[PDF] [PDF] Exercices corrigés darithmétique

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x + y = 1 x - y = 13 x + y = 13 x - y = 1 x + y = -1 x - y = -13 x + y = -13 x - y = -1 x = 7 y = 6 x = 1

2x2 +y = 11

x = 11

2x2 +y = 1

x = -1

2x2 +y =-11

x = -11

2x2 + y = -1

Exercices corrigés d"arithmétique

Diviseurs -Division euclidienne :

Exercice 1 :

1) Démontrer que a | b si et seulement si pour tout k de ?, a | (b-ka).

2) Déterminer les entiers relatifs a, tels que (a-5) | (a + 7).

Une solution :

1) a | a. Si a | b alors a divise toute combinaison linéaire de a et b, donc pour tout kÎ ? , a | (b-ka).

Soit k Î ? si a | (b-ka) alors il existe q Î ? tel que b-ka = qa d"où b = (q +k) a, donc a | b.

Par conséquent, a | b si et seulement si pour tout k de ?, a | (b-ka).

2) D"après la question 1) (a-5) | (a + 7) Û a-5 | (a + 7)- (a-5) ) Û a-5 |12 ;

d"où a-5 Î {1,2,3,4,6,12,-1,-2,-3,-4,-6,-12} donc aÎ {6,7,8,9,11,17,4,3,2,1,-1,-7}.

Exercice 2 :

Déterminer les entiers naturels n tels que : n -1 divise n+3.

Une solution :

Si n -1 divise n+3 alors n -1 divise -( n -1 ) + n+3 d"où n -1 divise 4, donc n-1 =1 ou n-1= 2 ou n-1 = 4 n =2 ou n = 3 ou n =5. Les entiers naturels n tels que : n -1 divise n+3 sont : 2, 3 et 5.

Exercice 3 :

1) Résoudre dans IN

2 l"équation : x2 - y2 = 13.

2) Résoudre dans ?2 l"équation : 2x3 + xy -11 = 0

Une solution :

1) x

2 - y2 = 13 Û (x-y)(x +y) = 13

Û ( (x-y)(x +y) = 13, x-y | 13 et x + y | 13 ) Les diviseurs de 13 sont 1, 13 et leurs opposés.

Par conséquent :

x

2 - y2 = 13 Û ou ou ou

Dans ?2, le premier et les deux derniers systèmes n"ont pas de solutions x

2 - y2 = 13 Û S = {(7, 6)}

2) 2x

3 + xy -11 = 0 Û x(2x2 +y) =11Û ( x(2x2 +y) =11, x |11 et 2x2 +y | 11 )

Les diviseurs de 11 sont 1, 11, et leurs opposés ;

Par conséquent :

2x

3 + xy -11 = 0 Û ou ou ou

S= { (1, 9), (11, -241), (-1, -13), (-11, -243) }

Exercice 4 :

Montrer que

? n Î ? 25n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29.

Une solution :

2

0+ 1 + 30 + 3 = 29 est un multiple de 29 ;

Supposons que 2

5n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29 pour un entier naturel n ; c"est à dire que

2

5n+ 1 + 3n + 3 = 29k, kÎ ?.

Démontrons que 2

5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 est un multiple de 29.

2

5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 = 25n+ 1´25 + 3n + 3 ´3 = 25n+ 1´25 + 3´ (29k-25n+ 1)

= 25n+1( 32-3) + 3´ 29k = 29(25n+1 + 3k) ; d"où 2

5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 est un multiple de 29.

Par conséquent : ? n Î ? 25n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29.

Exercice 5 :

On considère la fraction q

n=

7 -n19+n ; n étant un entier naturel strictement supérieur à 7.

1) Comment choisir n pour que q

n soit simplifiable ?

2) Déterminer n pour que q

n soit égale à un entier naturel.

Une solution :

1) q n= 1 + 7-n

26, nÎ?, n >7

q n est simplifiable si 26 et n-7 ont des diviseurs en communs distincts de 1. Les diviseurs de 26 distincts de 1 sont : 2, 13 et 26.

Par conséquent : q

n est simplifiable si et seulement si : 2 | n-7 ou 13| n-7 ou 26| n-7 ;

Par suite q

n est simplifiable si et seulement si n = 2k +7 ou n = 13k +7 ou n= 26k + 7, k Î?*. 2) q n est un entier naturel si et seulement si n-7 divise 26 q n Î? Û ( n-7 = 1 ou n-7 = 2 ou n-7 = 13 ou n-7 =26 )

Û n = 8 ou n = 9 ou n = 20 ou n = 33

Par conséquent : q

n Î? Û nÎ { 8, 9, 20, 33 }.

Exercice 6 :

Soit n un entier naturel non nul. Déterminer le reste de la division euclidienne de : 1) n

2 + 2n par n + 1.

2) 7n +15 par 3n+ 2.

Une solution :

1) n

2 +2n = n(n+1) + n avec 0£ n < n+1. Quel que soit n Î?* , 0 £ n < n+1,

donc n est le reste de la division euclidienne de n

2 + 2n par n + 1.

2) 7n + 15 = 2(3n +2) +n +11, avec 0£ n + 11 < 3n+2

n + 11 < 3n+2 Û n > 2 9 ; d"où si n ³ 5 alors le reste de la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2 est n +11. Si 0 < n £ 4 alors n + 11 ³ 3n+2 . On augmente le quotient d"une unité du diviseur : 7n + 15 = 3(3n +2) +n +11-3n-2 =3(3n +2)-2n + 9 avec 0£ -2n + 9 < 3n+2

0£ -2n + 9 < 3n+2 Û ( n £

2

9 et n >

5

7) Û nÎ {2, 3, 4}.

Par conséquent, si nÎ{2, 3, 4}alors le reste de la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2est -2n + 9.

Si n = 1 alors On augmente le quotient d"une unité du diviseur, dans la division euclidienne précédente.

7n + 15 = 4(3n +2)-2n + 9-3n-2 = 4(3n +2) -5n+7 avec 0£ -5n+7 < 3n+2

0

£ -5n+7 < 3n+2 Û ( n £

5

7 et n >

8

5) Û n = 1

Si n=1 alors le reste est -5n+7 =2

Remarque : On pourrait pour 0< n £ 4 faire la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2 en remplaçant n

respectivement par 1 ; 2 ; 3 et 4.

PGCD - PPCM

Exercice 1:

Calculer pour tout entier naturel n non nul :

1) PGCD (n, 2n+1) et PPCM (n, 2n+1) 2) PGCD (2n+2,4n+2) et ¨PPCM (2n+2,4n+2).

Une solution :

1)

-2´n +1´(n +1) =1. D"où n et 2n + 1 sont premiers entre eux d"après le théorème de Bézout.

Par suite PGCD (n, 2n+1) =1 et PPCM (n, 2n+1) = n(2n+1).

2) PGCD (2n+2,4n+2) = PGCD (2(n+1),2(2n+1)) = 2 PGCD (n+1,2n+1)

On a : 2´(n +1) -1´(2n +1) = 1. On en déduit d"après le théorème de Bézout que n+1 et 2n+1 sont

premiers entre eux. Par suite PGCD (2n+2,4n+2) = 2´1 = 2 et PPCM (2n+2,4n+2) = 2(n +1)(2n +1).

Exercice 2 :

Déterminer le plus petit entier naturel dont les restes sont 5 ; 13 ; 17 lorsqu"on le divise respectivement

par 15 ; 23 ; 27.

Une solution :

Soit N cet entier naturel. Il existe des entiers relatifs q1, q2 et q3 tels que :

N = 15q1 + 5, N = 23 q2 + 13 et N = 27q3 + 17 ;

d"où N + 10 = 15(q1 + 1), N + 10 = 23(q2 + 1) et N + 10 = 27(q3 + 1).

Il en résulte que N + 10 est multiple commun de 15, 23 et 27. N étant le plus petit de ces multiples alors

N + 10 = PPCM (15, 23, 27) = 27´23´5 = 3105 ; d"où N = 3105 -10 = 3095.

Exercice 3:

Le nombre d"élèves d"une classe est inférieur à 40. Si on les regroupe par 9 ou par 12, il en reste 1 chaque

fois. Quel est ce nombre ?

Une solution :

Soit n ce nombre.

n = 9 q1 +1 et n = 12 q2 +1 ; d"où n-1 est un multiple commun à 9 et 12, inférieur à 40.

Par conséquent : n-1 = 36, d"où n = 37.

Exercice 4 :

Deux entiers a et b ont pour PGCD, d.Quel est le PGCD des entiers x = 13a+ 5b et y = 5a + 2b.

11x = - 16y (1)

16 | 11x (2)

Une solution :

PGCD ( a, b) = d. Posons PGCD(x,y) = D.

Tout diviseur commun à a et b divise x et y qui sont des combinaisons linéaires de a et b. Par conséquent, d est diviseurs commun de x et y, d"où d £ D. On déduit de x et y que a= 2x -5y et b = -5x+13y.

Tout diviseur commun à x et y divise a et b qui sont des combinaisons linéaires de x et y ; d"où D £ d.

Par conséquent d = D. Donc PGCD(x, y) =d.

Equations diophantiennes du type : ax ++++by ==== c Exercice 1 : Résoudre dans ?2 l"équation : 11x + 16y = 0

Une solution :

11x + 16y = 0 Û 11x= - 16y Û

16 | 11x et PGCD(11, 16) = 1, d"après le théorème de Gauss 16 divise x ; donc x = 16k , kÎ ?.

On déduit de (1) que y = -11k. S= {(16k, -11k), kÎ ? }

Exercice 2 :

1) a) Montrer que l"équation 59x + 68y = 1 admet une solution dans ?2.

b) Résoudre dans ?2 l"équation 59x + 68y = 1.

2) Résoudre dans ?2 l"équation 59x + 68y = 2.

Une solution :

1)a) PGCD(59, 68) = 1, d"après le théorème de Bézout il existe deux entiers relatifs u et v tels que

59u + 68v =1. D"où (u, v) est une solution de l"équation ; donc l"équation admet une solution.

b) Recherche d"une solution particulière par l"algorithme d"Euclide : a b q r Formons r = a - bq

68 59 1 9 a = b +9, 9= a-b

59 9 6 5 b = 6(a-b) +5 ; 5 = 7b -6a

9 5 1 4 a-b =-6a + 7b +4 ; 4 = 7a -8b

5 4 1 1 7b -6a =7a -8b + 1

On en déduit que -13a + 15b =1 et que le couple (15,-13) est solution de l"équation.

59x +68y =1.

59x +68y =1Û 59(x-15) + 68(y +13) = 0

Û 59(x-15) = - 68(y +13) Û

68| 59(x-15) et PGCD(68, 59) = 1, d"après le théorème de Gauss 68 | x-15

68 | x-15 donc x = 68k + 15 , kÎ ՗

En remplaçant x dans (*) on obtient : y = -59k - 13.

S = {(68k+15, -59k - 13), kÎ՗}

2) Le couple (15,-13) est solution de l"équation 59x +68y =1. On en déduit que le couple (30, -26) est

solution de l"équation 59x +68y =2 (E). (E) Û59(x-30) =-68(y+26) Û

59(x-15) = - 68(y +13) (*)

68| 59(x-15)

59(x-30) =-68(y+26) (**)

68| 59(x-30)

68| 59(x-30) et PGCD(68, 59) = 1, d"après le théorème de Gauss 68 | x-30

68 | x-30 donc x = 68k + 30 , kÎ ՗

En remplaçant x dans (**) on obtient : y = -59k - 26.

S = {(68k+30, -59k - 26), kÎ՗}.

Congruence

Exercice 1 :

1) Vérifier que 1000 º1 [37] et en déduire que pour tout entier naturel n, on a 103n º 1 [37].

2) En déduire le reste de la division euclidienne de 1 001 037 par 37.

Une solution :

1) 1000 = 27´37 + 1 d"où 1000 º1 [37].

1000= 103 , 103 d"où pour tout entier naturel n (103)n º1n [37] donc 103n º 1 [37].

2) 1001037 = 106 + 103 + 37

D"après 1) 10

6 º 1 [37] , 103º 1 [37] et 37 º 0 [37].

Par addition 10

6 + 103 + 37 º 2 [37] ; donc 1001037º 2 [37]. Par conséquent 2 est le reste de la division

de 1001037 par 37.

Exercice 2 :

1) Montrer que 67

89-1 est un multiple de 11.

2) Pour quelles valeurs de n entier naturel, 5

2n + 5n + 1 est un multiple de 3 ?

Solution

1) 67 = 6´11 + 1 d"où 67 º1 [11] , 6789 º189 [11] et 6789 º1 [11] ; donc 6789 -1 est un multiple de 11.

2) 5 º -1 [3] d"où 52 º1 [3].

On en déduit que pour tout entier naturel n : 5 n º (-1)n [3] et 52n º1 [3]. et 1 º1 [3] ; d"où par addition 52n + 5n +1 º 2+ (-1)n

Si n est pair alors 2+ (-1)n = 3 º0 [3].

Si n est impair alors 2+ (-1)n = 2 º2 [3].

Par conséquent 5

2n + 5n +1 est un multiple de 3 si n est pair.

Exercice 3 :

Démontrer que le carré de tout entier naturel est de la forme 5n-1 ou 5n ou 5n + 1, n entier naturel.

Une solution :

Soit NÎՐ. N º 0 [5] ou N º 1 ou N º 2 [5] ou N º 3 [5] ou N º4 [5].

Si N º 0 [5] alors N2 º 0 [5]

Si N º 1 [5] alors N2 º 1 [5]

Si N º 2 [5] alors N2 º 4 [5] et 4 º -1 [5] d" où N2 º -1 [5] Si N º 3 [5] alors N2 º 9 [5] et 9 º -1 [5] d"où N2 º -1 [5] Si N º 4 [5] alors N2 º 16 [5] et 16 º 1 [5] d"où N2 º 1 [5] ; donc N

2 º 0 [5] ou N2 º 1 [5] ou N2 º -1 [5]

Par conséquent il existe n entier naturel tel que N = 5n ou N = 5n +1 ou N = 5n-1, donc le carré de tout

entier naturel est de la forme 5n-1 ou 5n ou 5n + 1.

Exercice 4 :

Résoudre dans ՗ : 1) 14x º 3 [4] ; 2) 3x º 1 [5]

5x º 2 [7]

Une solution :

1) 14x º 3 [4] Û 14x + 4k =3, kÎ ՗.

Û2(7x +2k) = 3

?2 divise 3, ce qui est faux.

S = AE ;

2) 3x º 1 [5] 3x + 5k =1 , kÎ՗

5x º 2 [7] 5x +7k" = 2, k"Î՗

3x + 5k =1 (1)

Le couple (2,-1) est uns solution de (1).

(1) Û 3(x-2) +5(k+1) =0 Û 3(x-2) = -5(k+1) et 5 | 3(x-2)

5 | 3(x-2) et PGCD (5, 3) =1, d"après le théorème de Gauss 5| x-2.

5| x-2 donc x = 5q +2, qÎ՗.

Par conséquent 3x º 1 [5] équivaut à x = 5q +2, qÎ՗. ;

5x +7k" = 2 ( 2)

PGCD(5, 7) =1 d"où il existe u et v entiers relatifs tels 5u+7v =1 (*) Le couple (3,-2) est solution de (*) ; d"où le couple (6, -4) est solution de (2). (2) Û 5(x-6) +7(k"+4) =0 Û 5(x-6) =-7(k"+4) et 7 | 5(x-6).

7 | 5(x-6) et PGCD(5, 7) =1,d"après le théorème de Gauss 7 | x-6.

7 | x-6 donc x = 7q" + 6, q"Î ՗. Par conséquent 5x º 2 [7] équivaut à x = 7q" + 6, q"Î ՗.

Par suite

3x º 1 [5] x = 5q +2, qÎ՗

5x º 2 [7] x = 7q" + 6, q"Î ՗

x = 5q +2 et 5q +2 = 7q" + 6

5q +2 = 7q" + 6 5q -7q"= 4 (3).

Le couple (3, 2) est solution de l"équation 5q -7q"= 1 ; d"où le couple (12, 8) est solution de l"équation

5q -7q"= 4.

(3) Û 5(q-12) -7(q"-8) = 0 Û5(q-12) = 7(q"-8) et 7| 5(q-12)

7| 5(q-12) et PGCD (7, 5) =1, d"après le théorème de Gauss 7| q-12.

7| q-12 donc q = 7k+ 12, kÎ՗

Par suite x = 5(7k+ 12) +2 = 35k + 62 ;

S = {35k+ 62, kÎ՗ }.

Exercices de synthèse :

Exercice 1 :

Soit n un entier naturel non nul. On considère deux nombres a et b définis par : a = 2n+3 et b =5n-2.

1) Démontrer que le PGCD de a et b divise 19.

2) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de a et b est 19.

Une solution :

1) a = 2n+3 et b =5n-2 ; nÎ Ր.

Tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire de a et b ; d"où le PGCD (a, b) divise

5a-2b = 19.

Par suite PGCD (a, b) divise 19.

2) Si PGCD (a, b) = 19 alors il existe deux entiers a" et b" premiers entre eux tels que : a =19a" et b =19b"

5a-2b = 19 Û 19( 5a" -2b") =19 Û 5a" -2b"=1 (E)

Le couple (1, 2) est solution de (E).

(E) Û 5(a"-1)-2(b"-2) = 0 Û5(a"-1) = 2(b"-2) et 5| 2(b"-2).

5| 2(b"-2) et PGCD(5, 2) = 1, d"après le théorème de Gauss 5| b"-2 ;

5| b"-2 d"où b" = 5k +2, kÎ Ր.

On a : b = 19b" d"où 5n -2 =19(5k+ 2) ; n = 19k + 8 ; donc PGCD (a, b) = 19 si ; n = 19k + 8, kÎՐ.

Exercice 2 :

1) Trouver une solution particulière dans

՗2 de l"équation (E1) : 15x + 8y = 1.

2) Résoudre dans ՗2 l"équation (E2) : 15x + 8y = 1000 ;

3) De combien de façons peut-on obtenir exactement 1000 points en lançant des fléchettes sur la cible ci-

dessous ? (le nombre de fléchettes n"est pas limité et on suppose qu"elles atteignent toutes les cibles.)

Une solution :

1) Le couple (-1, 2) est solution de l"équation (E1).

2) (-1, 2) est solution de l"équation (E1), d"où le couple (-1000, 2000) est une solution de l"équation (E2).

(E

2) Û 15(x + 1000) + 8(y-2000) = 0 Û 15(x + 1000) =- 8(y-2000) et 8| 15(x + 1000)

8| 15(x + 1000) et PGCD(8, 15) = 1 alors d"après le théorème de Gauss 8| x+ 1000

D"où x = 8k-1000, kÎ՗ et y = -15k+ 2000, kÎ ՗.

S = {(8k-1000, -15k+ 2000), kÎ՗}

3) Soit x et y le nombre de flèches qui atteignent respectivement le disque et la couronne.

On déduit de 2) que : 15x + 8y = 1000 Û x = 8k-1000 et y = -15k+ 2000, (x, y)ÎՐ2 ,kÎZ.

(8k-1000 ³ 0 et -15k+ 2000 ³ 0, kÎ՗ ) Û 8

1000£ k £

15

2000 d"où kÎ[125, 133]ÇՐ ;

Le nombre de façons d"obtenir exactement 1000, correspond au nombre de façons de choisir le couple

(x, y) solution de l"équation. A chaque valeur de k correspond un couple (x, y) ; k prend 9 valeurs possibles de125 à 133.

Par conséquent il y a 9 façons d"obtenir exactement 1000 points en lançant des fléchettes sur cette cible.

Exercice 3 :

On considère la suite (u

n ) d"entiers naturels définis par uo = 14 et un+1 =5un -6 ; nÎՐ

1) Calculer u

1, u2, u3, et u4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de

u n ?

2)a)Montrer que " nÎՐ, un+2 º un [4].

b) En déduire pour tout k

ÎIN u2k º 2 [4] et u2k+1 º 0 [4].

3)a)Montrer par récurrence que

" n Î Ր 2un = 5n + 2 + 3. b) En déduire que " n Î Ր, 2un º 28 [100].

4) Déterminer les deux derniers chiffres de l"écriture décimale de un suivant les valeurs de n.

5) Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un) est constant. Préciser sa valeur. 15 points

8 points 15 points pour une fléchette qui atteint le disque central.

8 points pour une fléchette qui atteint la couronne.

Une solution :

1) u o = 14 et un+1 =5un -6 ; nÎՐ u

1 = 64, u2 = 314, u3= 1564, u4 = 7814.

Conjecture :

Si n est pair alors les deux derniers chiffres de u n forment 14. Si n est impair alors les deux derniers chiffres de un forment 64.

2)a) u

n+1 =5un -6 d"où un+2 =5un+1 -6 = 5(5un -6 )-6 = 25 un-36

25 = 6´4+1 d"où 25 º 1 [4] puis 25 un º un [4] et -36 º 0[4]

Par addition 25 u

n-36 º un [4] , on a un+2 =25 un-36 ; donc un+2 º un [4] pour tout nÎՐ. b) On a : u o = 14 et 14 º 2 [4] , u1 = 64 et 64 º 0 [4] ; donc uo º 2 [4] et u1 º 0 [4].

Supposons que u

2k º 2 [4] et u2k+1 º 0 [4] pour un entier naturel k.

Montrons que u

2k+2 º 2 [4] et u2k+3 º 0 [4]

D"après a) on a u

2k+2 º u2k [4] , u2k+3 º u2k+1 [4] et par hypothèse u2k º 2 [4] et u2k+1 º 0 [4] ;

d"où u

2k+2 º 2 [4] et u2k+3 º 0 [4] ; donc pour tout kÎIN u2k º 2 [4] et u2k+1 º 0 [4].

3) a) 2u

o = 28 et 50+2+3 =28+3 =28 ; d"où 2uo = 50+ 2+3 ;

Supposons que 2u

n = 5n + 2 + 3 pour un entier naturel n. Montrons que 2un+1 = 5n + 3 + 3 2u n+1= 10 un-12 = 5(2 un) -12 = 5(5n + 2 + 3) -12 =5n + 3 +15-12 =5n + 3 +3 ; donc pour tout nÎՐ 2un = 5n + 2 + 3. b) 5 n + 2 + 3 =5n´25 +3 ; 5 º 1 [4] d"où 5n º 1 [4] 5 n º 1 [4] d"où 5n = 4q + 1, qÎՐ.

On déduit de ce qui précède que 5

n + 2 + 3 = 25( 4q +1) +3 = 100q +28 et 28 < 100 ; d"où 5quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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