[PDF] Le problème de la chèvre C'est Biquette – un nom

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Le problème de la chèvre

Frédéric Élie

(mai 2016) " Si vous ne dites rien à votre brouillon, votre brouillon ne vous dira rien ! » Jacques Breuneval, mathématicien, professeur à l'université Aix-Marseille I, 1980

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clairement l'auteur et la référence de l'article. Photo : F. Élie, Puy-Bernard, Genouillac (Charente), juillet 1986 Voir figure 1 ci-après, pour l'énoncé du problème.

Énoncé du problème dit de la chèvre :

Une chèvre est contrainte de se déplacer dans un pré de forme circulaire (curieux, quand

même!), délimité par un contour circulaire (C1) de rayon R et de centre O. Elle est attachée à un

piquet C, situé sur le périmètre de (C1), par une corde de longueur L.

Le lieu des points les plus éloignés qu'elle peut atteindre est donc un cercle (C2), passant par

les points A, K, B, et de rayon L.

Le territoire total sur lequel elle peut brouter est donc délimité par l'arc de cercle AKB et l'arc de

cercle ACB. La surface totale de ce territoire est donc la somme de l'aire (S2) définie par le secteur d'arc AKB et de sommet C, d'angle au sommet " a », et des aires (S3) comprises entre les arcs et leurs cordes AC et AB. L'aire totale du pré circulaire est notée (S1).

©Frédéric Élie - http://fred.elie.free.fr, mai 2016 - page 1/4Qui c'est, cette chèvre,

Photon ?C'est Biquette - un nom

très original pour une chèvre, Méson. Elle appartenait aux grands-parents de Fred, en Charente. On a un problème

à résoudre pour elle !...

Question : le rayon du pré, R, étant connu, quelle doit être la longueur L de la corde de telle

sorte que la surface totale accessible par la chèvre, S2 + 2S3, soit égale à la moitié de la surface

du pré circulaire ?

Figure 1

Solution :

L'angle au centre du secteur AKB, " a », et L sont inconnus et sont liés. Il faut donc deux

équations en " a » et L.

On obtient la première équation en explicitant la condition de l'énoncé :S2+2S3=S1 2 (1) Or : S2=1 2aL2

S1=πR2

S3=1

2R2(b-sinb)=1

2R2(π-a-sina)

où b est l'angle au centre O entre les rayons OC et OB, qui vaut b = π-a et avec sin (π-a) = a.

L'égalité (1) donne alors :

R2(π-a-sina)+1

2aL2=1

2πR2 (2)

On obtient la seconde équation en calculant les coordonnées des points A ou B sur le cercle (C2) et en écrivant que ces points appartiennent aussi au cercle (C1) :

Coordonnées de B (ou de A, symétrique) :

©Frédéric Élie - http://fred.elie.free.fr, mai 2016 - page 2/4

HB=Lsina

2

OH=OC-OH=R-Lcosa

2 puisque OC=R,HC=Lcosa

2. B est sur (C1) donc il vérifie l'équation du cercle :

HB2+OH2=R2

soit :

L²sin²a

2+ (R-Lcosa 2)2 =R² finalement : Rcosa 2=L 2 (3) Les relations (2) et (3) forment le système de 2 équations à 2 inconnues a, L :

R2(π-a-sina)+1

2aL2=1

2πR2

L cosa 2=2R En utilisant les changements de variables : x = π-a , y = L/R, z = 1-y², et en remplaçant : sin a = sin (π-a) = sin x, les équations précédentes deviennent : x(1+z)-2sinx=πz

2cosx=1+z

et en éliminant z entre ces deux expressions on arrive à l'équation suivante en x : x=π 2 (2-1 cosx)+tanx (4)

dont les solutions sont celles qui correspondent, dans le plan (w, z), à l'intersection de la droite

w = f(x) = x, et de la fonction w = g(x) = (π/2) (2 - 1/cos x) + tan x.

La résolution s'effectue numériquement : la valeur de x0 qui correspond à l'intersection f(x0) =

g(x0) permet ensuite de remonter aux variables d'origine : a0=π-x0

Rcosa0

2=L0

2=Rcosπ-x0

2=Rsinx0

2→

L0

R=2sinx0

2 (5) Les courbes f(x) et g(x) sont représentées à la figure 2.

Une itération de pas très fin permet de trouver x0≈1,2359ce qui fournit par (5) la solution :

©Frédéric Élie - http://fred.elie.free.fr, mai 2016 - page 3/4 L0

R=1,159 (6)

figure 2 ©Frédéric Élie - http://fred.elie.free.fr, mai 2016 - page 4/4

00,20,40,60,811,21,41,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 w = xw = pi/2 . (2 - 1/cos x) + tan x

Boh, on n'est guère plus avancés,

Méson : avec ce problème stupide

on a tourné en rond dans ce pré circulaire !

Et Biquette n'a encore rien

brouté, Photon ! Et puis, il faut être tordu pour mettre une chèvre dans un pré rond !...mais venant de Fred ça ne m'étonne pas...quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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