Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
donc pour un arc de longueur x-2 l'aire du secteur de disque sera Le triangle ABC étant rectangle en B
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Repasse en rouge les longueurs et en vert les largeurs. Calcule l'aire de ce rectangle puis découpe-le. 2. Avec un seul coup de ciseaux découpe le rectangle
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
(Le triangle ABD est rectangle en A car ABCD qui est une face du parallélépipède On peut calculer cette aire par différence des aires des deux triangles ...
Seconde devoir n° 1 maison Septembre Exercice 1: ABCD est un
E est le point du segment [AB] tel que (EF) // (BD). 1. Calculer les valeurs exactes de BD AE et EF. 2. Calculer L'aire de la bande hachurée BEFD.
Guide de lenseignant
Comparer et mesurer des aires disposition rectangulaire peut être obtenu par calcul ... (l'égalité des longueurs le milieu d'un segment et les.
Grandeurs et mesures
Reproduis sur ton cahier le rectangle ABCD ci-dessus puis 8 Calcule l'aire exacte d'une sphère de rayon 62 cm puis arrondis le résultat.
Année 2004
En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure 3 2 cm. 3. Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD. 4. Calculer l'aire du triangle AOC.
2 Olympiades académiques 2013
On considère un billard de forme rectangulaire de longueur 300 cm et de b) Aire de la partie colorée en vert = aire ABCD - 4 × aire d'un quart de ...
TD corrigés délectromagnétisme
29 oct. 2011 jointives par unité de longueur et parcouru par un courant d'intensité I. Le plan contenant l'axe du solénoïde et le point M étant un plan ...
Préparation au Concours Cycle Polytechnicien
Filière universitaire : candidats internationaux (O.Granier, ITC, du 24 au 29 octobre 2011)TD corrigés d'électromagnétisme
1) Bobines de Helmholtz :
On considère une distribution de courants cylindriques autour de l'axe (Ozà qui crée un
champ magnétique sur l'axe Oz colinéaire à cet axe.1) Rappeler l'expression du champ créé par une spire de rayon a parcourue par une intensité I
à la distance z du centre de cette spire sur l'axe de la spire.2) On se place maintenant (tout en étant toujours à la côte z) à une distance r relativement
faible de l'axe. En écrivant la conservation du flux du champ magnétique, montrer que le champ possède une composante radiale donnée par : 2 z rBrB z2) Champ électrique et champ magnétique :
Soit C un cylindre de révolution d'axe (Oz), de rayon a et de longueur très grande devant a. C,
chargé uniformément avec la densité volumiqueρ, est mis en rotation autour de (Oz) avec la
vitesse angulaire ω (supposée indépendante du temps jusqu'à la dernière question) sans que cette rotation affecte la répartition des charges dans C. a) Déterminer dans tout l'espace le champ électrique Er. b) Déterminer dans tout l'espace le champ magnétique Br. c) Déterminer de même un potentiel vecteurAr du champ Br.
d) Que peut-on dire si ω varie dans le temps "pas trop rapidement" ? Quel est dans ce dernier cas l'intérêt du calcul deAr fait en (3) ?
2Solution :
a) On utilise la théorème de Gauss : (le champ électrique est radial)Pour r > a :
2 20012 ( ) ( )2arhE r a h soit E rr
Pour r < a :
20012 ( ) ( )2rhE r r h soit E r rρπ π ρε ε= =
On vérifie que le champ électrique est continu à la traversée du cylindre (en r = a).b) On utilise le théorème d'Ampère : (le champ magnétique est selon l'axe du solénoïde et on
sait qu'il est nul à l'extérieur). On choisit un contour rectangulaire dont un côté parallèle à
l'axe est dans le solénoïde et un autre à l'extérieur. Alors : 2 200( ) ' ' ( )2
a rB r r dr a rμ ρωμ ρω= = -∫ (Pour r < a) c) Le potentiel vecteur est défini par B rotA=uuurrr. Le calcul est identique au calcul du potentiel vecteur créé par un solénoïde classique infini.On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires
jointives par unité de longueur et parcouru par un courant d'intensité I.Le plan contenant l'axe du solénoïde et le point M étant un plan d'antisymétrie :
θurAMArr)()(=
En prenant comme contour un cercle centré sur l'axe (Oz) et perpendiculaire à cet axe : dSnBdA SC rrlrr..On obtient : Si r > R :
4 4 4 2 200 0012 ( ) ( )2 ( )
2 2 4 4
aa a arA r a r rdrπ μ ρω π πμ ρω πμ ρω= - = - =∫, soit : 4 0( )8 aA rrμ ρω=Si r < R :
2 2 42 22 2 2
00 00112 ( ) ( ' )2 ' ' ( ) 2
2 2 4 4
ra r rrA r a r r dr a r rπ μ ρω π πμ ρω πμ ρω= - = - = -∫
Soit :
2 201( ) 2
8A r a r rμ ρω= -
On constate que le potentiel vecteur est continu à la traversée de la surface r = a du solénoïde.
d) Ces calculs restent valables dans l'ARQS et la connaissance du potentiel vecteur permet detraiter les problèmes d'induction faisant intervenir le champ électromoteur de Neumann,
A t r 33) Condensateur alimenté à haute fréquence :
Un condensateur plan, constitué de deux plaques circulaires d'axe (Oz) et de rayon R,
séparées par une distance e faible devant R, est alimenté par un générateur de tension
sinusoïdale de pulsation ω.a) Pour ce système à symétrie cylindrique, on écrira le champ électrique sous la forme :
zutrEErrωcos)(= Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la fonction E(r) ?Déterminer la solution sous la forme d'une série entière développée en puissances de la
variable sans dimension c rxω=. b) Pour cmRetMHz520==πω, que peut-on dire de la fonction E(r) à l'intérieur du condensateur ?L'ARQS est -elle convenable ?
c) Que vaut le champ magnétique à l'intérieur du condensateur ? Donnée : en coordonnées cylindriques, le laplacien d'une fonction ),,(zrfθ est : 2222
2 11 zff r rfrrrf∂∂+∂∂+)
Solution :
a) Le champ électrique vérifie, en l'absence de courants et de charges :0)()(0122
222=+Δ=∂∂-ΔrEcrEsoittE
cEωrrr Avec l'expression précédente du laplacien, il vient :0122=+)
EcdrdErdrd
rωSoit :
012222=++EcdrdE
r drEdω. On pose c rxω= et on cherche une solution de la forme (E0, valeur du champ sur l'axe (Oz)) : 10 nn n xaExEAlors :
2 1 221 1 22
1
1)1(;-
n n nn n nn n nxanncxnacdxd c drEdxnacdrdx dxdE drdEωωωωEt, par conséquent :
01)1( 1221 12 1 22
=n n nn n nn n n xacxnacxcxanncωωωω
D'où :
0 1221 =n n nn n n xaxan
Soit :
22naann--= 4 avec a1 = 0 (diverge en 0 sinon).
La solution recherchée est donc de la forme :
p pp p cr pErE 2 2200 )!(2)1()() b) On pose
210-==c
RXω ; le champ peut s'écrire :
p ppp p Rr XpErE 2 222001 )!(2)1()() Le champ est pratiquement uniforme à l'intérieur du condensateur et vaut :
0)(ErE=
L'ARQS est bien vérifiée ; en effet, les retards sont bien négligeables vis-à-vis du temps
caractéristique T : sTscRt71010210.67,1--==<<=≈Δω
Par contre, si
[]10,1?X, les termes de la série donnant E(r) ne sont pas négligeables et le champ E(r) n'est plus uniforme.c) Dans le condensateur, le champ magnétique est, pour ce problème à géométrie cylindrique,
de la forme :θutrBBrr),(=
Le théorème d'Ampère généralisé indique que la circulation du champ magnétique sur un
cercle de rayon r (r < R) et d'axe (Oz) est égale au flux du courant de déplacement à travers le
disque correspondant, multiplié par μ 0 : )sin)((),(202 0020trErt
Soit :
θωωutrrEctrBrrsin)(21),(2-=
Si l'ARQS est vérifiée, alors
0)(ErE= et : θωωutrEctrBrrsin21),(02-=
4) Energie magnétique stockée dans une bobine :
Une bobine de longueur l, de rayon a et d'axe (Oz), est constituée par un enroulement de nspires circulaires jointives par unité de longueur. On utilisera pour l'étude qui suit
l'approximation du solénoïde infini et on se place dans l'ARQS.1) Déterminer le champ magnétique créé par la bobine parcourue par le courant I.
2) Quelle est l'énergie magnétique de la bobine ? En déduire la valeur de l'inductance L de la
bobine.3) La bobine est placée dans un circuit série avec une résistance R et un générateur de fém
constante U0. Déterminer l'expression I(t) du courant dans la bobine en fonction du temps.
4) Calculer les champs magnétique et électrique créés par la bobine en tout point à l'instant t.
5) Déterminer les densités volumiques d'énergies magnétique et électrique. Que peut-on dire
du rapport de ces deux énergies ? Conclure. 56) Quelle est l'expression du flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant le
volume de la bobine ? Commentaires.Solution :
1) Le champ magnétique est zutnIBrr)(0μ=.
2) L'énergie magnétique s'écrit de deux manières :
mHanLoudLIaB100'21)(222 02202===πμπμll
3) Classiquement :
R Lt R etI=--=ττ)),/exp(1()( .4) On note
R neB00μ= ; à l'intérieur, ztueBBrr)1(/
0τ--=. A l'extérieur, le champ est nul.
Le champ électrique est orthoradial (faire une étude de symétries) ; il dépend de r et du temps.
On applique le théorème de Stokes en prenant un cercle comme contour :Si r < a :
θμudt
tdIrntrErr)(2),(0-=
Si r > a :
θμudt
tdI r antrErr)( 2),( 2 0L'énergie volumique magnétique vaut :
2222
0
02InBe
Bμμ==. L'énergie volumique électrique
vaut, par exemple en r = a où elle est maximale : (en utilisant 1200=cμε)
2 2202 2 0
8)(21)
((==dtdI cnaaEeEμε
On évalue le rapport :
)10(10.7,11 4)/( 4)(5 2222
22Ω=≈=)
-kRAvecca IdtdI ca eareBEτ
L'énergie électrique est négligeable ; dans l'ARQS, une bobine est essentiellement magnétique !5) On évalue le vecteur de Poynting en r = a :
( )rzudttdItaInunIudttdIanBEtarrrrr)()(21)(211),(2
00000μμμμμθ-=?)
Le flux entrant à travers la bobine est alors : =Φ22 021)()(2)()(21LIdtd
dttdItLIadttdItaInlπμCe flux correspond bien à la variation de l'énergie emmagasinée sous forme magnétique par
la bobine par unité de temps. 65) Diode à vide :
Une diode à vide est formée de deux plaques métalliques de surface S distantes de a. La cathode chauffée émet des électrons (de charge - e et de masse m) sans vitesse initiale. Ons'intéresse au régime permanent. Les effets de bord sont négligés, le champ électrique E(x) et
le potentiel V(x) sont uniformes dans une section. Le potentiel de la cathode est nul et la tension d'alimentation est U. Il existe une charge d'espace ρ(x). a) Déterminer les relations liant V(x), la densité de courant j(x), ρ(x) et le courant I.b) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par V(x) dans la diode. La résoudre.
c) Tracer la caractéristique I = f(U) de ce dipôle. d) Quelle est la puissance volumique fournie par le champ électrique aux charges en mouvement ? En déduire ka puissance totale volumique absorbée par la diode.Solution :
a-b) En régime permanent, 00, 0,djdivj soit donc j cste jdx= = = =r. Par ailleurs : 2 002 00 ( )( ) ( ) 0 ; ; ;d V xj j x v x I Sj divE E gradV soit Vdxρ ρρεε= - = < = = = - Δ = = -uuuuurr r
La conservation de l'énergie mécanique donne :21( ) ( ) 02mv x eV x- =. On en déduit
0( ) 1( )( ) 2 ( )
j x mx j v x e V xρ= = -, d'où l'équation différentielle vérifiée par V(x) : 2 0 2 01 2 ( ) jd V m dx e V xε=. On cherche des solutions de la forme Axα : 2 3 004 93 4 2j
met A eαε( )= =( )( )( ) c) En x = a, V(a) = U, d'où : 2 430 3 0 9 4 2j mU aeε ( )=( )( )( ). Avec 0IjS= : 2 43
3 0 9
4 2I mU aS eε
( )=( )( )( ), il vient : 3 02 2429S eI Ua m 7 d) La puissance volumique est 1 30 04
3vdVp jE j Aj xdx= = =. La puissance totale est :
0 00 a v diodedVP p d Sj dx Sj Udxτ= = =∫∫∫ ∫6) Lévitation électromagnétique :
Un long solénoïde vertical (semi - infini) à section circulaire (de rayon a et possédant n spires
jointives par unité de longueur) est parcouru par un courant d'intensité tiimωcos,11=. Unebobine circulaire constituée de N spires de rayon b << a, de résistance R, d'inductance L et de
masse m, est placée au-dessus du solénoïde à une distance z de son extrémité. On repère la
position de la bobine par l'angle θ. a) Calculer la force magnétique moyenne F appliquée à la bobine. Pour quelle valeur i01m de i1m la spire peut-elle léviter, juste au-dessus du solénoïde, à la cote z ? L'équilibre est-il
stable ? z z a b i i1 b) Quelle est alors la puissance P0 dissipée par effet Joule dans la bobine ?
c) Applications numériques :Comparer les valeurs de R et de Lω. Calculer i
01m et P0.
Solution :
a) Il faut déterminer le courant dans la bobine. Pour cela, il faut déterminer la fém
d'induction. Le champ magnétique créé par le solénoïde au niveau de la spire est (voir cours
de sup) :0 1,cos(1 cos )2
m zni tB eμ ωθ= -rr (Avec tana zθ=)Le flux à travers la bobine vaut :
2 0 1, (1 cos ) cos2mnN bi tμ πθ ωΦ = - On peut définir le coefficient de mutuelle induction entre la spire et le solénoïde : 8 2 0 1, (1 cos ) cos2mnN bM alors Mi tμ πθ ω= - Φ = L'équation électrique de la bobine est alors :10didiRi L M
dt dt+ + =On se place en régime sinusoïdal forcé :
j t j mi I e eω ?=. Alors :10Ri jL i jM iω ω+ + = soit 1 1
j m m mjM MI e i iR jL jR L z z a θ b i i1On en déduit :
12 2 2m mMI iR L
ω=+ et 2 2 2tan ( cos 0)R LAvecLR Lω? ?ωω= = - <+ La force de Laplace subie par la spire est, si l'on ne prend en compte que la coordonnée axiale du champ magnétique : z rdf id u Bu iBd uθ= ? =rr r rl l Globalement, cette force résultante est nulle. On doit prendre en compte la coordonnée radiale du champ.Le champ magnétique en dehors de l'axe est obtenu à partir de la conservation du flux
magnétique : on prend pour cela un petit cylindre centré sur l'axe Oz, de hauteur dz et de rayon r faible :2( ,0)( ,0)2 ( , ) 0 ( , )2
zz r rdB zdB zrr rB r z donc B r z dzdzπ π+ = = -La force de Laplace est alors :
2( ,0)z
r r r zzdB zdf id u B u iB d u soit F i Nb udzθπ= ? = - =rrr r r rl l Or :quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] le rectangle ci contre represente une table de billard
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