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LES ELEVES FACE A UN PROBLEME DU XIIe s. +1 romme attribué à Abraham Ben Ezra né à Tolède vers 1090 et mort à. Rome (?) en 1167. Ben Ezra a voyagé ...
Correction Examen Séquentiel N?5 Première C Lycée Bilingue de
BEN EZRA mathématicien arabe du XIe siècle posa le problème suivant :"et si on dit : un homme est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits.
reshit hokhmah dabraham ibn ezra: - problèmes de traduction an
RESHIT HOKHMAH D'ABRAHAM IBN EZRA: PROBLÈMES DE TRADUCTION AN MOYEN AGE. JACQUES HALBRONN. Lorsque l'on aborde la question des rapports entre Judaïsme et
Rabbi Ben Ezra and the Hindu-Arabic Problem
Ezra. 2 For a discussion of the matter see Steinschneider
Abraham Ibn Ezras Arithmetic
Das Buch der Zahl des R. Abraham ibn Ezra heEraus- egegben
Abraham Ibn Ezras Scholarly Writings: A Chronological Listing
of most medieval thinkers: Ibn Ezra wrote his works- often in more than one version- for various patrons at the different stations of his.
RABBI BEN EZRA ON PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
oger and mathematician Rabbi Abraham ben Ezra (1093-1167) or
Ibn Ezra in England
ABRAHAM BEN MEIR IBN EZRA is one of the Jewish scholars that visited this island in also precedes my lTanslation of Ibn Ezra's Commentary on. Isaiah.
RABBI BEN EZRA ON PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
oger and mathematician Rabbi Abraham ben Ezra (1093-1167) or
The Ten Commandments Are Implanted in Human Minds: Abraham
Abraham Ibn Ezra (1089–1164) writes extensively on the Ten problem: 1. Did God pronounce all Ten Commandments or only the first.
Examen séquentiel N°5
Epreuve de Mathématiques
Dure : 3 heures. Coefficient : 6.
??EXERCICE 1 3 POINTS1. Résoudre dansR3le système suivant oùa,betcsont les termes consécutifs d"une suite géométrique
décroissante :?a+b+c= 14 1a +1b +1c =781,5 pt
2.BEN EZRA, mathématicien arabe duXIesiècle posa le problème suivant :"et si on dit : un homme
est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits. Mais le verger avait trois entrées, gardées chacune par un
gardien. Cet homme donc partagea équitablement les fruits avec le premier gardien et lui donna 2 de plus, puis
il partagea équitablement avec le deuxième et lui en donna 2 de plus, enfin il partagea équitablement avec le
troisième, lui en donna 2 de plus, et il sortit en ayant seulement un fruit. Combien de fruits a-t-il cueillis?"
Trouver la solution du problème deBEN EZRA. 1,5 pt ??EXERCICE 2 5 POINTSROGER FEDERERrecordman de tennis (17 titres de grand chelem et 237 semaines consécutives en tant que
numéro 1 mondial) veut tester l"efficacité de deux balles de tennis de marqueAetB. Pour cela, il laisse tomber
en chute libre les deux balles d"une hauteur de 2m et constate que la balle de marqueAperd le dixième de
sa hauteur après chaque rebond tandis que la hauteur de la balle de marqueBdiminue de 10cm après chaque
rebond.SoitAnla hauteur en centimètres de la balle de marqueAaprèsnrebonds etBncelle en centimètres de la
balle de marqueBaprèsnrebonds.1. Donner l"expression deAn+1en fonction deAnet celle deBn+1en fonction deBn. 1 pt
2. CalculerA5etB52 pts
3. La balle la plus efficace est celle qui rebondie le plus longtemps avant son arrêt complet.
a) CalculerA20etB20. 1 pt b) Quelle est alors la balle la plus efficace? 1 pt ??PROBLEME 12 POINTSPartie A : 6 Points
Sur la figure ci-contre,ABCet
CADsont deux triangles isocèles
tels que :AB=AC=CD= 4, Mes ?(-→AB,-→AC) =π4Mes?(--→CD,-→CA) =π2
http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 1/6• Correction Examen Séquentiel N°5 Première C1. SoitrAla rotation de centreAqui transformeBenCetrCla rotation de centreCet d"angle-π2
On posef=rC◦rA.(Δ1)est la bissectrice de l"angle?(-→AB,-→AC)et(Δ2)celle de l"angle?(--→CD,-→CA)
a) Déterminer les images parfdeAet deB0,5 pt×2b) Montrer quef=s(Δ2)◦s(Δ1)et en déduire quefest une rotation dont on précisera le centreΩet l"angle.
1,5 pt
2. SoitSla similitude directe de centreΩqui transformeAenB. On noteC?l"image deCparS,Hle milieu
du segment[BC]etH?son image parS. a) En utilisant le théorème d"Al Kashi, calculerBC1 pt b) En déduire la valeur exacte deΩA1 pt c) CalculerΩBΩAet en déduire le rapport deS1 pt
d) Déterminer l"angle de la similitudeS. 0,5 ptPartie B : 6 points
ξdésigne un espace affine muni d"un repère orthonormé direct(O,-→i ,-→j ,-→k). on donneA(2;-1;0),B(2;1;1),
C(1;0;1)etD(1;2;1).
1. a) Montrer que les pointsA,BetCdéfinissent un plan que l"on notera par(P). 0,5 pt
b) Ecrire une équation cartésienne du plan(P). 0,5 pt2.(Δ)est la droite passant parDet orthogonale au plan(P).
a) Donner une représentation paramétrique de(Δ). 0,5 pt b) Déterminer les coordonnées du pointE, intersection de(P)et(Δ). 0,5 pt c) Calculer la distance deDà(P)et la comparer àDE. 1 pt3. Justifier queABCDest un tétraèdre et calculer son volume. 1 pt
4.(Γ)est l"ensemble des pointsM(x,y,z)deξvérifiant :
x2+y2+z2-2x-4y-2z+ 2 = 0.
a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de(Γ). 1 ptb) Etudier l"intersection de(Γ)et(P). 1 pthttp://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 2/6•
Correction Examen Séquentiel N°5 Première C ??CORRECTION? ??EXERCICE 1 3 POINTS1. Résolvons le système
a+b+c= 14 1a +1b +1c =78 oùa,betcsont les termes consécutifs d"une suite géomé- trique décroissante. Puisquea,betcsont les termes consécutifs d"une suite géométrique on a la relationb2=ac.Ainsi,?
a+b+c= 14 1a +1b +1c =78 a+b+c= 14 bcabc +acabc +ababc =78 ?a+b+c= 14 bcb 3+b2b 3+abb 3=78 ?a+b+c= 14 ab+b2+bcb 3=78 a+b+c= 14 a+b+cb 2=78 a+b+c= 14 14b 2=78 ???a+b+c= 147b2= 112
???a+b+c= 14 b 2= 16 ???a+b+c= 14 b= 4ou b=-4 pourb= 4on a :?a+c= 10 ac= 16aetcsont solutions de l"équa- tionx2-10x+ 16 = 0Δ = 100-64 = 36 = 62
x1=10-62
= 2etx2=10 + 62 = 8pourb=-4on a :?a+c= 18 ac= 16aetcsont solutions de l"équationx2-18x+ 16 = 0Δ = 324-64 = 260 = (2⎷65)
2 x1=18-2⎷65
2 = 9-⎷65etx2=18 + 2⎷65 29 +⎷65
La suite étant décroissante on aa > b > c. Ainsi on aa= 8,b= 4etc= 22. Trouvons la solution du problème deBEN EZRA.
Soitxle nombre total de fruits qu"il a cueilli. Que lui reste-il après chaque partage? ?Après le premier gardien, il lui restex2 -2fruits ?Après le deuxième gardien, il lui restex2 -22 -2fruits ?Après le troisième gardien, il lui restex2 -22 -22 -2fruitsOn a donc
x2 -22 -22 -2 = 1http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 3/6• Correction Examen Séquentiel N°5 Première C x 2 -22 -22 -2 = 1??x2 -22 -22 = 3 x2 -22 -2 = 6 x2 -22 = 8 x2 -2 = 16 x2 = 18 ??x= 36Donc l"homme avait cueilli 36 fruits.
??EXERCICE 2 5 POINTS1. Donnons l"expression deAn+1en fonction deAnet deBn+1en fonction deBn.
A n+1=An-110An=910
An. D"où(An)est une suite géométrique de raison910 et de premier terme A0= 200.
B n+1=Bn-10. Donc(Bn)est une suite arithmétique de raison -10 et de premier termeB0= 2002. CalculonsA5etB5
On a :An= 200?910
n etBn= 200-10n.DoncA5= 200?910
5 = 200×0,95= 200×0,59049 = 118,098 B5= 200-10×5 = 200-50 = 150
3. a) CalculonsA20etB20 A20= 200×0,920= 200×0,12157665459056928801 = 24,315330918113857602
B20= 200-10×20 = 200-200 = 0
b) La balle la plus efficace est sans aucun doute la balle de marqueA. ??PROBLEME 12 POINTSPartie A : 6 Points
1.f=rC◦rA
a)f(A) =rC◦rA(A) =rC(A) =Detf(B) =rC◦rA(B) =rC(C) =C b) Montrons quef=s(Δ2)◦s(Δ1) rLes droites(Δ1)et(Δ2)sont sécantes enΩdoncfest la rotation de centreΩet d"angleα=π4
-π2 =-π4 2. a) CalculonsBC D"après Al Kashi, on a :BC2=AB2+AC2-2AB.AC.cos?BAC= 42+ 42-2×4×4×cos(π4DoncBC2= 32-32⎷2
2 = 32-16⎷2 = 16(2-⎷2)BC= 4?2-⎷2
http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 4/6• Correction Examen Séquentiel N°5 Première C b) Valeur exacte deΩA Le triangleAHCest rectangle enHdonc on a :AC2=AH2+HC2 AH2=AC2-HC2=AC2-BC24
= 42-16(2-⎷2) 4 = 16-4(2-⎷2) = 8 + 4 ⎷2 = 4(2 + ⎷2)AH= 2?2 +
⎷2ΩA= 2AH= 4?2 +
⎷2 c) Le quadrilatèreACΩBest un losange doncΩB=AC.Ainsi,
ΩBΩA=ACΩA=44
?2 + ⎷2 =1?2 + ⎷2 . DoncSest la similitude de rapport1?2 + ⎷2d) La mesure de l"angle de la similitudeSest la mesure de l"angle?(-→ΩA,-→ΩB)qui estπ8
.Partie B : on donneA(2;-1;0),B(2;1;1),C(1;0;1)etD(1;2;1).1. a) Montrons que les pointsA,BetCdéfinissent un plan.-→AB(0;2;1)et-→AC(-1;1;1). De plus,0-1?=21
?=11 . Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas deuxà deux proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires et par conséquent, les pointsA,BetCforment
un plan(P). b) Equation cartésienne du plan(P)Pour tout pointM(x;y;z)de(P), on a :(P) :?
?x= 2-β y=-1 + 2α+β z=α+β??? ?β= 2-x y=-1 + 2α+βα=z-β
Ainsi, on a :y=-1 + 2(z-2 +x) + 2-x??y=x+ 2z-3.
D"où(P) :x-y+ 2z-3 = 0
2.(Δ)est la droite passant parDet orthogonale au plan(P).
a) Représentation paramétrique de(Δ) Un vecteur normal de(P)est un vecteur directeur de(Δ). Donc on a :(Δ) :? ?x= 1 +t y= 2-t z= 1 + 2t b) Coordonnées du pointE, intersection dev(P)et(Δ).PosonsE(x0;y0;z0).
E?(Δ)???
?x0= 1 +t
y0= 2-t
z0= 1 + 2thttp://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 5/6•
Correction Examen Séquentiel N°5 Première CE?(P)??x0-y0+ 2z0-3 = 0
x0-y0+ 2z0-3 = 0??1 +t-(2-t) + 2(1 + 2t)-3 = 0
??6t-2 = 0 ??t=13 ?x0= 1 +t
y0= 2-t
z0= 1 + 2t???
????x0= 1 +13
y0= 2-13
z0= 1 +23
????x 0=43 y 0=53 z 0=53DoncE?43
;53 ;53 c) Calculons la distance deDà(P)et comparons àDE d(D,(P)) =|1-2 + 2-3|?12+ (-1)2+ 22=2⎷6
=⎷6 3 DE=?? 13 2 -13 2 +?23 2 =?1 9 +19 +49=?6 9 =⎷6 3
DoncDE=d(D,(P))
3. Justifions queABCDest un tétraèdre et calculons son volume
d(D,(P))?= 0doncD???(P). Par conséquent, les pointsA,B,CetDne sont pas coplanaires et forment donc un tétraèdre. SiABCest la base de ce tétraèdre, la hauteur estDE. On a :AB=?(2-2)2+ (1 + 1)2+ (1-0)2=⎷5
AC=?(1-2)2+ (0 + 1)2+ (1-0)2=⎷3
BC=?(1-2)2+ (0-1)2+ (1-1)2=⎷2. On constate queAB2=BC2+AC2doncABCest un triangle rectangle enC.Ainsi, l"aire du triangleABCest :BC×AC2
=⎷2×⎷3 2 =⎷6 2 Le volume du tétraèdre est donc égale :V=13×⎷6
2×⎷6
3 =618 =134.(Γ) :x2+y2+z2-2x-4y-2z+ 2 = 0
a)x2+y2+z2-2x-4y-2z+ 2 = 0??(x-1) + (y-2) + (z-1)-4 = 0. Donc(Γ)est la sphère de centreDet de rayonr= 2. b)d(D,(P))< rdonc(Γ)∩(P)est le cercle de centreEet de rayonR=? ???2 2-? ⎷6 3 2 =?4-23 ?10 3 =⎷30 3 .http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 6/6•quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] le problème d'infiltration cinema
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