[PDF] LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN 1

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ÉCOLE NUMÉRIQUE

LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN Vous avez vu cette année un nouvel ensemble de nombres qui puissants outils pour démontrer certaines propriétés LEÇON : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN

Plan du cours

I. Nombres complexes et géométrie

II. Configurations du plan et nombres complexes

III. Ecritures complexes et transformations du plan

IV. Similitude directe

V. Reconnaitre une similitude directe définie par son écriture complexe son centre, son rapport et son angle. son centre, son rapport et son angle. VIII. Similitude directe définie par deux points distincts et leurs images IX. Similitude directe définie par son centre, un point et son image

Terminale D

Mathématiques

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2. RESUME DE COURS

Dans toute cette leçon, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

I. Nombres complexes et géométrie

Propriété

Az Bz Cz et ZD tels que

Exercice

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Solution

Az

Calculons ௭ಲି௭ಳ

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Posons Aݎ݃ቀଵ

On a ቐ

. Donc ߙ

Propriété

Az Bz Cz et ݖ஽ tels que

Exercice

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. - et െͳെ݅ξ͵

2) Déduis-en que : AB = BC.

Solution

1) On a :

Bz Cz

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஻஼ = 1 et par suite AB = BC.

II. Configurations du plan et nombres complexes

1) Droites parallèles

Propriété:

Az Bz Cz et ݖ஽ tels que :

A് B et C് D.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si ௭ಲି௭ಳ

Exercice

1) Trace les droites (AD) et (BC).

2) Démontre que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

Solution

1)

2) On a :

Az

Calculons : ௭ವି௭ಲ

- 3 ߳Թכ

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2) Alignements de trois points

Propriété:

A, B et C sont des points -‡Ž• “—‡ A ് ‡- ് d'affixes respectives Az Bz et Cz Les points distincts A, B, et C sont alignés si et seulement si ௭ಲି௭ಳ

Exercice

Démontre que les points A, B et C sont alignés.

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Solution

On a :

Az

Calculons : ௭ಲି௭ಳ

3) Droites perpendiculaires

Propriété

A, B, C et D sont des points d'affixes respectives Az Bz Cz et Dz tels que : A് B et C് D. Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si ௭ಲି௭ಳ

Exercice

1) Trace les droites (AH) et (BC).

2) Démontre que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Solution

1)

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2) On a :

Az ് œH et zB ് œC donc A് H et C് B.

Calculons ௭ಳି௭಴

4) Points cocycliques

Propriété

A, B, C et D sont des points deux à deux distincts et non alignés d'affixes respectives Az Bz Cz et Dz A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si ௭಴ି௭ಲ

Exercice

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A,

a) Place les points A, B, C et D dans le repère. b) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques.

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Solution

a)

b)On a : ݖ஻്ݖ஺ et ݖ஻്ݖ஼ . Calculons ௭ವି௭ಲ

௭ಳି௭ಲ et ௭ವି௭಴

Conclusion ௭ವି௭ಲ

௭ಳି௭ಲൌ݅ donc A, B et D sont non alignés.

De plus ௭ವି௭ಲ

Donc les points A, B, C et D sont cocycliques.

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5) Figures géométriques et nombres complexes

Propriétés

A, B et C sont des points non alignés d'affixes respectives Az Bz et Cz - Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si ௭ಳି௭ಲ - Le triangle ABC est isocèle en A si et seulement si ௭ಳି௭ಲൌ݁௜ఈ ou ௭಴ି௭ಲ - Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A si et seulement si ௭ಳି௭ಲ ௭಴ି௭ಲൌ݅ ou ௭ಳି௭ಲ - Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si ௭ಳି௭ಲ య ou ௭ಳି௭ಲ

Exercice1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points

a) Place les points A, B et C dans le repère (O, I, J). b) Démontre que le triangle ABC est rectangle en A.

Solution

a) b) On a : Az Bz et Cz ് œA. Donc A് B et

C് A.

Calculons : ௭ಳି௭ಲ

en A.

Exercice 2

Démontre que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

Solution

On a :

Az Bz et Cz ് œB. Donc A് B et C് B.

Calculons : ௭ಲି௭ಳ

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௓಴ି௭ಳൌ݅, donc le triangle est rectangle isocèle en B.

Exercice 3

Démontre que le triangle ABC est équilatéral.

Solution

On a :

Az Bz et Cz ് œB. Les points A, B et C sont A് B et C് B.

Calculons : ௭ಲି௭ಳ

= cos(െగ య, donc ABC est un triangle équilatéral.

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Tableau récapitulatif

Configuration Caractérisation géométrique Caractérisation complexe

Droites parallèles

Il existe un nombre réel ߣ

nul tel que : ou argቀ୸ీି௭ి ou

Points A, B, C

alignés.

Droites

perpendiculaires ou argቀ୸ీି௭ి ou œୈെݖେ

Points A, B, C, D non alignés

cocycliques

Triangle ABC

isocèle en A. ou

Triangle ABC

rectangle en A. O B C A O D A B C O D A B C O B C A O B C A D O B C A

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Triangle ABC

rectangle et isocèle en A. ou

Triangle ABC

équilatéral.

ou

Exercice de maison

Le plan complexe est mun‹ †ǯ— "‡"°"‡ orthonormé direct.

5 + 2݅ et 4.

Justifie que :

1- les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;

2- les points I, J et B sont alignés ;

3- les droites (OK) et (DC) sont perpendiculaires ;

4- le triangle JBD est rectangle en B ;

5- les points A, B, C et D sont cocycliques.

III. Écritures complexes et transformations du plan

Définition

ƒ Une transformation du plan est une application bijective du plan dans le plan. O B C A O B C A

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2. Ecritures complexes de symétrie centrale de centre O et de symétries

Propriété

direct (O, I, J). La symétrie orthogonale d'axe (OI) a pour écriture complexe : ݖᇱൌݖҧ. La symétrie centrale de centre O a pour écriture La symétrie orthogonale d'axe (OJ) a pour écriture complexe : ݖᇱൌെݖҧ. a) Translation est la translation de vecteur d'affixe b, M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z'. écriture complexe : ݖᇱൌݖ൅ܾ

Exercice

2) Détermine les affixes des images respectives A' et B' par t de chacun des points A et B,

Solution

On a : ݖ஻ᇱൌͷ൅ͳെ-݅ൌ͸െ-݅

Donc : ݖ஻ᇱൌ͸െ-݅

ut u u O I J

M'(z')

M(z) u B(b) O I ()Mz()Nz()Pz-()Qz- J a b - b -a

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rapport ݇, ݇אԹכ M et M' sont les points du plan d'affixes respectives z et z'. On a :

ǯ -Zπ = ݇(Z - Zπ)

ǯ ൌ ݇(Z - Zπ) + Zπ

a pour écriture complexe ǣ ǯ ൌ k(Z - Zπ) + Zπ

Exercice

Détermine l'écriture complexe associée à l'homothétie h de rapport Ȃ 2 et de centre ȳ

d'affixe ͵െ݅.

Solution

Par suite ǣ œǯ ൌ -2z + 9 െ3i.

d'angle orienté de mesure principale ߠ

M et M' sont les points du plan d'affixes

respectives z et z' tels que M est distinct de π. On a :

On a : ࢆᇱିࢠπ

de mesure principale ߠ O I J M M' O I J M M'

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Exercice

mesure ஠

Solution

écriture complexe : œǯ ൌ ݁௜(z Ȃ zπ) + zπ

Or zπൌ݅ξ͵ et ൌ஠

On a : ݖᇱൌቀଵ

Par suite : ݖᇱൌቀଵ

On en déduit que : ݖᇱൌቀଵ

4) Tableau récapitulatif des écritures complexes des transformations usuelles

Transformation du

plan

Définition

géométrique Ecriture complexe

Symétrie par rapport

médiatrice du

Symétrie par rapport

médiatrice du

Symétrie centrale de

Centre ȳ

ǯ - Zȳ = - (Z - Zȳ)

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Translation de

Homothétie de

rapport 

ǯ - Zȳ = k (Z - Zȳ)

Rotation de

IV. Similitude directe

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

1. Définition

Exemple :

Toute translation, toute homothétie et toute rotation est une similitude directe.

2. Propriété

Soit s une similitude directe d'écriture complexe : z' = az + b où a ԧ* et b ԧ. * Si a =1, alors s est la translation de vecteur d'affixe b. * Si a 1 alors s est la similitude directe de centre d'affixe ್ భషೌ, de rapport |a|, d'angle

Arg(a).

Vocabulaire

caractéristiques.

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Remarque

Exercice

Solution

ݖᇱ est de la forme ݖᇱൌܽݖ൅ܾ a 1. Soit A le centre de S, k son rapport et son angle. ௜ൌ1

Le rapport k est tel que : k = a

Lǯƒ‰Ž‡ est tel que : = Arg(a) V. Reconnaitre une similitude directe définie par son écriture complexe

Propriétés

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé direct, on considère la similitude Conditions vérifiées par a Nature et éléments caractéristiques de S

Similitude directe

3 †ǯ±..."‹-—"‡

complexe où אܽԧכ et אܾ

Si ߳ܽԹכ

ଵି௔ et de rapport a.

S est la similitude directe de

ଵି௔ de rapport

Exercice de fixation

Détermine dans chaque cas, la nature et les éléments caractéristiques de la similitude directe S définie par son écriture complexe :

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Solution

a) a = 5, dans ce cas a Թכ b) a = 1. Donc, S est la translation de vecteur d'affixe 1+3i c) a = ଵ

Déterminons son angle

Arg(ଵ

య car ଵ

Son angle est గ

Déterminons son centre

= 1

Son centre a pour affixe 1.

d) a = -1 + i, dans ce cas a ԧ\ Թ |-1+i| = ξ-, |-1+i|്ͳ donc S est une similitude directe ర car െͳ൅݅ൌܿ

ǯƒgle de S est ଷగ

ହ݅ , de rapport ξ- et son centre, son rapport et son angle.

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Propriété

On a ǣ œǯ ൌ ݁௜(z Ȃ ݖ) + ݖ .

Exercice

rapport ξ- ‡- †ǯƒ‰Ž‡

Solution

z' = ξ-݁௜ ర(z- zA) + zA = (1 + i)(z Ȃ i) + i = (1 + i)z + 1.

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