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Correction

Exercice n°1 Étude d"une loi du marché ( 4 points )

On étudie une loi de marché relative à une revue intitulée "MOTS » en fonction du prix de l"abonnement annuel.

On considère la fonction f définie sur l"intervalle [0 ; 200] par ()50 12500f x x= - +

f donne le nombre d"abonnés en fonction du prix x en euros, de l"abonnement annuel à cette revue " MOTS ».

Partie A - Nombre d"abonnés

1. Lorsque l"abonnement est fixé à 50 €, quel est le nombre d"abonnés ?

Il s"agit de déterminer, l"image de 50 par la fonction f ; on a (((())))====50f50 50 12500- ´ +====10 000

Lorsque l"abonnement est fixé à 50

€, il y a 10 000 abonnés.

2. Quelle est l"image de 52 par f? Que représente cette image ?

(((())))====52f50 52 12500- ´ +====9 900 . Lorsque l"abonnement est fixé à 52 €, il y a 9 900 abonnés.

3. Le nombre d"abonnés à la revue " MOTS » est de 5 000, quel est alors le prix de l"abonnement annuel ?

Il s"agit de déterminer, l"antécédent de 5 000 par la fonction f, je résous l"équation (((())))====5 000f x

7 50050 12500 5 000 50 7 500 15050x x x-- + = Û - = - Û = =-

Pour 5 000 abonnés, le prix de l"abonnement annuel est de 150 €.

4. En utilisant la fonctionf, justifier que pour ce produit " plus un produit est cher, plus la demande diminue ».

La fonction f est une fonction affine décroissante, en effet le nombre -50 est négatif

Donc lorsque

x augmente on a ()f x qui diminue : " plus un produit est cher, plus la demande diminue ».

Partie B - Étude de la recette

On appelle recette le montant total des abonnements à la revue " MOTS » perçu par l"éditeur de la revue.

On définit la fonction

R sur l"intervalle [0 ; 200] par ()250 12500R x x x= - + ()R xest égal à la recette correspondant à un prix de l"abonnement égal à x euros.

Le graphique de la fonction

Rest donné ci-dessous.

En utilisant ce graphique et en laissant apparaître tous les tracés nécessaires, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le prix de l"abonnement annuel à cette revue " MOTS » qui rend la recette maximale ?

Quel est alors le montant de la recette ?

D"après le graphique, la recette est maximale au sommet de la courbe c"est-à-dire

pour un prix de l"abonnement égal à 125 € , la recette maximale est alors de 781 250 €

2. Donner l"ensemble des solutions de l"inéquation()500 000R x³.

D"après le graphique, la recette est supérieure à 50 000 € pour x compris entre 50 € et 200 €

L"ensemble des solutions de l"inéquation (((())))³³³³500 000R x est [[[[]]]]====50 ; 200S

3. Calculer le nombre d"abonnés qui correspond à la recette maximale.

Il s"agit de déterminer, l"image de 125 par la fonction f ; on a (((())))====125f50 125 12500- ´ +====6 250

Lorsque la recette est maximale, l"abonnement est fixé à 125 €, et il y a 6 250 abonnés.

0 50 100 150 200 250

pR

Exercice n°2 les questions suivantes sont indépendantes. ( 4 points )

Le graphique donne la taille en centimètres

d"un enfant entre 0 et 2 ans.

1. De combien de centimètres l"enfant a-t-il grandi

entre un an et deux ans ?

Pour 1 an = 12 mois , l"enfant mesure 70 cm

Pour 2 ans = 24 mois , l"enfant mesure 82 cm

Il a grandi de 12 cm entre un an et deux ans

2. Quelle est la croissance moyenne par mois

durant cette période ?

L"enfant a grandi de 12 cm en 12 mois

Soit une croissance moyenne de 1 cm par mois

Remarque : la croissance moyenne correspond à la pente de la droite ()ABavec ()A 12;70 et ()B 24;82

j"obtiens B A

B A82 70 12124 12 12y yax x

--= = = =- - cm/mois

3. Comparer la croissance moyenne par mois de cet enfant entre 0 et 6 mois, et entre un an et deux ans.

La pente de la droite

()CD est supérieure à la pente de la droite ()AB

donc la croissance moyenne entre 0 et 6 mois et supérieure à la croissance moyenne entre un an et deux ans.

4. La taille de l"enfant à trois ans est de 97 centimètres. Par interpolation linéaire, déterminer la taille de l"enfant à deux ans et demi.

Je place le point ()E 36;97 et je cherche l"équation de la droite ()BE de la forme y a x b= + j"obtiens E B

E B97 82 15 51,2536 24 12 4y yax x

--= = = = =- - donc ()BE a pour équation 1,25 y x b= +

Pour trouver

b je remplace par les coordonnées de ()B 24;82 et : 82 1,25 24 82 30 52b b b= ´ + Û = + Û =

ainsi ()BE a pour équation 1,25 52y x= + donc pour 30x=mois on a 1,25 30 52 89,5y= ´ + = cm Par interpolation linéaire, la taille de l"enfant à deux ans et demi est de 89,5 cm.

Prix de l"abonnement en euros

x 125

781 250

A B

C D ·

· E

Exercice n°3 ( 2 points )

La population de la France métropolitaine en 2000 était de 60 714 milliers d"habitants et en 2005 de 62 853 milliers d"habitants.

Par interpolation linéaire, déterminer le nombre d"habitants en France en 2003.

Je note

()A 2000 ;60 714 et ()B 2005 ;62 853 puis je cherche l"équation de ()AB de la forme y a x b= + j"obtiens B A

B A62 853 60 714 2139427,82005 2000 5y yax x

--= = = =- - donc ()AB a pour équation 427,8 y x b= +

Pour trouver

b je remplace par les coordonnées de ()A 2000 ;60 714

60 714 427,8 2000 60 714 855 600 794 886b b b= ´ + Û = + Û = -

ainsi ()AB a pour équation 427,8 794 886y x= - donc pour

2003x= on a 427,8 2003 794 886 61 997,4y= ´ - = milliers d"habitants

Par interpolation linéaire, le nombre d"habitants en France en 2003 est de 61 997,4 milliers d"habitants.

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