENT BROWNIEN PLAN. 493. Ce resultat est en relation evidente avec les proprietes connues de la loi de Gauss a deux variables dans le cas isotrope:
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MOUVEMENTS PLANS – OSCILLATIONS
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Sur le mouvement des figures dans le plan et dans lespace
Considérons une figure plane en mouvement dans son plan. Soient .r^ ^ les coordonnées de l'un de ses points à l'instant initial; ses coordonnées au.
Département de Sciences Exactes
Polycopié
Destiné aux étudiants de 1ière année Sciences ExactesPEM et PES
Rédigé par : Dr. BOUKLI
-HACENE NassimaMaître de conférences classe " B », ENSO
Année Universitaire : 2018/2019
Cinématique et dynamique du
point matériel (Cours et exercices corrigés)Table des matières
____Introduction .................................................................................................................... i
I. Calcul vectoriel ......................................................................................................... 1
1. Introduction ........................................................................................................... 1
2. Le vecteur unitaire ................................................................................................. 1
3. ......................... 1
4. Les opérations sur les vecteurs .............................................................................. 2
La somme des vecteurs ................................................................................... 2
La soustraction des vecteurs ........................................................................... 3
Le produit scalaire entre deux vecteurs .......................................................... 3 Le produit vectoriel entre deux vecteurs ......................................................... 3Le produit mixte .............................................................................................. 5
5. Les opérateurs différentiels ................................................................................... 5
5.1. Définitions ....................................................................................................... 5
5.2. Les opérateurs ................................................................................................. 6
Opérateur Nabla .............................................................................................. 6
Le gradient ...................................................................................................... 6
Le divergent .................................................................................................... 6
Le rotationnel .................................................................................................. 6
Le laplacien ..................................................................................................... 7
II. Cinématique du point matériel ............................................................................. 8
1. Introduction ............................................................................................................ 8
2. ........................................... 8
2.1. La position du mobile .................................................................................... 8
2.2. La trajectoire .................................................................................................. 9
2.3. Le vecteur déplacement ................................................................................. 9
2.4. Le vecteur vitesse ........................................................................................ 10
2.5. Le vecteur accélération ................................................................................ 10
3. Différents types de mouvements et les différents systèmes de coordonnées ....... 11
3.1. Le mouvement rectiligne .............................................................................. 11
Le mouvement rectiligne uniforme .............................................................. 11 Le mouvement rectiligne uniformément varié............................................. 11Le mouvement rectiligne varié .................................................................... 12
Le mouvement rectiligne sinusoïdal ............................................................ 13
3.2. Le mouvement dans le plan .......................................................................... 14
Les coordonnées polaires ............................................................................. 14
Le mouvement curviligne ............................................................................ 16
Le mouvement circulaire ............................................................................. 17
3.3. ........................................................................ 18
Mouvement suivant les coordonnées cartésiennes ...................................... 18 Mouvement suivant les coordonnées cylindriques ...................................... 19 Mouvement suivant les coordonnées sphériques ......................................... 204. Le mouvement relatif........................................................................................... 22
4.1. La position ..................................................................................................... 22
4.2. La vitesse ....................................................................................................... 22
................................................................................................ 23 ............................................. 24 ....................... 25III. Dynamique du point matériel .............................................................................. 26
1. Introduction .......................................................................................................... 26
2. Notion de force ..................................................................................................... 26
3. .................................................................................................. 27
................................................................... 244. Concept de masse ................................................................................................. 28
5. La quantité de mouvement ................................................................................... 28
6. Les lois de Newton ............................................................................................... 28
1ière loi de Newton ......................................................................................... 29
2ième loi de Newton ........................................................................................ 29
3ième loi de Newton ........................................................................................ 29
Loi de gravitation universelle ....................................................................... 30
Champs gravitationnel .................................................................................. 30
7. Force de liaison ou force de contact ..................................................................... 31
7.1. ................................................................................... 31
7.2. Forces de frottement ..................................................................................... 31
Forces de frottement statiques ...................................................................... 31
Forces de frottement dynamiques ................................................................ 32Forces de frottement dans les fluides ............................................................ 33
8. Forces élastiques .................................................................................................. 34
9. pseudo-forces ........................................................................ 34
10. Moment cinétique .............................................................................................. 35
Théorème du moment cinétique ................................................................... 35
11. Conservation du moment cinétique et forces centrale ....................................... 36
Exercices corrigés ......................................................................................................... 37
Bibliographie ............................................................................................................... 47
Introduction i
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesIntroduction
___ Ce polycopié présente des cours sur la cinématique et la dynamique du point matériel et quelques exercices. Il est destiné aux étudiants de la première année professeur La cinématique et la dynamique du point est une partie du module de la mécanique du temps (la cinématique), et étudier les forces qui provoquent ou modifient leur mouvement (la dynamique).Ce manuscrit est subdivisé comme suit :
est nécessaire pour exprimer les lois physiques. Nous déterminons la notion de vecteur, ensuite nous montrons les opérations sur les vecteurs : la somme, la soustraction et le produit des vecteurs et nous terminons cette partie par les opérateurs différentiels (opérateur nabla, gradient, divergent, rotationnel et le laplacien).La deuxième partie est destinée à la cinématique du point matériel. Nous présentons
déplacement, vitesse et le vecteur accélération. Ensuite, nous étudions les différents
types de mouvement et les différents systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, translation et l La troisième partie de ce polycopié est consacrée à la dynamique du point matériel. présentons ensuite les trois lois de Newton de la dynamique et nous étudions lesdifférentes forces (forces de contact, forces de frottement, forces élastiques et les
Nous terminons cette partie par déterminer le moment cinétique et les forces centrales. À la fin de ce polycopié, nous proposons quelques exercices corrigés.Calcul vectoriel 1
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesII. Calcul vectoriel
1. Introduction :
On classe les grandeurs physiques suivant deux catégories : les grandeurs scalaires et les grandeurs vectorielles. Une grandeur scalaire est une valeur numérique réelle utilisée pour représenter certaines quantités telles que Une grandeur vectorielle est une grandeur qui a une valeur numérique réelle et une direction telle que : la vit - Le support (la droite (AB)) - La direction ou le sens du vecteur (de A vers B) - Le module ou la norme du vecteur : valeur numérique réelle qui représente la longueur du vecteur (la distance entre A et B)2. Le vecteur unitaire :
Le vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1. On exprime un vecteur 3. : Un vecteur est décrit par ces composantes qui sont déter Ce repère peut être linéaire (une seule composante x), plan (deux composantes) ouLe repère cartésien est un repère orthonormé : les vecteurs unitaires doivent être
Le vecteur ܸ
A BFigure 2 : P
plan (O, ଓԦ,ଔԦ) x Vx Vy y OCalcul vectoriel 2
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesLes composantes du vecteur ܸ
écrit :
Le module du vecteur ܸ
Le vecteur ܸ
VxĮ
Vyȕ
Vz= V cos ș
Les composantes du vecteur ܸ
Le module du vecteur ܸ
4. Les opérations sur les vecteurs :
La somme des vecteurs
Le module de ܵ
x y ܸ O zFigure 3 : P
Figure 4 : Somme de deux vecteurs
Calcul vectoriel 3
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesLa soustraction des vecteurs
On obtient le module de ܦ
OuLe produit scalaire entre deux vecteurs
scalaire. tre part : - Propriétés du produit scalaire :Exemple :
Figure 5 : Soustraction de deux vecteurs
Calcul vectoriel 4
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesLe produit vectoriel entre deux vecteurs
formé par ces deux vecteurs.La direction du vecteur ܹ
Le module du vecteur ܹ
Le produit vectoriel peut être calculé à partir de la méthode du déterminant : À partir de cette relation, on peut calculer le module de ܹ O A BC ܸ
Calcul vectoriel 5
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesRemarque :
- Propriétés du produit vectoriel :Exemple :
Le produit mixte entre trois vecteurs
On définit le produit mixte entre trois vecteurs ܸExemple :
Calcul vectoriel 6
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes5. Les opérateurs différentiels :
5.1. Définitions :
fonctio tel que ܨ Par contre, si la fonction dépend de plusieurs v Une fonction à deux variables est une fonction qui dépend de deux variables : F=f(x,y) Une fonction à trois variables est une fonction qui dépend de trois variables x, y et z :F=f(x, y, z)
Avec డ
డ௭ sont des différentielles partielles.Exemple :
Sa différentielle totale est :
Il existe des fonctions algébriques à plusieurs variables et des fonctions vectorielles à plusieurs variables5.2. Les opérateurs :
- Opérateur nabla - Le gradient Le gradient est un opérateur qui agit sur les fonctions algébriques et les transforme en fonction algébrique f comme suit :Exemple :
Soit f(x,y,z)= xyz2.
Calcul vectoriel 7
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes - Le divergent Le divergent est un opérateur qui agit sur les fonctions vectorielles et les transforme enExemple :
- Le rotationnelExemple :
- Le laplacien Le laplacien est définit comme étant le divergent du gradient ou le gradient du divergent - vante :Cinématique du point matériel 8
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesII. Cinématique du point matériel
1. Introduction :
tenir compte des causes qui provoquent ou modifient le mouvement (les forces, On suppose que le corps étudié est un point matériel. On considère que les dimensions du corps sont très petites devant la distance parcourue. La notion du mouvement est relative. Un corps peut être, en même temps, en mouvement par rapport à un corps et en repos par rapport à un autre. Par conséquent, ilest nécessaire de définir un repère pour déterminer la position, la vitesse ou
rapport à ce repère. On définit plusieurs systèmes de coordonnées selon la nature du mouvement du point matériel. Cartésien, polaire, cylindrique et sphérique. 2. :2.1. La position du mobile :
vecteur ܯܱ Sur la figure 7, nous montrons le vecteur position de M suivant le repère cartésien et sa trajectoire. zFigure 7 : Vecteur position ܯܱ
y M(tn)M(t0) M(t1)
M(t2)Trajectoire
M(t) x OCinématique du point matériel 9
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes Les composantes x, y et z du vecteur position dans la base cartésienne sont les coordonnées cartésiennes du mobile M. Ces coordonnées changent avec le temps car le mobile M est en mouvement : x(t), y(t), z(t). Les fonctions x(t), y(t) et z(t) sont appelées les équations horaires du mouvement.2.2. La trajectoire :
La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours au point 7). La trajectoire définit la nature du mouvement. Si la trajectoire est rectiligne, le mouvement est rectiligne et si elle est curviligne le mouvement est curviligne.Équation de la trajectoire :
quation de la trajectoire, il faut éliminer le temps entre leséquations horaires.
Exemple :
y=2 ቀ௫ y=x+1 qui signifie que le mouvement est rectiligne.2.3. Le vecteur déplacement :
1, il est
au point M1 et à un instant t2, il est au point M2 (figure). On définit le vecteur ܯଵܯ
vecteur de déplacementFigure 8 : Vecteur déplacement ܯଵܯ
y M2 M1 x O ଓԦCinématique du point matériel 10
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes2.4. Le vecteur vitesse
La vitesse moyenne
La vitesse moyenne est la variation de la distance entre deux positions M1, M2 occupées par le mobile par rapport au temps écoulé entre ces deux positions. Elle est définit comme suit :ο௧ ǻ2-x1
vecteur de déplacement.La vitesse instantanée
Le vecteur de la vitesse instantanée est tangent à la trajectoire et sa direction suivant la direction du mouvement. Les coordonnées du vecteur vitesse suivant les coordonnées cartésiennes sont : Soit: ܯܱ2.5. Le vecteur accélération
au temps. Soit v1 la vitesse du mobile à un instant t1 et v2 sa vitesse à instant t2. Le mobile subit une accélération moyenne telle que :Le vecteur ܽ
Les coordonnées du vecteur accélération suivant les coordonnées cartésiennes sont: Soit:Cinématique du point matériel 11
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes3. Différents types de mouvements et les différents systèmes de coordonnées
3.1. Le mouvement rectiligne
mobile M est repéré par les coordonnées cartésiennes selon la droite Ox (si le
mouvement est linéaire suivant Ox)Le mouvement rectiligne uniforme
Le mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par une vitesse constante et parAvec : x0 0
- Diagramme du mouvement rectiligne uniforme:Le mouvement rectiligne uniformément varié
Le mouvement rectiligne uniformément varié est caractérisé par une accélération
constante :Avec v0 0
x(t) v(t) a(t) a=0 v=constante x(t) = v t + x0 x0 t t tCinématique du point matériel 12
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesSi t0uniformément varié devient :
Si ܽ
Si ܽ
Remarque : le mouvement rectiligne uniformément varié est caractérisé par une accélération constante qui peut être calculé comme suit : x1 est v1 1 - Diagramme du mouvement rectiligne uniformément varié:Le mouvement rectiligne varié
Le mouvement rectiligne varié est caractérisé par une accélération qui dépend du
temps. x0 x(t) v(t) a(t) t t t v0Cinématique du point matériel 13
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes t(s) a (t) v(t) x(t) 0 x (t), v(t) et a (t)Exemple :
Soit un mobile se déplace à une accélération a = 2t-1.0=0s, v0=0m/s et x0=0m.
Le mouvement rectiligne sinusoïdal
sinusoïdale en fonction du cosinus ou sinus tel que : xmȦmouvement
La vitesse est la dérivée de x(t) tel que:
- Diagramme du mouvement rectiligne sinusoïdal :Cinématique du point matériel 14
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes3.2. Le mouvement dans le plan
Si la trajectoire du mobile est dans le plan, nous étudions le mouvement suivant lesLes coordonnées polaires
La base cartésienne est une base fixe alors que la base polaire est une base qui dépend du mobile M qui est en mouvement en fonction du temps.Suivant les coordonnées polaires, ܯܱ
Les composantes de ܯܱ
polaires les composantes de ܯܱ - Lien entre le système de coordonnées cartésiennes et le système de coordonnées polaires et vice versa : y M x O ଓԦCinématique du point matériel 15
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes - Expression du vecteur vitesse suivant les coordonnées polairesLa dérivée du vecteur ܷ
Exemples :
- Expression du vecteur accélération suivant les coordonnées polaires Figure 10 : Dérivation successive par rapport au re x yCinématique du point matériel 16
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences ExactesLe mouvement curviligne
Le mouvement curviligne est caractérisé par une trajectoire curviligne qui nécessite la connaissance du rayon de courbure R et le centre C (figure 10). 2. - Base de Frenet : La base de Frenet est une base reliée au mobile en mouvement curviligne. Elle est trajectoire.Figure 11: Mouvement curviligne
y M2 x O M1 M1 M2 C R y x O SCinématique du point matériel 17
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes Si ȁݒԦȁ t est nulle. On dit que le mouvement et curviligne uniforme : ܽԦൌܽ R est le rayon de courbure de la trajectoire qui est déterminé comme suit :Le mouvement circulaire
Le mouvement circulaire est un mouvement dont la trajectoire est un cercle de rayon R R est le rayon du cercle et (x0, y0) sont les coordonnées du centre du cercle. me suit :Le vecteur vitesse est :
Le vecteur accélération est :
normale ܽൌߠܴFigure 12: Mouvement circulaire
O RM ݒԦ
Cinématique du point matériel 18
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes Si le module de la vitesse ݒ ou la vitesse angulaire ߱ mouvement est circulaire uniformément varié. 3.3. Mouvement suivant les coordonnées cartésiennesLes vecteurs
cartésiennes comme suit :Mouvement suivant les coordonnées cylindriques
Le vecteur position ܯܱ
y x zFigure 13 : Vecteur Position suivant les
X Y O Z M mCinématique du point matériel 19
Dr. N. BOUKLI-HACÈNE 1ière année PEM, PES Sciences Exactes - Lien entre les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes - Expression du vecteur vitesse suivant les coordonnées cylindriquesNous rappelons que :
Donc le vecteur vitesse est :
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