Corrigé de lexercice 47 page 211 LE PARALLÉLOGRAMME DE
LE PARALLÉLOGRAMME DE VARIGNON. I- CAS GÉNÉRAL. Démonstration 1. Nous allons démontrer que le quadrilatère. IJKL est un parallélogramme.
LE PARALLELOGRAMME DE VARIGNON DM 4 3 Partie I : On
LE PARALLELOGRAMME DE VARIGNON. DM 4. E. 3. Partie I : On considère un quadrilatère quelconque ABCD et les points I
Les théorèmes de Varignon
d'un parrallélogramme (parallélogramme de Varignon). opposés et par les milieux des diagonales ont même milieu (point de Varignon).
Configurations du plan en seconde - parallélogrammes
16 janv. 2010 le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère l'aire du quadrilatère
Du cercle des huit points au cercle des neuf points
parallélogramme de Pierre Varignon au cercle des neuf points de Jean Victor Poncelet en passant par le cercle des huit point de Louis Brand.
Pierre Varignon
parallélogramme ( appelé parallélogramme ou quadrilatère de Varignon ) et l'aire de ce dernier est la moitié de celle du quadrilatère. Exercice 1 :.
Le parallélogramme au collège
4 avr. 2008 Dessiner un parallélogramme théorème de Varignon
Le parallélogramme au collège
4 avr. 2008 Dessiner un parallélogramme théorème de Varignon
Le théorème de Varignon
Objectifs : Conjecturer le théorème de Varignon avec Géoplan et faire la démonstration. 8) IJKL semble être un parallélogramme.
quadrilatères de Varignon — correction
14 sept. 2018 c°) Le quadrilatère semble être un parallélogramme ; cela semble bien toujours demeurer le cas lorsque.
Corrigé de l"exercice 47 page 211
LE PARALLÉLOGRAMME DE VARIGNON
I- CAS GÉNÉRAL Démonstration 1
Nous allons démontrer que le quadrilatère
IJKL est un parallélogramme.
Pour cela, il suffit de montrer que (IL) est
parallèle à (JK) et que (IJ) est parallèle à (LK). ? Considérons le triangle ABD. On a I milieu de [AB] et L milieu de [AD].On en déduit donc que (IL) est parallèle à (BD) (théorème de la droite des milieux).
De même, dans le triangle BCD on a J milieu de [BC] et L milieu de [CD]. On en déduit donc que (JK) est parallèle à (BD). Au final, (IL) // (BD) et (JK) // (BD) donc (IL) // (JK). ? En considérant le triangle ABC on montre de même que (IJ) // (AC). En considérant le triangle ACD on montre de même que (LK) // (AC). Au final, (IJ) // (AC) et (LK) // (AC) donc (IJ) // (LK).? On a montré que (IL) // (JK) et (IJ) // (LK) donc IJKL est un parallélogramme. Démonstration 2
Nous allons ici utiliser le théorème traitant de la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d"un triangle. De plus, on a démontré que IJKL est un parallélogramme donc IJ = KL et IL = JK ? Considérons le triangle ABD. On a I milieu de [AB] et L milieu de [AD].On a donc
1 IL BD 2= (théorème du segment joignant deux milieux ...). ? On fait le même raisonnement avec le triangle ABC avec I milieu de [AB] et J milieu de [BC]. Ce qui donne 1 IJ AC 2= ? Le périmètre P du parallélogramme IJKL est :P IJ JK KL IL= + + +
P 2 IL 2 IJ= ´ + ´
car IJ = KL et JK = ILP BD AC= +
car IL = 1/2 BD et IJ = 1/2 AC Donc le périmètre P est égal à la somme des longueurs des diagonales de ABCD. II- CAS PARTICULIER On a déjà démontré que IJKL est un parallélogramme.1- Diagonales perpendiculaires
Pour montrer que le parallélogramme IJKL est un rectangle, il suffit de montrer que IJKL a au un angle droit, par exemple : (IL) (IJ) On a déjà montré que (IL) // (BD) et que (IJ) // (AC) mais on a (BD) (AC) , donc (IL) (IJ) et ainsi IJKL est un rectangle.2- Diagonales de même longueur
Comparons les longueurs des côtés de IJKL.
On a déjà montré que 1
IL JK BD
2 et que 1IJ KL AC
2Mais BD = AC donc IL JK IJ KL
ainsi IJKL est un losange.3- Diagonales perpendiculaires et de même longueur
D"après les parties 1-
et 2- , le quadrilatère IJKL est à la fois un rectangle (cotés perpendiculaires) et un losange (côtés de longueur égale).IJKL est donc un carré.
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