NOMBRES COMPLEXES
Pour un nombre complexe non réel z
Les nombres complexes - Lycée dAdultes
17 févr. 2016 Conclusion : On peut représenter alors le nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z la distance OM c'est la dire la quantité notée
NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 1/2
Alors le module de est égal à la distance . 5) Argument d'un nombre complexe. Définition : Soit un point d'affixe non nulle.
Cours complet sur les nombres complexes - TS - Bacamaths
Définition. Tout nombre complexe de la forme z = bi (où b ∈ ) s'appelle un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté i . 2.6. Remarques : •
Leçon 01 – Cours : Les nombres complexes
*z1 + 0 = 0 + z1 = z1 (0 est élément neutre pour l'addition). *(a + ib) + (-a + i(-b)) = 0 (tout nombre complexe a un opposé (l'opposé de.
Nombres complexes (Exo7)
Un nombre complexe est nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls. 1.4. Calculs. Quelques définitions et calculs sur les
Nombres complexes Nombres complexes
La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif. 2. Notation exponentielle d'un nombre complexe. Exemple d'utilisation : Calcul du module et
NOMBRES COMPLEXES
= −1 . Au cours de ses travaux il constate encore que. 2+ −1. (. ) 3. = 23 + 3⋅22 Voici un exemple d'équation complète à coefficients complexes. Exercice ...
[PDF] Algèbre - Exo7 - Cours de mathématiques
Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. complet de la matrice A est : la matrice de l ...
Cours de mathématiques Chapitre 9 : Nombres complexes
15 févr. 2009 Si x = 0 le nombre complexe est dit imaginaire pur. 4. Page 5. Théorème 1. Soit x
NOMBRES COMPLEXES
Pour un nombre complexe non réel z
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Définition. Tout nombre complexe de la forme z = bi (où b ? ) s'appelle un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté i . 2.6. Remarques : •
Les nombres complexes - Lycée dAdultes
17 févr. 2016 Conclusion : On peut représenter alors le nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z la distance OM c'est la dire la quantité notée
Nombres Complexes
Cours Nombres Complexes Page 1 sur 13. Adama Traoré Professeur Lycée Technique. LES NOMBRES COMPLEXES. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako.
Nombres complexes Nombres complexes
brique et forme trigonométrique opérations
Nombres complexes (Exo7)
Un nombre complexe est nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls. 1.4. Calculs. Quelques définitions et calculs sur les
Fiche 6 : Nombres complexes
Nº : 32006. Fiche téléchargée sur www.studyrama.com. 1. Fiche Cours. Plan de la fiche. I - Ensemble des nombres complexes. II - Nombre complexe conjugué.
NOMBRES COMPLEXES
Voici un exemple d'équation complète à coefficients complexes. Exercice résolu. Résoudre l'équation 2x2 + 2+ 3i. ( )? x + 2i ?1= 0 .
Nombres complexes (partie 1)
Résoudre une équation simple faisant intervenir z et z. Page 3. Cours complet. C. 1. Définition et notation.
Chapitre3 : Les complexes
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/ Tout complexe z P C s'écrit de manière unique sous la forme z = a + i ˆ b où a
Nombres complexes
PréambuleL"équationx+5=2a ses coefficients dansNmais pourtant sa solutionx=3n"est pas un entier naturel. Il faut ici
considérer l"ensemble plus grandZdes entiers relatifs. N x+5=2,!Z2x=3,!Qx 2=12 ,!Rx2=p2 ,!CDe même l"équation2x=3a ses coefficients dansZmais sa solutionx=32est dans l"ensemble plus grand des
rationnelsQ. Continuons ainsi, l"équationx2=12à coefficients dansQ, a ses solutionsx1= +1=p2etx2=1=p2
dans l"ensemble des réelsR. Ensuite l"équationx2=p2à ses coefficients dansRet ses solutionsx1= +ipp2et
x2=ipp2dans l"ensemble des nombres complexesC. Ce processus est-il sans fin? Non! Les nombres complexes
sont en quelque sorte le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d"Alembert-Gauss suivant :" Pour n"importe
quelle équation polynomialeanxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0=0où les coefficientsaisont des complexes (ou
bien des réels), alors les solutions x1,...,xnsont dans l"ensemble des nombres complexes ».Outre la résolution d"équations, les nombres complexes s"appliquent à la trigonométrie, à la géométrie (comme nous
le verrons dans ce chapitre) mais aussi à l"électronique, à la mécanique quantique, etc.1. Les nombres complexes
1.1. DéfinitionDéfinition 1.
Unnombre complexeest un couple(a,b)2R2que l"on noteraa+ibNOMBRES COMPLEXES1. LES NOMBRES COMPLEXES201i
aba+ibRiRCela revient à identifier1avec le vecteur(1,0)deR2, etiavec le vecteur(0,1). On noteCl"ensemble des nombres
complexes. Sib=0, alorsz=aest situé sur l"axe des abscisses, que l"on identifie àR. Dans ce cas on dira quezest
réel, etRapparaît comme un sous-ensemble deC, appeléaxe réel. Sib6=0,zest ditimaginaireet sib6=0eta=0,
zest ditimaginaire pur.1.2. Opérations
Siz=a+ibetz0=a0+ib0sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes : addition:(a+ib)+(a0+ib0) = (a+a0)+i(b+b0)01izz0z+z0RiR•
multiplication :(a+ib)(a0+ib0) = (aa0bb0) +i(ab0+ba0). On développe en suivant les règles de la multiplication usuelle avec la convention suivante :i2=11.3. Partie réelle et imaginaire
Soitz=a+ibun nombre complexe, sapartie réelleest le réelaet on la noteRe(z); sapartie imaginaireest le
réelbet on la note Im(z).01iRe(z)iIm(z)z
RiRRe(z)Im(z)Par identification deCàR2, l"écriturez=Re(z)+iIm(z)est unique : z=z0()8 :Re(z) =Re(z0) etIm(z) =Im(z0)
NOMBRES COMPLEXES1. LES NOMBRES COMPLEXES3En particulier un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est
nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls.1.4. Calculs
Quelques définitions et calculs sur les nombres complexes.0 1iz zz•L"opposédez=a+ibestz= (a)+i(b) =aib.
Lamultiplication par un scalaire2R:z= (a)+i(b).
L"inverse: siz6=0, il existe un uniquez02Ctel quezz0=1 (où 1=1+i0). Pour la preuve et le calcul on écritz=a+ibpuis on cherchez0=a0+ib0tel quezz0=1. Autrement dit(a+ib)(a0+ib0) =1. En développant et identifiant les parties réelles et imaginaires on obtient les équationsaa0bb0=1(L1)
ab0+ba0=0(L2)
En écrivantaL1+bL2(on multiplie la ligne (L1) para, la ligne (L2) parbet on additionne) etbL1+aL2on en
déduita0a2+b2=a b0a2+b2=bdonca0=aa
2+b2 b 0=ba 2+b2L"inverse dez, noté1z
, est donc z 0=1z =aa2+b2+iba
2+b2=aiba
2+b2.Ladivision:zz
0est le nombre complexez1z
0. Propriété d"intégrité : sizz0=0 alorsz=0 ouz0=0. Puissances :z2=zz,zn=zz(nfois,n2N). Par conventionz0=1 etzn=1z n=1z n.Proposition 1.Pour tout z2Cdifférent de11+z+z2++zn=1zn+11z.
La preuve est simple : notonsS=1+z+z2++zn, alors en développantS(1z)presque tous les termes se télescopent et l"on trouveS(1z) =1zn+1.Remarque.
1.5. Conjugué, module
Leconjuguédez=a+ibest¯z=aib, autrement ditRe(¯z) =Re(z)etIm(¯z) =Im(z). Le point¯zest le symétrique
du pointzpar rapport à l"axe réel.Lemoduledez=a+ibest le réel positifjzj=pa
2+b2. Commez¯z= (a+ib)(aib) =a2+b2alors le module
vaut aussijzj=pz¯z.
NOMBRES COMPLEXES1. LES NOMBRES COMPLEXES40
1iz zjzj0z=a+ibabQuelques formules :
•z+z0=¯z+z0,¯
z=z,zz0=¯zz
0 z=¯z()z2R jzj2=z¯z,j¯zj=jzj,jzz0j=jzjjz0j0z+z0Avant de faire la preuve voici deux remarques utiles. Soitz=a+ib2Caveca,b2R:
jRe(z)j6jzj(et aussijIm(z)j6jzj). Cela vient du fait quejaj6pa2+b2. Noter que pour un réeljajest à la fois
le module et la valeur absolue. •z+¯z=2Re(z)etz¯z=2iIm(z). Preuve :z+¯z= (a+ib)+(aib) =2a=2Re(z). Démonstration.Pour la preuve on calculejz+z0j2: jz+z0j2=z+z0(z+z0) =z¯z+z0z 0+zz0+z0¯z
=jzj2+jz0j2+2Re(z0¯z)6jzj2+jz0j2+2jz0¯zj
6jzj2+jz0j2+2jzz0j
6(jzj+jz0j)2Exemple 1.
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés.
Si les longueurs des côtés sont notéesLet`et les longueurs des diagonales sontDetdalors il s"agit de montrer
l"égalité D2+d2=2`2+2L2.
NOMBRES COMPLEXES2. RACINES CARRÉES,ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ5d DL L` 0zz0z+z0jzjjzjjz0jjz0jjzz0jjz+z0jDémonstration.Cela devient simple si l"on considère que notre parallélogramme a pour sommets0,z,z0et le dernier
sommet est doncz+z0. La longueur du grand côté est icijzj, celle du petit côté estjz0j. La longueur de la grande
diagonale estjz+z0j. Enfin il faut se convaincre que la longueur de la petite diagonale estjzz0j. D2+d2=z+z02+zz02=z+z0(z+z0)+zz0(zz0)
=z¯z+zz0+z0¯z+z0z
0+z¯zzz
0z0¯z+z0z
0 =2z¯z+2z0z0=2jzj2+2z02
=2`2+2L2Mini-exercices. 1.Calculer 1 2i+i12i.
2. Écrire sous la forme a+ibles nombres complexes(1+i)2,(1+i)3,(1+i)4,(1+i)8. 3.En déduire 1 +(1+i)+(1+i)2++(1+i)7.
4.Soit z2Ctel quej1+izj=j1izj, montrer quez2R.
5. Montrer que si jRezj6jRez0jetjImzj6jImz0jalorsjzj6jz0j, mais que la réciproque est fausse. 6. Montrer que 1 =¯z=z=jzj2(pourz6=0).2. Racines carrées, équation du second degré2.1. Racines carrées d"un nombre complexe
Pourz2C, uneracine carréeest un nombre complexe!tel que!2=z.Par exemple six2R+, on connaît deux racines carrées :px,px. Autre exemple : les racines carrées de1sontiet
i.Proposition 3. Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées,!et!.Attention! Contrairement au cas réel, il n"y a pas de façon privilégiée de choisir une racine plutôt que l"autre, donc
pas de fonction racine. On ne dira donc jamais " soit!la racine dez». Siz6=0 ces deux racines carrées sont distinctes. Siz=0 alors!=0 est une racine double. Pourz=a+ibnous allons calculer!et!en fonction deaetb. Démonstration.Nous écrivons!=x+iy, nous cherchonsx,ytels que!2=z.2=z()(x+iy)2=a+ib
()x2y2=aen identifiant parties2x y=bet parties imaginaires.
NOMBRES COMPLEXES2. RACINES CARRÉES,ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ6Petite astuce ici : nous rajoutons l"équationj!j2=jzj(qui se déduit bien sûr de!2=z) qui s"écrit aussix2+y2=pa
2+b2. Nous obtenons des systèmes équivalents aux précédents :
8 :x 2y2=a2x y=b
x2+y2=pa
2+b2()8
:2x2=pa2+b2+a
2y2=pa
2+b2a2x y=b()8
:x=1p2 ppa2+b2+a
y=1p2 ppa 2+b2a2x y=b
Discutons suivant le signe du réelb. Sib¾0,xetysont de même signe ou nuls (car 2x y=b>0) donc
!=1p2 qp a2+b2+a+iqp
a2+b2a
!=1p2 qp a2+b2+aiqp
a2+b2a
En particulier sib=0le résultat dépend du signe dea, sia¾0,pa2=aet par conséquent!=pa, tandis que si
a<0,pa2=aet donc!=ipa=ipjaj.Il n"est pas nécessaire d"apprendre ces formules mais il est indispensable de savoir refaire les calculs.
Exemple 2.
Les racines carrées de i sont+p2
2 (1+i)etp2 2 (1+i).En effet :
2=i()(x+iy)2=i
()x2y2=02x y=1
Rajoutons la conditionsj!j2=jijpour obtenir le système équivalent au précédent :8 :x 2y2=02x y=1
x2+y2=1()8
:2x2=1 2y2=12x y=1()8
:x=1p2 y=1p22x y=1
Les réelsxetysont donc de même signe, nous trouvons bien deux solutions : x+iy=1p2 +i1p2 oux+iy=1p2 i1p22.2. Équation du second degréProposition 4.
L"équation du second degréaz2+bz+c=0, oùa,b,c2Ceta6=0, possède deux solutionsz1,z22Céventuellement
confondues. Soit=b24ac le discriminant et2Cune racine carrée de. Alors les solutions sontz1=b+2aet z2=b2a.
Et si=0alors la solutionz=z1=z2=b=2aest unique (elle est dite double). Si on s"autorisait à écrire=p,
on obtiendrait la même formule que celle que vous connaissez lorsquea,b,csont réels.Exemple 3.
z2+z+1=0,=3,=ip3, les solutions sontz=1ip3 2 z2+z+1i4 =0,=i,=p2 2 (1+i), les solutions sontz=1p2 2 (1+i)2 =12 p2 4 (1+i).On retrouve aussi le résultat bien connu pour le cas des équations à coefficients réels :Corollaire 1.
Si les coefficients a,b,c sont réels alors2Ret les solutions sont de trois types : si=0, la racine double est réelle et vautb2a, si>0, on a deux solutions réellesbp 2a, NOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE7•si<0, on a deux solutions complexes, mais non réelles,bip2a.Démonstration.On écrit la factorisation
az z 2+ba z+ca =a z+b2a 2 b24a2+ca =a z+b2a 2 4a2 =a z+b2a 2 24a2z+b2a z+b2a +2a zb2a =a(zz1)(zz2)
Donc le binôme s"annule si et seulement siz=z1ouz=z2.2.3. Théorème fondamental de l"algèbre
Théorème 1(d"Alembert-Gauss).SoitP(z) =anzn+an1zn1++a1z+a0un polynôme à coefficients complexes et de degrén. Alors l"équation
P(z) =0admet exactement n solutions complexes comptées avec leur multiplicité. En d"autres termes il existe des nombres complexes z1,...,zn(dont certains sont éventuellement confondus) tels que
P(z) =an(zz1)(zz2)(zzn).Nous admettons ce théorème.Mini-exercices.
1.Calculer les racines carrées de i, 34i.
2. R ésoudreles équations : z2+z1=0, 2z2+(1010i)z+2410i=0. 3. R ésoudrel"équation z2+(ip2)zip2, puis l"équationZ4+(ip2)Z2ip2. 4. Montrer que si P(z) =z2+bz+cpossède pour racinesz1,z22Calorsz1+z2=betz1z2=c. 5. T rouverles paires de nombres dont la somme vaut i et le produit 1. 6.Soit P(z) =anzn+an1zn1++a0avecai2Rpour touti. Montrer que sizest racine dePalors¯zaussi.3. Argument et trigonométrie
3.1. Argument
Siz=x+iyest de module1, alorsx2+y2=jzj2=1. Par conséquent le point(x,y)est sur le cercle unité du plan,
et son abscissexest notéecos, son ordonnéeyestsin, oùest (une mesure de) l"angle entre l"axe réel etz. Plus
généralement, siz6=0,z=jzjest de module 1, et cela amène à :Définition 2. Pour toutz2C=Cnf0g, un nombre2Rtel quez=jzj(cos+isin)est appelé unargumentdezet noté =arg(z). NOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE8jzj01izRiRarg(z)Cet argument est défini modulo2. On peut imposer à cet argument d"être unique si on rajoute la condition
2],+].
Remarque.
0(mod 2)() 9k2Z,=0+2k()cos=cos0
sin=sin0Proposition 5. L"argument satisfait les propriétés suivantes : arg(zz0)arg(z)+arg(z0) (mod 2) arg(zn)narg(z) (mod 2) arg(1=z) arg(z) (mod 2) arg(¯z) argz(mod 2)Démonstration. zz0=jzj(cos+isin)z0cos0+isin0
zz0coscos0sinsin0+icossin0+sincos0 zz0cos+0+isin+0doncarg(zz0)arg(z)+arg(z0)(mod2). On en déduit les deux autres propriétés, dont la deuxième par récurrence.3.2. Formule de Moivre, notation exponentielle
Laformule de Moivreest :(cos+isin)n=cos(n)+isin(n)Démonstration.Par récurrence, on montre que (cos+isin)n= (cos+isin)n1(cos+isin) = (cos((n1))+isin((n1)))(cos+isin) = (cos((n1))cossin((n1))sin) +i(cos((n1))sin+sin((n1))cos) =cosn+isinnNous définissons lanotation exponentiellepare i=cos+isinet donc tout nombre complexe s"écrit z=eiNOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE9
où=jzjest le module et=arg(z)est un argument. Avec la notation exponentielle, on peut écrire pourz=eietz0=0ei0 8>>< >:zz0=0eiei0=0ei(+0)
z n=ein=nein=nein1=z=1=ei=1
ei z=ei La formule de Moivre se réduit à l"égalité : ein=ein. Et nous avons aussi :ei=0ei0(avec,0>0) si et seulement si=0et0(mod 2).3.3. Racinesn-ièmeDéfinition 3.
Pourz2Cetn2N, uneracinen-ièmeest un nombre!2Ctel que!n=z.Proposition 6. Il y a n racines n-ièmes!0,!1,...,!n1de z=ei, ce sont :! k=1=nei+2ikn,k=0,1,...,n1Démonstration.Écrivonsz=eiet cherchons!sous la forme!=reittel quez=!n. Nous obtenons donc
ei=!n=reitn=rneint. Prenons tout d"abord le module :=ei=rneint=rnet doncr=1=n(il s"agitici de nombres réels). Pour les arguments nous avonseint=eiet doncnt(mod2)(n"oubliez surtout pas le
modulo2!). Ainsi on résoutnt=+2k(pourk2Z) et donct=n+2kn. Les solutions de l"équation!n=zsont donc les!k=1=nei+2ikn. Mais en fait il n"y a quensolutions distinctes car!n=!0,!n+1=!1, ...Ainsi lesn
solutions sont!0,!1,...,!n1.Par exemple pourz=1, on obtient lesnracinesn-ièmes de l"unitée2ik=n,k=0,...,n1qui forment un groupe
multiplicatif.01=e0ij=e2i=3j2=e4i=3Racine 3-ième de l"unité (z=1,n=3)011=eiie
i=3e i=3Racine 3-ième de1 (z=1,n=3) Les racines 5-ième de l"unité (z=1,n=5) forment un pentagone régulier : NOMBRES COMPLEXES3. ARGUMENT ET TRIGONOMÉTRIE1001ie 2i=5e 4i=5e 6i=5e8i=53.4. Applications à la trigonométrie
Voici lesformules d"Euler, pour2R:cos=ei+ei2
, sin=eiei2iCes formules s"obtiennent facilement en utilisant la définition de la notation exponentielle. Nous les appliquons dans
la suite à deux problèmes : le développement et la linéarisation. Développement.On exprime sinnou cosnen fonction des puissances de coset sin.Méthode :on utilise la formule de Moivre pour écrirecos(n)+isin(n)=(cos+isin)nque l"on développe avec
la formule du binôme de Newton.Exemple 4.
cos3+isin3= (cos+isin)3 =cos3+3icos2sin3cossin2isin3 =cos33cossin2+i3cos2sinsin3 En identifiant les parties réelles et imaginaires, on déduit que cos3=cos33cossin2et sin3=3cos2sinsin3. Linéarisation.On exprime cosnou sinnen fonction des cosket sinkpourkallant de 0 àn. Méthode :avec la formule d"Euler on écritsinn=eiei2i
n . On développe à l"aide du binôme de Newton puis on regroupe les termes par paires conjuguées.Exemple 5.
sin3=eiei2i
318i(ei)33(ei)2ei+3ei(ei)2(ei)3
18ie3i3ei+3eie3i
=14 e3ie3i2i3eiei2i
=sin34 +3sin4 NOMBRES COMPLEXES4. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE11Mini-exercices.1.Mettre les nombres suivants sont la forme module-argument (avec la notation exponentielle) :1,i,1,i,3i,
1+i,p3i,p3i,1p3i,(p3i)20xxoù 20xxest l"année en cours.
2.Calculer les racines 5-ième de i.
3.Calculer les racines carrées de
p3 2 +i2 de deux façons différentes. En déduire les valeurs de cos12 et sin12 4. Donner sans calcul la valeur de !0+!1++!n1, où les!isont les racinesn-ième de 1. 5.Développer cos (4); linéariser cos4; calculer une primitive de7!cos4.4. Nombres complexes et géométrie
On associe bijectivement à tout pointMdu plan affineR2de coordonnées(x,y), le nombre complexez=x+iy
appelé sonaffixe.4.1. Équation complexe d"une droite
Soit ax+by=cl"équation réelle d"une droiteD:a,b,csont des nombres réels (aetbn"étant pas tous les deux nuls) d"inconnues
(x,y)2R2.Écrivonsz=x+iy2C, alors
x=z+¯z2 ,y=z¯z2i doncDa aussi pour équationa(z+¯z)ib(z¯z) =2cou encore(aib)z+(a+ib)¯z=2c. Posons!=a+ib2C etk=2c2Ralors l"équation complexe d"une droite est :¯ !z+!¯z=koù!2Cetk2R.i 01i 01D!C r i 014.2. Équation complexe d"un cercle
SoitC(
,r)le cercle de centre et de rayonr. C"est l"ensemble des pointsMtel quedist( ,M) =r. Si l"on note! l"affixe dequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] cours comportement organisationnel pdf
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