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Recueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSETable des matières

1 Analyse 1

1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Algèbre 19

2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Probabilités 30

3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Informatique 33Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constitue

une collection quasiment exhaustive des propriétés et méthodes que doit maîtriser un

étudiant en fin de première année. Il constitue une base de révision pour l"étudiant de

seconde année.

NicolasMaillard

colasmaillard@free.fr1 Analyse

1.1 SommesExercice1.1.Démontrer par récurrence surnla formule donnantnX

k=0k 2.

2.En calculant de deux façonsnX

k=0 (k+ 1)

4k4, retrouver la formule donnant

n X k=0k

3.Correction n

o1.

1.Pourn2N;P(n): "nX

k=0k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

2.Par télescopagenX

k=0 (k+ 1)4k4= (n+ 1)4, et en développant : (k+ 1)4k4== 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, (n+ 1)4= 4nX k=0k

3+ 6nX

k=0k

2+ 4nX

k=0k+nX k=01 (n+ 1)4= 4nX k=0k

3+n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1) +net il n"y a plus qu"à isoler

n X k=0k

3==n2(n+ 1)24

.Exercice2.Calculer nX i=10 nX j=1max(i;j)1 A .Correction n o2.nX i=1 nX j=1max(i;j)! =nX i=1 iX j=1i+nX j=i+1j! =nX i=1 ii+n(n+ 1)2 i(i+ 1)2 nX i=1 i22 i2 +n(n+ 1)2 =12 n(n+ 1)(2n+ 1)6 n(n+ 1)2 +n2(n+ 1)

Lycée HenriPoincaré1/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSE=

n(n+ 1)(2n+ 1)3 + 6n)12 =n(n+ 1)(8n2)12 =n(n+ 1)(4n1)6 Exercice3.Soitdetfdeux entiers naturels tels qued6f(d=début etf=fin!).

1. a)Montrer que :8i2[[d;f]];

i d! i+ 1 d+ 1! i d+ 1! b)En déduirefX i=d i d!

2.Retrouver ce résultat en raisonnant par récurrence surf.Correction n

o3.

1. a)Formule de Pascal :

i+ 1 d+ 1! i d! i d+ 1! b)Télescopage : fX i=d i d! =fX i=d i+ 1 d+ 1! i d+ 1!! f+ 1 d+ 1! d d+ 1! f+ 1 d+ 1!

1.2 SuitesExercice4.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par

u

0= 2,u1= 5et8n2N; un+2= 5un+16un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o4.

Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique :2et3.8n2N;un=

2 n+ 3n.Exercice5.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 2,u1=2 +p3

2 et8n2N; un+2=un+1un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o5. Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique : 1ip3 2 =ei=3:9(a;b)2R;8n2N; un=asin(n=3) +bcos(n=3) u

0= 2)b= 2,u1=2 +p3

2 )a= 1:8n2N;un= sin(n=3) + 2cos(n=3).Exercice6.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0=1,u1= 4et8n2N; un+2= 4un+14un.

Calculerunen fonction den.Correction n

o6.

Suite récurrente linéaire d"ordre 2, unique racine de l"équation caractéristique :2:9(a;b)2

R;8n2N; un= 2n(an+b)

u

0=1)b=1,u1= 4)a= 3:8n2N;un= 2n(3n1).Exercice7.Étudier la suiteudéfinie paru0= 0,u1= 1et

8n2N; un+2= 4un+14un+ 2.

On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unCte)n2NoùCteest une constante adéquate.Correction n o7.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=un. Alors :8n2N;

u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+= 4vn+1+ 44vn4+ 2 ,vn+2= 4vn+14vn+ (2)

En prenant= 2,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

ristiquex24x+ 4 = 0dont la racine double est2. Il existe(a;b)2R2tel que

8n2N; vn= 2n(an+b), avecv0=u0+ 2 = 2etv1=u1+ 2 = 3.

On trouve alors :8n2N; vn= 2n(2n=2) = 2n1(4n),

puis :8n2N; un= 2n1(4n)2.Exercice8.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1,u1= 0et

8n2N; un+2=un+1+ 2un+ 3.

On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unn)n2Noùest une constante adéquate.Correction n o8.

Soit2Ret, pour toutndeN,vn=unn. Alors :8n2N;

u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+ (n+ 2)=vn+1(n+ 1)+ 2vn+ 2n+ 3 ,vn+2=vn+1+ 2vn+ (3)

Lycée HenriPoincaré2/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSEEn prenant= 3,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-

ristiquex2+x2 = 0dont les racines sont2et1. Il existe(a;b)2R2tel que

8n2N; vn= (2)na+b, avecv0=u0= 1etv1=u13 =3.

On trouve alors :8n2N; vn=43

(2)n13 =13 (2)n+21, puis :8n2N; un=13 (2)n+21+ 3n.Exercice9.Soitvla suite définie par v

0=eet8n2N; vn+1=ev2n:

1.Montrer quevest strictement positive et strictement croissante.

2.Montrer quevdiverge et quelimn!+1vn= +1.

3.Pour toutndeN, on pose :un= ln(vn). Exprimerunen fonction denet en

déduirevnen fonction den. Retrouver les réponses aux questions précédentes

à l"aide de cette expression.Correction n

o9.

1.On montre par récurrence que :8n2N; vn>e.

Du coup :8n2N;vn+1v

n=evn>e2>1doncvcroît.

2.On peut montrer par récurrence que :8n2N; vn>en, et par comparaison,

limn!+1vn= +1. On peut aussi raisonner par l"absurde. Supposonsvconvergent, de limite`. Alors limn!+1vn+1=`etlimn!+1ev2n=e`2. Par unicité de la limite :`=e`2. `=e`2,`(1e`) = 0,(`= 0ou`= 1=e). Or :8n2N;vn>e)`>e, donc`6= 0et`6= 1=e. Contradiction : doncvdiverge, et commevest croissante,vdiverge vers+1.

3.uvérifie la relation de récurrence :8n2N;un+1= ln(ev2n) = 1+2un: c"est une suite

arithmético-géométrique.

Avecu0= 1, on obtient :8n2N;un= 2n+11.

Alors :8n2N;vn= exp(2n+11)!n!+1+1.Exercice10.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 1et8n2N; un+1= ln(un+ 1).

1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N; un>0.

2.Montrer que la suite(un)n2Nest décroissante.

3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n

o10.

1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste etun>0».

2.Par récurrence :u1= ln(2)6u0, etun6un1)un+16un1+1)ln(un+1)6

ln(un1+ 1))un+16un. Variante :un+1un= ln(un+ 1)unet on montre (en l"étudiant) que la fonction x7!ln(x+ 1)xest négative sur]0; +1[.

3.uest décroissante et minorée donc converge, et commeuest positive, sa limite`est

positive (ou nulle). Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1ln(un+ 1) = ln(`+ 1),`= ln(`) + 1. L"étude dex7!ln(x+ 1)xsur[0; +1[montre que`= 0est l"unique solution de `= ln(`) + 1. Donc`= 0.Exercice11.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u

0= 0et8n2N; un+1=pu

n+ 2.

1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N;06un62.

2.Étudier la variation de la suite(un)n2N.

3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n

o11.

1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste et2>un>0».

2.Par récurrence :u1=p2>u0, etun>un1)un+ 2>un1+ 2)pu

n+ 2>pu n1+ 2)un+1>un.

3.uest croissante et majorée donc converge, et comme06u62, sa limite`est positive

et inférieure à2.

Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1pu

n+ 2 =p`+ 2,`=p`+ 2.

`=p`+ 2,`2`2 = 0,(`= 2ou`=1), or`>0, donc`= 2.Exercice12.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1et8n2N; un+1=unu

2n+ 1.Correction n

o12. Par récurrence, on montre queunest défini et strictement positif pour toutndeN.

8n2N;un+1u

n=1u

2n+ 1<1doncuest strictement décroissante, et minorée par0, donc

convergente. Sa limite`vérifie`=``

2+ 1, donc`2+ 1 = 1, donc`= 0.

Lycée HenriPoincaré3/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSEExercice13.Étudier la suiteudéfinie paru0= 2et8n2N; un+1=pu

n+ 1.Correction n o13. Se traite comme l"exercice précédent. La suite est décroissante.

Sa limite vérifie`=p`+ 1,`2`1 = 0,`=1p5

2 . Comme1p5<0et`>0, `=1 +p5 2 .Exercice14.Étudier la suiteudéfinie paru02]0; +1[,u12]0; +1[et8n2N; un+2=pu n+1un.Correction n o14.

On établit par récurrence que8n2N;un>0

(par exemple,P(n): "un>0etun+1>0»). On pose alors :8n2N;vn= ln(un), ce qui linéarise la relation de récurrence :

8n2N; vn+2= ln(un+2) =12

ln(un+1+12 ln(un+1) =12 vn+1+12 vn.

vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre2dont les solutions de l"équation caracté-

ristique sont1et1=2. Il existe alorsaetbréels tels que8n2N;un=evn=ea+(1=2)nb On peut éventuellement exprimeraetbà l"aide deu0etu1. On peut aussi remarquer queun!n!+1ea.Exercice15.1.Étudier les variations de f: ]0; +1[!R; x7!ln(x+ 1)ln(x)1x

2.Déterminer les limites defen 0 et en+1.

3.En déduire :8n2N;ln(n+ 1)ln(n)61n

4.On poseun=nX

k=11k pourn2N. Montrer quelimn!+1un= +1.

5.Établir que :8n2N;1n+ 16ln(n+ 1)ln(n).

6.En déduire un encadrement deun, puis montrer quelimn!+1u

nlnn= 1:Correction n o15.

1.8x >0;f0(x) =x2x(x+ 1) + (x+ 1)x

2(x+ 1)=1x

2(x+ 1)>0.

2.lim x!0+f(x) =1, ln(x+ 1)ln(x) = ln1 + 1=x!x!+10)f(x)!x!+10.

3.fest croissante etlimx!+1f(x) = 0:fest négative sur]0; +1[...

4.Par télescopage :nX

k=1 ln(k+ 1)ln(k)= ln(n+ 1).

Par 3.,un>nX

k=1 ln(k+ 1)ln(k)= ln(n+ 1)!n!+1+1...

5.On étudieg:x7!ln(x+ 1)ln(x)1x+ 1.. qui est négative sur]0; +1[.

6.Par 5.,un= 1 +n1X

k=11k+ 161 +n1X k=1 ln(k+ 1)ln(k)61 + ln(n). Doncln(n+ 1)6un61 + ln(n)etln(n+ 1)ln(n)6unln(n)61ln(n)+ 1. ln(n+ 1)ln(n)=ln(n(1 + 1=n))ln(n)= 1 +ln(1 + 1=n)ln(n)!n!+11et1ln(n)+ 1!n!+11, par encadrement, unln(n)!n!+10.Exercice16.Soit la suiteudéfinie paru12]0; +1[et8n2N; un+1=nX k=1u kk

1.Montrer que :8n2N; un>u1.

2.En déduire :8n>2; un>

n1X k=11k u 1.

3.Montrer que :8k2N;1k

>ln(k+ 1)ln(k).

4.En déduire :limn!+1un= +1.Correction n

o16.

1.Une récurrence immédiate montre queun>0pour toutndeN. Alorsu2=u1>u1

et pour toutn>3,un=u1+n1X k=2u kk >u1.

Lycée HenriPoincaré4/35lo

1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSE2.8n>2; un=n1X

k=1u kk >n1X k=1u 1k n1X k=11k u 1.

3.La dérivée def:x7!1x

(ln(x+ 1)ln(x))est f

0:x7! 1x

21x+ 1+1x

=(x+ 1)x2+x(x+ 1)x

2(x+ 1)=1x

2(x+ 1)etlimx!+1f(x) =

lim x!+11x ln(1 + 1=x) = 0. fest décroissante sur[1; +1[et de limite nulle en+1doncfest positive sur [1; +1[...

4.Par télescopage :n1X

k=11k >ln(n)ln(1).

Donc :8n2N; un>ln(n)u1, et par comparaison,limn!+1un= +1.Exercice17.1.Soita; b2]0; +1[. Déterminerlimn!+1(an+bn)1=n.

2.Soita1;a2;:::;akkréels.

Déterminerlimn!+1(ja1jn++jakjn)1=n.Correction n o17.

1.Supposonsa < b.(an+bn)1=n=bn(1 + (a=b)n)1=n=b(1 + (a=b)n1=n=

bexp1n ln(1 + (a=b)n!n!+1bcar0< a=b <1. Sia > b, en permutantaetbdans ce qui précède,(an+bn)1=n!n!+1a.

Sia=b,(an+bn)1=n= 21=na!n!+1a=b

Bilan :(an+bn)1=n=!n!+1max(a;b)

2.Un raisonnement analogue montre que :

lim n!+1(ja1jn++jakjn)1=n=max(ja1j;:::;janj).Exercice18.Soit(un)n2Net(vn)n2Nles suites définies par :

8n2N; un=nX

k=01k!etvn=un+1n:n!.

1.Montrer queuetvconvergent vers une même limite.

On noteecette limite.

2.Établir :8n2N;eun61n:n!.Correction n

o18.

1.Montrons queuetvsont adjacentes.

8n2N;un+1un=1(n+ 1)!>0:ucroît.

8n2N;vn+1vn=1(n+ 1)!+1(n+ 1)(n+ 1)!1n:n!=n(n+ 1) +n(n+ 1)2n(n+ 1)(n+ 1)!

1n(n+ 1)(n+ 1)!<0:vdécroît.

v nun=1n:n!!n!+10. uetvsont adjacentes : elles convergent vers une même limite e (la base de l"expo- nentielle).

2.Conséquence de suites adjacentes :8n2N;un6e6vn.

D"où :06eun6vnun, donceun61n:n!.Exercice19.Soita,ettrois réels strictement positifs.

1.Soit(un)n2Nla suite définie par :

u

0=aet8n2N; un+1=u2n.

Exprimerunen fonction deneta.

quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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