LES SUITES (Partie 1)
Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation). - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité)
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Donner une formule de récurrence permettant de calculer la suite. Question 2. [Solution n°2 p 29].
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
Coach : Le raisonnement par récurrence a de très belles applications comme de démontrer certaines propriétés des suites (leur expression
Raisonnement par récurrence Suites numériques I. Le
Utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées. On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : (
Raisonnement par récurrence Limite dune suite
Oct 9 2013 1 Raisonnement par récurrence. 1.1 Axiome de récurrence ... Démontrer que
Le raisonnement par récurrence
Jan 5 2019 Quand on a l'initialisation et l'hérédité
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
Oct 14 2015 2.6.1 Suites majorées
Le raisonnement par récurrence
Exemple : Soit (un)n?N la suite définie par { u0 = 4 un+1= 2un ?3 pour n 0 . On souhaite montrer que pour tout entier naturel n
La récurrence au fil des siècles
Le principe de la descente infinie peut se formuler ainsi : « toute suite strictement décroissante d'entiers naturels est une suite finie. » Le texte fondateur
Raisonnement par récurrence
Limite d"une suite
1 Raisonnement par récurrence
1.1 Axiome de récurrence
Définition 1Soit une propriétéPdéfinie surN. Si :la propriété estinitialiséeà partir d"un certain rangn0la propriété esthéréditaireà partir d"un certain rangn0(c"est à
dire que pour toutn?n0alorsP(n)? P(n+1) Alors : la propriété est vraie à partir du rangn01.2 Exemple
Démontrer que, pour tout entier naturel, la suite(un)est définie par : u0=1 etun+1=⎷
2+unest telle que 0 Initialisation: on au0=1 donc 0La fonctionfdéfinie parf(x) =⎷ x+2 est croissante car composée de deux fonctions croissantes 0 2 La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn. 2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=? Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.
Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite? est solution de l"équationf(x) =x. Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
PAULMILAN
TERMINALES
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0 2 La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn. 2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=? Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.
Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite? est solution de l"équationf(x) =x. Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
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2 La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn. 2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=? Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.
Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite? est solution de l"équationf(x) =x. Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
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La propositionP(n)est héréditaire.
Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn.2 Limite d"une suite
Définition 2On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On note alors : limn→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞)Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞Siq=1 alors limn→+∞qn=1Si-1 converge.Théorème du point fixeSoit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?.PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2013 à 22:59TERMINALES 3 Opérations sur les limites3.1 Limite d"une somme
Si(un)a pour limite
Si(vn)a pour limite
alors(un+vn)a pour limite F. Ind.
3.2 Limite d"un produit
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
alors(un×vn)a pour limite F. ind.
3.3 Limite d"un quotient
Si(un)a pour limite
??=0 0 Si(vn)a pour limite
???=0 0 0 alors?un vn? a pour limite F. ind.
0 F. ind.
4 Convergence d"une suite monotone
Définition 3On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelMtel que : ?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que :?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée. DivergenceSi une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un) diverge vers+∞.Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite (un)diverge vers-∞.ConvergenceSi une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un) converge.Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un) Exemple
Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour tout n, 0?un?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite?. La fonctionftelle que :f(x) =⎷
2+xest définie et continue sur]-2;+∞[.
Comme la suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,? verifie l"équation?=⎷ 2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2.
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