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Le plus grand angle fait face au plus grand c^ote

Daniel PERRIN

L'objectif de ce texte est de donner quelques preuves d'un resultat im- portant mais meconnu : dans un triangle, le plus grand angle fait face au plus grand c^ote. Ce resultat est dans Euclide, et on rappelle sa preuve, mais on en donnera aussi quelques autres. Il est essentiel quand on utilise les cas d'isometrie des triangles pour preciser quels sont les sommets et les c^otes homologues.

1 Le theoreme et quelques preuves

1.1 L'enonce

Dans ce qui suit on appelle triangle la donnee de trois points du plan, non alignes. Il s'agit de montrer le theoreme suivant :

1.1 Theoreme.SoitABCun triangle. Les angles du triangle sont dans le

m^eme ordre que les c^otes opposes : on abAbBbC()BCCAAB. Je donne ici les preuves brutes, sans preciser les justications axioma- tiques.

1.2 La preuve d'Euclide

Le theoreme c'est la proposition 18 du Livre I, voir [E], qui repose sur le lemme suivant (proposition 16) :

1.2 Lemme.Dans un triangle, un angle exterieur est plus grand que les

angles interieurs opposes.

Demonstration.

Notons [Cx) la demi-droite opposee a [CB). Il s'agit de montrerbA= \BAC <\ACx. SoitEle milieu de [AC] etFle symetrique deBpar rapport aE(Euclide ne dit pas ca, mais ca revient au m^eme). Les trianglesAEB etCEFsont egaux (AE=CE,EB=EFet les angles enEopposes 1 x A B C E

FFigure1 { La proposition 16 d'Euclide

par le sommet). On en deduit bA=\ECFet cet angle est plus petit que \ECx=\ACx. Euclide ne donne pas de justication de ce dernier point, mais c'est facile, pourvu qu'on dispose des axiomes des demi-plans (voir Hilbert ou Lion [L]). Il s'agit de montrer queFest dans l'angle saillant\ACx. Cela signie :

1) qu'il est dans le demi-plan limite par (AC) et qui ne contient pasB,

c'est clair car [BF] coupe (AC) enE,

2) qu'il est dans le demi-plan limite par (BC) qui contientA, c'est clair

carEest dans ce demi-plan (comme milieu de [AC]), donc aussi la demi- droite [BE). A B C

B'Figure2 { La proposition 18 d'Euclide

Revenons a la preuve du theoreme. Supposons d'abordBCCAet montronsbAbB. On note d'abord que le cas d'egalite est la propriete du triangle isocele (consequence du premier cas d'egalite des triangles). Comme on aBCCA, on porte un pointB0dans [AC], avecBC=B0C. Le triangle 2 BCB

0est isocele enC, de sorte qu'on a\B0BC=\BB0C. Mais, commeB0est

entreAetC, on a\B0BC\ABC=bBet, par le lemme applique aABB0, on abA\BB0C, d'ou le resultat.

Euclide ne montre pas l'autre sens, mais c'est evident. En eet, supposonsbAbB. On raisonne par l'absurde. Si on aBC > CA, le sens direct montre

quebAest plus grand quebB: contradiction.

1.3 La preuve de Hilbert (ou de Lion)

Comme celle d'Euclide, elle repose sur 1.2, mais la preuve de ce lemme est dierente et repose sur le resultat suivant :

1.3 Lemme.La somme de deux angles d'un triangle est strictement plus

petite que l'angle plat. x A B C D

EFigure3 { La preuve de Hilbert

Demonstration.(du lemme) On notel'angle plat. On raisonne par l'absurde en supposant \ABC+\BAC. Soit [Bx) la demi-droite opposee a [BC). On a \ABC+\ABx=. On a donc\ABx\BAC. On peut donc reporter l'angle \ABxdans\BAC: il existe une demi-droite [Ay) contenue dans l'angle \BACtelle que l'on ait\BAy=\ABx(cette possibilite de report est sous- jacente dans Euclide, explicite chez Hilbert ou Lion). Cette demi-droite coupe [BC] enD(c'est un lemme sur les angles, consequence des axiomes de demi- plans) et on porte sur [Bx) un pointEtel queBE=AD. On considere alors les trianglesABEetBAD. Ils sont \egaux" car on aAB=BA, \ABE=\BADetBE=AD. On en deduit l'egalite d'angles\EAB=\DBA, d'ou \EAD=\EAB+\BAD=\DBA+\ABE=\DBE=. L'angle\EAD serait plat, doncAserait aligne avecBetEdonc avecBetC, ce qui est absurde. 3

1.4 Corollaire.Dans un triangle, un angle exterieur est plus grand que les

angles interieurs opposes.

1.4 La preuve de Cousin-Fauconnet

Voir [CF]. On supposeBC < AC. On considere la mediatrice de [AB]. Comme on aBC < AC,BetCsont du m^eme c^ote de la mediatrice etA de l'autre, de sorte que [AC] coupe enC0. On a doncAC0=BC0. Par symetrie (ou la propriete du triangle isocele), on a bA=\C0AB=\C0BAet ce dernier angle estC'Figure4 { La preuve de Cousin-Fauconnet

1.5 La preuve avec les sinus

Elle decoule de la proposition suivante :

1.5 Proposition.SoitABCun triangle,bA;bB;bCses angles eta;b;cles

longueurs de ses c^otes. On a la formule asin bA=bsin bB=csin bC. Demonstration.Cela resulte de la formule donnant l'aire deABC:A(ABC) = 12 bcsinbAet de ses surs. Si l'on ne veut pas utiliser les aires, on considere le projete orthogonalH deCsur (AB). On a alorsCH=CAsinbA=BCsinbB, soitbsinbA=asinbB. 4

Le theoreme en resulte. En eet, si

bAetbBsont aigus ou droits, et si on abAbB, on a sinbAsinbB(car le sinus est croissant entre 0 et=2), donc ab. En particulier, dans un triangle rectangle, les c^otes de l'angle droit sont plus petits que l'hypotenuse. Il reste le cas oubB, par exemple, est obtus. Il y a plusieurs voies pour montrer quebest le plus grand c^ote.

1) On applique Al-Kashi.

2) On considere la perpendiculaire a (BC) enB. Comme l'angle enBest

obtus, elle est dans l'angle saillant, donc coupe le segment [AC] enA0. Le triangleA0BCest rectangle enB, de sorte qu'on aBC < A0C < AC, soit a < b. En fait, le plus dicile dans cette histoire, c'est de montrer quebBest alors le plus grand angle! Si on utilise le fait que la somme de deux angles est plus petite que(cf.

1.3) on fait coup double : on a

bA 1.6 La preuve par le produit scalaire On supposeBC < AC. Il s'agit de montrerbA cosbB. En ecrivant le cosinus a partir des produits scalaires, cela revient a montrer :BC(!ABj!AC)> AC(!BAj!BC). En appliquant Chasles, on ecrit les deux produits scalaires en faisant appara^tre (!CAj!BC) et il reste a montrer : BC:AC

2+BC(!CAj!BC)> AC:BC2+AC(!CAj!BC)

soit encore (ACBC)(!CAj!BC)<(ACBC)AC:BC. Comme on a suppose

BC < AC, c'est l'inegalite de Schwarz.

2 References

[CF] COUSIN-FAUCONNET Annie,Enseigner la geometrie au college,

Armand Colin, 1995.

[E] EUCLIDE,Les elements, Traduction Kayas, editions du CNRS, 1978. [L] LION Georges,Geometrie du plan, Vuibert, 2001. 5quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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